CC BY
49
УДК 004.942 ББК 22.18
А.Г. КОРОБЕЙНИКОВ, А.Ю. ГРИШЕНЦЕВ, М.Е. ФЕДОСОВСКИЙ, АН. ЮГАНСОН
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНФЕКЦИОННОГО ПРОЦЕССА
ПРИ ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ РАБОТЕ С СИСТЕМОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ MAPLE*
Ключевые слова: Maple, дифференциальные уравнения, математическая модель, учебный процесс, эпидемия.
В настоящее время в РФ происходит интенсивное внедрение современных информационных технологий в образовательный процесс слушателей различных специальностей. В связи с этим задача обучения студентов работе с различным современным инструментарием является крайне актуальной. Одним из таких инструментов, доказавшим свою эффективность, является система символьной математики, или система компьютерной алгебры Maple. Повышение мотивации изучения методов компьютерного моделирования можно получить благодаря решению бытовых задач, с которыми слушателям приходится сталкиваться в повседневной жизни. Одна из таких задач - эпидемиологическое распространение вирусных инфекций. В работе рассмотрен подход к решению задачи компьютерного моделирования эпидемиологического процесса в связи с необходимостью наличия прогноза по распространению вирусной инфекции. Представлены примеры решения этой задачи при помощи использования системы Maple.
Задачу повышения мотивации применения слушателями различных специальностей современных информационных технологий можно решать при помощи различных подходов. Одним из самых эффективных является решение или моделирование задач, с которыми студенты встречаются в повседневной жизни. Одной из таких проблем является сохранение здоровья в период эпидемий, например, в период эпидемии гриппа.
В настоящее время задача создания и исследования математических моделей (ММ) эпидемиологических процессов является крайне актуальной. Это связано с необходимостью наличия прогноза распространения вирусных инфекций, из которого следует оценка не только состояния здоровья населения, но и состояния экономики неблагополучного по эпидемиологической обстановке региона или даже страны.
Используя систему Maple, можно достаточно эффективно проводить процесс обучения разработки ММ в различных областях [1-10]. Немаловажным является и тот факт, что Maple считается одной из наиболее привлекательнейших систем компьютерной алгебры как по простоте языка программирования, функциональным возможностям, так и по стоимости.
Математическая модель развития эпидемиологического процесса. История разработок ММ взаимодействий вирусов и клеток является достаточной долгой. Базирующиеся на очень большом и разнообразном материале в области эпидемиологии ММ являются эффективным инструментом для анализа экспе-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 170700700.
риментальных данных, прогноза всевозможных последствий вирусной инфекции, выработки оптимальных стратегий проведения антивирусной терапии.
Исходя из вышесказанного задача оптимального управления иммунным ответом, где управление представляется динамической функцией, отражающей всевозможные воздействия на иммунный процесс, является актуальной.
В данной статье будет рассмотрена ММ, базирующаяся на фундаментальных механизмах иммунной защиты, сформулированных в клонально-селекционной теории Ф. Бернета. Первым такую ММ предложил советский ученый Г.И. Марчук [11].
При формировании ММ были учтены следующие положения иммунологии:
- даже небольшое количество вирусов, попадая в организм, начинают размножаться в клетках органа-мишени и поражают его;
- запуск процесса регенерации тканей органа-мишени происходит в случае наличия повреждения;
- для более адекватного описания кинетики иммунного ответа задача размножения лимфоцитов формулируется при помощи уравнения с запаздывающим аргументом;
- для описания повреждения органа-мишени вводится переменная т = т(г). Эта функция влияет на ослабление жизнедеятельности организма. При таком формализме происходит превращение модели иммунного ответа в модель инфекционного заболевания;
- зависимость в виде обратной связи степени повреждения органа от силы иммунного ответа представляется функцией ^(т).
Кроме того, учитывая представления о динамике иммунного ответа, введем следующие переменные непрерывные функции:
У(г) - величина концентрации при размножении вирусов в пораженной части органа-мишени с размерностью част/мл (частица/миллилитр).
С(г) - число плазматических клеток с размерностью клет/мл (клетка/миллилитр).
Е(г) - число антител в крови с размерностью част/мл.
Базовая ММ инфекционного заболевания построена на основе соотношений баланса для всех переменных [5]. 'сУ (г)
Л СС (г)
= р. У (г) -уЕ (г) • У (г);
= С(т) • а • У(х - 0 • Е(т - г) - ^ (С( г) - С*); Л (1)
^ = р- С (0 - (ц г + У (0) • Е (0;
с
ст( )
= с • У( 0 -цт • т(0,
с
где а, р, у, цс, р, ц, с, цт - константы скорости: размножения специфических лимфоцитов, продуцентов антител, размножения вируса, нейтрализации вируса антителами, естественного старения лимфоцитов, продукции антител
лимфоцитами, естественного разрушения антител, разрушения клеток органа-мишени вирусом, константа скорости регенерации органа-мишени, соответственно; q - константа расхода антител на нейтрализацию единицы вируса; С - гомеостатический уровень лимфоцитов, продуцентов специфических антител; V0 - доза заражения; C0 - концентрация специфических клеток памяти в момент заражения; т - время, необходимое для распространения иммунных клеток (через это время появляется бесчисленная популяция плазматических клеток, производящие антитела, которые реагируют с вирусом).
Начальные условия: V(0) = V0, С(0) = С0, F(0) = F0, m(0) = m0 и фазовые ограничения: V(t) > 0, C(t) > 0, F(t) > 0, m(t) > 0.
Первое уравнение (1) показывает скорость изменения числа вирусов в организме. В правой части этого уравнения первый член отвечает за прирост количества вирусов за счет размножения, а второй - за их уменьшение за счет нейтрализации вирусов антителами.
Второе уравнение в (1) показывает скорость изменения в организме числа плазматических клеток. В правой части этого уравнения первый член отвечает за образование плазматических клеток, где т - время (в сутках), в течение которого происходит формирование клона плазматических клеток. Второй член этого уравнения отвечает за поддержание в организме плазматических клеток за счет притока из костного мозга и естественного старения.
Третье уравнение в (1) отвечает за скорость изменения числа антител. В правой части этого уравнения первый член отвечает за появление антител плазматическими клетками, а второй - за расход антител на нейтрализацию вирусов, третий - за уменьшение количества антител за счет разрушения.
Четвертое уравнение в (1) описывает скорость изменения степени поражения органа-мишени. В правой части этого уравнения первый член отвечает за поражение органа вследствие действия вирусов, а второй - за уменьшение степени поражения органа-мишени за счет регенерации.
Моделирование развития эпидемиологического процесса. Используя средства Maple, покажем, как достаточно просто промоделировать, например, субклиническую форму заболевания при Q(m) = 1 - m2 и различных т: т = 0, т = 10 и т = 100. При субклинической форме постоянные параметры (1) имеют следующие значения:
а = 1000, р = 8, у = 10, р = 0,17, q = 10, ст = 10, цс = 0,5, ^ = 0,15, = 0,15,
с* = CC =1.
Начальные условия имеют следующие значения:
V0 = 10-5, C0 = 1, F0 = 1, m0 = 0.
Исходный текст на Maple может выглядеть следующим образом:
> restart
> local у
> %:=m^1-m2: (m) " = % (m):
> assume(V(t)>0, F(t)>0, C(t)>0, m(t)>0)
> my_vars:=[V(t), F(t), C(t), m(t)]:
> my _ ode1 := —V(() = ( - у • F(())• V(():
dt
>my_ode2 := —C(() = £(m(t))-a-V(t-r)• F((-r) --цс ■ (()-CC): dt
—
dt —
dt
> my_sys_ode:=se^(my_ode[i], i=1..4):
my_ode3 := d-F(() = p-C(()-(^/ + ц-у-V(())-F(():
> my_ode4 := ■—m(t) = с- - V(()- ¡um ■ m((): dt
> V0 :=10-5: C0 :=1: F0 :=1: m0 :=0: т:=0:
> myinicond := V(0)= V0, C(0)=C0, F(0)=F0, m(0)= m0:
> Cубклиническая форма
> a := 1000: p := 8: у := 10: p := 0.17: ц := 10: c := 10: >цC := 0.5: ц7 := 0.15: цm := 0.15: CC := 1:
> t0 :="т=0": t10 :="т=10": t100 :="т=100":
>my_solve_0:=dsolve({my_sys_ode,my_ini_cond},numeric,method =rosenbrock, myjvars): >p0V:=plots[odeplot](my_solve_0,[t,V(t)],0..10,color=red,view=0..1.110'5, numpoints=1000,title= t0):
>p0F:=plots[odeplot](my_solve_0,[tF(t)],0..50,color=red,view=0.999..1.01, numpoints=1000, title= t0):
> p0C: = plots[odeplot](my_solve_0,[t,C(t)] ,0..35,color=red,view=1..1.04, numpoints=1000, title= t0):
>p0m:=plots[odeplot]( my_solve_0,[t,m(t)],0..50,color=red,view=0..0.00005, numpoints=1000, title= t0):
> Изменение задержки
> т :=10:
>my_solve_10:=dsolve({my_sys_ode,my_ini_cond},numeric,method =rosenbrock, myjvars):
> p10V:=plots[odeplot](my_solve_10,[t,V(t)],0..10,color=red,view=0..1.110"5, numpoints=1000, title= t10):
>p10F:=plots[odeplot](my_solve_10,[t,F(t)],0..50,color=red,view=0.999..1.16, numpoints=1000, title= t10):
> p10C: = plots[odeplot](my_solve_10,[t,C(t)],0..35,color=red,view=1..1.2, numpoints=1000, title= t10):
>p10m:=plots[odeplot](my_solve_10,[t,m(t)],0..50,color=red, view=0..0.000042, numpoints=1000, title= t10):
> Изменение задержки
> т :=100:
>my_solve_100:=dsolve({my_sys_ode,my_ini_cond},numeric,method= rosenbrock, myjvars): >p100V:=plots[odeplot](my_solve_100,[t,V(t)],0..10,color=red, view=0..1.110'5,numpoints=1000, title= t100):
>p100F:=plots[odeplot](my_solve_100,[tF(t)],0..50,color=red, view=0.999..1.2,numpoints=1000, title= t100):
>p100C:=plots[odeplot](my_solve_100,[t,C(t)],0..35,color=red, view=1..1.2,numpoints=1000, title=t100):
>p100m:=plots[odeplot](my_solve_100,[t,m(t)],0..50,color=red, view=0..0.000042, numpoints=1000, title= t100):
> plots [display](array(1..3,[p0V,p10V, p 100 V]))
> plots[display](array(1..3,[p0F,p10F, p100F]))
> plots [display](array(1..3,[p0C,p 10C, p100C]))
> plots [display](array(1..3,[p0m,p10m, p100m]))
На рис. 1. представлены результаты, которые будут получены после выполнения программы.
6 8 10
6 8 10
О 2 4 6 8 10
Рис. 1. Концентрация размножающихся вирусов У(£) при разных т: а - т = 0; б - т = 10; в - т = 100
0 10 20 30 40
а
О 10 20 30 40
б
О 10 20 30 40 в
Рис. 2. Концентрация антител ^(г) при разных т: а - т = 0; б - т = 10; в - т = 100
10 20 30
а
20 30
б
10 20 30
в
б
а
в
Рис. 3. Концентрация плазменных клеток С (г) при разных т: а - т = 0; б - т = 10; в - т = 100
О 10 20 30 40
0 10 20 30 40
О 10 20 30 40
Рис. 4. Относительная характеристика пораженного органа m(t) при разных т: а - т = 0; б - т = 10; в - т = 100
Представленная программа может быть легко модифицирована. То есть можно в реальном масштабе времени моделировать протекание любой из четырех форм заболевания - субклинической, острой, хронической и летального исхода. Для этого необходимо лишь изменять параметры а, р, у, цС, р, Ц/, ст, Ц-m, q, C*, V0, F0, m0, C0 и т.
Выводы. Анализируя полученные в ходе моделирования результаты, обучаемые могут сделать вывод, что распространение заболевания за длительный период зависит не от количества проникшей в организм инфекции, а от иммунологического статуса организма относительно определенного типа вируса. Отсюда вытекает вывод о необходимости прививок. И этот вывод необходим обучаемым в повседневной жизни, так как от него напрямую зависит их здоровье.
Литература
1. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Разработка модели распределения плотности токов при возбуждении ионосферы высокочастотным облучением // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 12. С. 41-47.
2. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Разработка модели решения обратной задачи вертикального зондирования ионосферы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2011. № 2(72). С. 109-113.
3. Коробейников А.Г. Проектирование и исследование математических моделей в средах MATLAB и Maple. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2012. 160 с.
4. Коробейников А.Г. Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2010. 144 с.
5. Коробейников А.Г., Ахапкина И.Б., Безрук Н.В., Демина Е.А., Ямщикова Н.В. Применение системы компьютерной алгебры Maple в обучении проектированию и анализу многомерных математических моделей // Информатика и образование. 2014. № 4(253). С. 69-75.
6. Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. СПб.: СПбНИУ ИТМО, 2013. 100 с.
7. Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю., Комарова И.Э., Ашевский Д.Ю., Алексанин С.А., Маркина Г.Л. Mатематическая модель расчета информационных рисков для информационно-логистической системы //Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15, № 3. С. 538-545.
8. Коробейников А.Г., Зыков А.Г., Поляков В.И., Ашевский Д.Ю., Алексанин С.А. Проектирование математических моделей расчета оценки рисков перемещения материальных грузов на
б
а
в
железнодорожных узлах с использованием лингвистических переменных // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. 2015. № 2. С. 68-73.
9. Коробейников А.Г., Маркина Г.Л., Алексанин С.А., Ахапкина И.Б., Безрук Н.В., Демина Е.А., Ямщикова Н.В. Применение системы компьютерной алгебры Maple в учебном процессе обучения генерации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Программные системы и вычислительные методы. 2015. № 2. С. 139-144.
10. Коробейников А.Г., Пирожникова О.И. Математическая модель расчета вероятности несанкционированного физического проникновения на объект информатизации // Программные системы и вычислительные методы. 2014. № 2. С. 160-165.
11. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1991. 276 с.
КОРОБЕЙНИКОВ АНАТОЛИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры проектирования и безопасности компьютерных систем, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Россия, Санкт-Петербург (korobeynikov_a_g@mail.ru).
ГРИШЕНЦЕВ АЛЕКСЕЙ ЮРЬЕВИЧ - доктор технических наук, доцент кафедры проектирования и безопасности компьютерных систем, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Россия, Санкт-Петербург (grishentcev@yandex.ru).
ФЕДОСОВСКИЙ МИХАИЛ ЕВГЕНЬЕВИЧ - кандидат технических наук, заведующий кафедрой систем и технологий техногенной безопасности, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Россия, Санкт-Петербург (mefedosovskii@corp.ifmo.ru).
ЮГАНСОН АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ - аспирант кафедры проектирования и безопасности компьютерных систем, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Россия, Санкт-Петербург (a_yougunson@corp.ifmo.ru).
A. KOROBEYNIKOV, A. GRISHENTSEV, M. FEDOSOVSKY, A. IUGANSON MODELING OF INFECTIOUS PROCESS TO TRAIN STUDENTS IN MAPLE COMPUTER ALGEBRA SYSTEM STUDYING Key words: Maple, differential equations, mathematical model, educational process, epidemy.
Currently in the Russian Federation there is an intensive introduction of modern information technologies into the educational process of listeners of various specialties. In this regard, the task of teaching students to work with various modern tools is extremely relevant. One such tool that has proved its effectiveness is the system of symbolic mathematics or the computer algebra Maple. Increasing the motivation for studying computer modeling techniques can be obtained by solving everyday problems that listeners have to face in their daily lives. One of such tasks is the epidemiological spread of viral infections. The paper considers the approach to the solution of the problem of computer modeling of the epidemio-logical process in connection with the need for a prognosis for the spread of a viral infection. Using the Maple system, there are examples presented to solve this problem.
References
1. Grishentsev A.Yu., Korobeynikov A.G. Razrabotka modeli raspredeleniya plotnosti tokov pri vozbuzhdenii ionosfery vysokochastotnym oblucheniem [Development of current density distribution in ionosphere under highfrequency radiation]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Priborostroenie, 2010, vol. 53, no. 12, pp. 41-47.
2. Grishentsev A.Yu., Korobeynikov A.G. Razrabotka modeli resheniya obratnoi zadachi vertikal'nogo zondirovaniya ionosfery [Solution model of inverse problem of ionosphere vertical sounding]. Nauchno-tekhnicheskii vestnik informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2011, no. 2(72), pp. 109-113.
3. Korobeynikov A.G. Proektirovanie i issledovanie matematicheskikh modelei v sredakh MATLAB i Maple [Designing and research of mathematical models in MATLAB and Maple environments]. St. Petersburg, ITMO University Publ., 2012, 160 p.
4. Korobeynikov A.G. Razrabotka i analiz matematicheskikh modelei s ispol'zovaniem MATLAB i MAPLE [Development and analysis of mathematical models using MATLAB and MAPLE]. St. Petersburg, ITMO University Publ., 2010, 144 p.
5. Korobeynikov A.G., Akhapkina I.B., Bezruk N.V., Demina E.A., Yamshchikova N.V. Primenenie sistemy komp'yuternoi algebry Maple v obuchenii proektirovaniyu i analizu mnogomernykh matematicheskikh modelei [Application of the computer algebra system Maple in the teaching of designing and analysis of multidimensional mathematical models]. Informatika i obrazovanie, 2014, no. 4(253), pp. 69-75.
6. Korobeynikov A.G., Grishentsev A.Yu. Razrabotka i issledovanie mnogomernykh matematicheskikh modelei s ispol'zovaniem sistem komp'yuternoi algebry [Development and research of multidimensional mathematical models with the use of computer algebra systems]. St. Petersburg, ITMO University Publ., 2014, 100 p.
7. Korobeynikov A.G., Grishentsev A.Yu., Komarova I.E., Ashevskii D.Yu., Aleksanin S.A., Markina G.L. Matematicheskaya model' rascheta informatsionnykh riskov dlya informatsionno-logisticheskoi sistemy [Mathematical model for calculation of information risks for information and logistics system]. Nauchno-tekhnicheskii vestnik informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2015, vol. 15, no. 3, pp. 538-545.
8. Korobeynikov A.G., Zykov A.G., Polyakov V.I., Ashevskii D.Yu., Aleksanin S.A. Proektirovanie matematicheskikh modelei rascheta otsenki riskov peremeshcheniya material'nykh gruzov na zheleznodorozhnykh uzlakh s ispol'zovaniem lingvisticheskikh peremennykh [Design of mathematical models to assess the risks realted to reallocation of material freights across railway junctions with the usage of linguistic variables]. Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putei soobshcheniya, 2015, no. 2, pp. 68-73.
9. Korobeynikov A.G., Markina G.L., Aleksanin S.A., Akhapkina I.B., Bezruk N.V., Demina E.A., Yamshchikova N.V. Primenenie sistemy komp'yuternoi algebry Maple v uchebnom protsesse obucheniya generatsii sistem obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [Using the MAPLE system of computer algebra in studying the generation of systems of the ordinary differential equations]. Programmnye sistemy i vychislitel'nye metody, 2015, no. 2, pp. 139-144.
10. Korobeynikov A.G., Pirozhnikova O.I. Matematicheskaya model' rascheta veroyatnosti nesanktsionirovannogo fizicheskogo proniknoveniya na ob"ekt informatizatsii [Model of mathematical calculations of the probability of unauthorized physical penetration to information assets]. Programmnye sistemy i vychislitel'nye metody, 2014, no. 2, pp. 160-165.
11. Marchuk G.I. Matematicheskie modeli v immunologii [Mathematical models in immunology]. Moscow, Nauka Publ., 1991, 276 p.
KOROBEYNIKOV ANATOLIY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Department of Computer System Design and Security, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Russia, St. Petersburg (Korobeynikov_a_g@mail.ru).
GRISHENTSEV ALEKSEY - Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of Department of Computer System Design and Security, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Russia, St. Petersburg (Grishentcev@yandex.ru).
FEDOSOVSKY MIKHAIL - Candidate of Technical Sciences, Head of the Department Systems and Technologies of Tech Security, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Russia, St. Petersburg (Mefedosovskii@corp.ifmo.ru).
IUGANSON ANDREI - Post-Graduate Student, Department of Computer System Design and Security, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics, Russia, St. Petersburg (A_yougunson@corp.ifmo.ru).
Ссылка на статью: Коробейников А.Г., Гришенцев AM., Федосовский М.Е., Югансон А.Н. Моделирование инфекционного процесса при обучении студентов работе с системой компьютерной алгебры Maple // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 1. - С. 129-136.
