Об оценке аппроксимативной возможности операторов одного класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 22.161 ББК 517.512

М. Б. Мэдэгэй

г. Чита, Россия

Об оценке аппроксимативной возможности операторов одного класса

В статье сформулирована и доказана теорема, дающая оценку величины ||Ln(f, x) — f (ж)У для f G W3HM, при этом Ln принадлежат классу, являющемуся частным случаем класса Sq (по Коровкину П. П.). Для вывода оценки используется метод интерполяции. Описание его имеется в работах Ю. Г. Абакумова, О. Н. Шестаковой, Е. П. Галайды.

Ключевые слова: линейные операторы, метод интерполяции, аппроксимационная оценка

M. B. Medegey

Chita, Russia

On the Estimate of Approximation Opportunity of One Class Operators

The article states and constructs the proof of a theorem giving a value estimate of ||Ln(f,x) — f(x)|| for f G W3Ha, with Ln belonging to the particular case of S6 (by P. P. Korovkin). The interpolation method is used for the estimate derivation. There is a description of it in the works of Yu. G. Abakumov, O. N. Shestakova and Ye. P. Galaida.

Keywords: linear operators, interpolation method, approximation estimate.

Одной из задач теории приближения является получение оценок вида

llLn(f(t),x) — f (х)|| < ап ^ 0, (1)

где f (x) - приближаемая функция из множества W С С [a, b] или W С С2П ;

Ln(f (t), x) - аппроксимирующая последовательность линейных операторов.

В неравенстве (1) величина ап зависит от характеристик класса функций W и характеристик операторов Ln.

Хорошо отработана методика получения оценок вида (1) в случае, если Ln - положительные операторы. Напомним, оператор называется положительным, если f (t) > 0 ^ Vx Ln(f, x) > 0.

В статье рассматриваются аппроксимирующие последовательности операторов, не являющиеся положительными.

В (1) приводится схема получения аппроксимационных оценок в терминах линейных нормиро-ваннных пространств (ЛНП), которую можно описать следующим образом.

Пусть X - действительное ЛНП. Множество K С X называем конусом, если оно: 1) замкнутое;

2) выпуклое; 3) вместе с любым принадлежащим ему элементом содержит луч, состоящий из элементов вида Ар, где А > 0 - действительное число. Если K означает конус, то K* - множество линейных функционалов с конечной нормой, неотрицательных на K.

Полагаем, что в X зафиксирована последовательность конусов Kn (n = 1, 2,...) и последовательность элементов pn, причем ||pn|| равномерно по n ограничены, ц G X*, F = lin |zj}i=1, при этом полагаем, что |zj}k=i линейно независима (здесь linM означает линейную оболочку множества M ).

Будем полагать, что р G Ф = $(F, {Kn}, {pn}), если по р найдутся последовательности положительных чисел cn и последовательность элементов gn G F такие, что cnpn — р + gn G Kn,

©Мэдэгэй М. Б., 2011

121

—сиРп — Р + 5п Є —Кп, при этом е„^(р„) ^ 0, — р) ^ 0. Схема получения аппрокси-

мационных оценок, предложенная в [1] основана на использовании неравенства |^и(р) — м(р)1 ^ С„Мп(Рп) + |Мп(^п) — м(р)| , где Є К.

Конкретизацией этой схемы является метод интерполяции ([2]; [6]). Изложим вкратце суть метода. Будем говорить, что последовательность операторов Ь„, : С [а, 6] ^ С [а, 6] или :

С2п ^ С2п удовлетворяет условию и(т, {^„} , {к*}), где т > 0 - целое, Л.„ ^ 0, п = 1, 2,..., 1 < кі < ... < кт_і, если

т — 1

sign^n(t) = sign(h;; - (t - x)2) (k2^ - (t - x)2) ^ Ln(^n(t),x) > 0.

1

Заметим, что в периодическом случае запись (£ —ж)2 означает 2п - периодическую функцию, равную (£ — ж)2 на (ж — п, ж + п].

Конкретные примеры аппроксимирующих последовательностей, удовлетворяющих условию и(т, {^„} , {к*}) приведены в работах [3; 4].

Вывод оценки величины ||Ь„(/(¿),ж) — /(ж)У производится по следующей схеме:

1) фиксируем (произвольным образом) ж;

2) вводим вспомогательную функцию у>п(£) = /(¿) — дп(£), зависящую от п, где дп(£) - интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполирующий /(£) в узлах ж ± Л.„, ж ± к*Л.„, * = 1,..., т — 1;

3)полагаем

т— 1

Рп(^) = (^п— (^—ж)2) п(к2 — ^ -ж)2)

*=1

и подбираем сп > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

|^п(^)| < сп ;

4) отсюда следует, что |£п(у>п(£), ж)| < с„Ь„(р„(£), ж). Обоснование этого пункта приводится в [2, с. 37];

5) предполагая Ь„(1,ж) = 1, получим

£п(/(¿),ж) — /(ж) < с„Ь„(р„(£),ж) + |Ь„(д„(£),ж) — /(ж)|;

6) выражаем Ь„(р„(£),ж), сп = ||/(¿, ж1,..., ж2т|| через и вп^ = ||Ьп((4 — ж)*,ж)| и получаем оценку.

В последнем пункте обозначено ж1 = ж — ктЛ.„, ж2 = ж — кт—1^„, ... ,жт = ж — Л.„, жт+1 = ж + Л.„, ..., ж2т = ж + к2тЛ.„, /(¿, ж1,..., ж2т) - разделенная разность.

Для любого целого т > 1 известны конкретные аппроксимационные последовательности, удовлетворяющие условиям типа и(т, {^„} , {к*}) при некоторых конкретных значениях Л.„ и к*.

Автором ранее при значении т = 2 была получена оценка приближения функций класса Ш3НМ ([5]). В статье приводится вывод оценки при т = 3. Результат оформлен в виде теоремы следующего содержания.

Теорема. Пусть дана некоторая монотонная, сходящаяся к нулю последовательность действительных чисел Л.„. Пусть, далее, последовательность операторов удовлетворяет условию

sign^n(t) = sign^(k2^ - (t - x)2) ^ Ln(^n(t),x) > 0, =0

k0 = 1, 1 < ki < k2. При этом Ln(1,x) = 1. Тогда для функции f (t) G C3 [a, b], f///(t) G Lipa, где 0 < a < 1 выполняется

ii f//y ii f///y

H-M/(í,z)) - /И II < /7 /#> + -Ц-М12) + 6 Pn] +

(k2 + ir-1 + 2°-1kr1Mfea-3 (6)

+ 6k2(k1 + k2) м/г" +

+

(k2 - l)k“+2 + (k2 - l)k“+2 + k2 - k2 (Щ — k2)(k2 — l)(k| — l)(a3 + 6a2 + lia + 6)

Mha—2en5)+

+

(к? - 1)к°+3 + (Щ - 1 )к°+3 + Ц-Щ (к| — к2)(к2 — 1){к2 — 1)(а3 + 6а2 + 11а + 6)

+

+

+

((к2 + I)“-1 + 2°-^-1){к\ + к2 + 1) 6к2(кі + к2)

(к4 — 1)ка+2 + (к| — 1)к^+2 + к| —

(к| — к2)(к2 — 1)(к2 — 1)(а3 + 6а2 + 11а + 6)

м^-1вП4)+

+

(к4 — 1)к2а+3 + (к4 — 1)к^+3 + к4 — к4

(к2 — к2)(к2 — 1)(к2 — 1)(а3 + 6а2 + 11а + 6)

+

+

((*2 + 1)а-1 + 2“-1кГ1)(к2 + к2 + к2к2)

6к2(кі + к2)

м^а+1вП2)+

+

(к2 — 1 )к2к^+2 + (к| — 1)к“+2к| + к^к^Щ — к2)

(к| — к2)(к2 — 1) (к| — 1)(а3 + 6а2 + 11а + 6)

м^а+2ві1)+

+

к2ка+3(к2 — 1) + ка+3к2 (к2? — 1) + к2к2(к2 — к2)

(к^ — к2)(к2 — 1)(к2 — 1)(а3 + 6а2 + 11а + 6)

+

+

((к2 + 1)а-1 + 2а-1ка-1)к2к2

6(к1 + к2)

м^а+3вП0),

где Дг) = ||ЬП((Ь -ж)*,ж)||, где * = 0,6.

Доказательство теоремы

Фиксируем произвольным образом ж € [а, 6] и п € N и рассматриваем функцию ^п(£) = /(г) — 5п(^), где дп(г) - полином Лагранжа, совпадающий со значениями функции /(г) в точках (узлах) ж1 = ж — к2^„, ж2 = ж — к^п, жз = ж — Л.„, ж4 = ж + Л.„, ж5 = ж + к1^„, же = ж + к2^„, а ^п(г) -остаточный член интерполяции.

По определению ^п(£) имеем равенство / (г) — / (ж) = д„(г) — / (ж) + у>п(г).

Отсюда получаем (учитывая, что Ь„(1,ж) = 1).

1-М/(і),ж) — /(ж)|| < ||Ь„(#(і),ж) — /(ж)|| + ||Ь„(^„(і),ж)|| .

(2)

Оценим первое слагаемое неравенства (2).

Функция /(г) имеет в окрестности точки ж ограниченную третью производную (/(г) € Ш3НМ). Тогда по формуле Тейлора

/ (і) = / (ж) + //(ж)(і — ж) + ///(ж)

//(

(і — ж)2

+ ///7(ж)

(і — ж)3

+ м(і).

Отсюда

£п(/,і) — / (ж) = / /(ж)(і — ж) + ///(ж)

//(

(і — ж)2

+ ////(ж)

^ (і — ж)э ~6

+

(3)

где д(у«, і) - функция, непрерывная относительно ц Є [а, 6] при любом значении і Є [а, 6] (является многочленом Лагранжа, интерполирующим функцию ^(і) в узлах ж*, і = 1,..., 6).

По интерполяционной формуле Лагранжа

#(^,і) = ^(ж — к2^„)

((і - ж)2 - к2/і2 )((і - ж)2 - /і2 )(і - ж - к2/і„) —2 к2(к2 — к|)(1 — к|)/г®

+

+^(ж — к^п)

((£ - ж)2 - к|- ж)2 - /г2 )(£ - ж - к\Ь,п) —2кі(к| — к2)(1 — к2)/і®

+

, A{t-x)2 - klh2n)((t - х)2 - k¡hi)(t - X - hn) Ых - ------------2(*?-1)^-1«----------+

Mt-x)2 - k¡h2n)((t - х)2 - klh2n)(t - X + hn)

+M + 2(kj - l)(k2 - l)hl W

Mt-x)2 - k%h2n)((t - x)2 - h2n){t - X + kxK)

+,‘{x + lí,h")-----------------------------------------+

, i , , u ^{{t - x)2 - k\h2n){{t - x)2 - h2n){t - x + k2hn)

+ 2 2k2(^-^)(l-^ •

Так как ^///(t) = f///(t) — f///(x), то ^///(t) G Lipa. Следовательно, выполняется неравенство |^///(t) — ^///(x)| < M |t — x|a.

Три раза интегрируя обе части неравенства (учитывая при этом, что ^,(x) = (x) = М//( x) =

^///(x) = 0), получаем

Kt)|< М|^жГЗ - М|^жГЗ

(а + 1)(а + 2)(а + 3) а3 + 6а2 + 11а + 6

Подставляем в (3) вместо д(^, г) выражение (4) и переходим к неравенству относительно операторов {Ь„}. Учитываем при этом свойство модуля. Получаем окончательно

f//(t)|

\Ln(g(t),x) — /(х)| < f!{x) ■ \Ln(t - x,x)| + J■ \Ln((t - x) , x)\ +

|f///(t)| „,з ^ , Mk2“+3ha-2

6 ' ^ ^ ^ ^2(^2 — к2)(Щ — l)(a3 + 6a2 + lia + 6)

x(|L„((t — x)5, x)| + k2h„ |L„((t — x)4, x)| + (k2 + 1)h^ |L„((t — x)3, x)| +

+k2(k2 + 1)h_n |L„((t — x)2, x) + k2^ |L„(t — x,x)| + ^2^)+

Mk“+3/i“-2 ^

k (k| — k2)(k2 — 1)(a3 + 6a2 + 11a + 6) x(|L„((t — x)5, x)| + k ih„ |L„((t — x)4, x)| + (k^ + 1)h^ |L„((t — x)3, x)| +

+k 1 (k2 + 1)^П |L„((t — x)2, x^ + k^n |L„(t — x,x)| + k 1^^)+

Mha

+ ”

2

(к2 — 1)(к2 — 1)(а3 + 6а2 + 11а + 6) х(|ь„((г — ж)5, ж)| + Л.„ |ь„((г — ж)4, ж) | + (к2 + к|)^п |ь„((г — ж)3, ж)| +

+(к2 + к|)^П |Ь„((г — ж)2, ж)| + к^^П |Ь„(г — ж, ж)| + к2к|^П).

Перейдем от модуля к норме, обозначая при этом вПг) = УЬп((г — ж)*, ж) II и группируя множи-

тели при вПг). Получаем

|L„(g(t),x) — f(x)|| <

Mh°r-2fi\V a3 + 6a2 + lia + 6

(.k\ - 1)Щ+2 + (k2 - 1 )k“+2 + k2 - k¡ (Щ - kf)(kf - 1)(&2 _ 1)

+

/

+ -

м^-1вП4)

+

+

¿3 + 6а2 + 11а + 6

МЬ°пф3) а3 + 6а2 + 11а + 6

М^+1Д2)

а3 + 6а2 + 11а + 6

'(к2 - \)Щ+3 + (к2 - 1 )к“+3 + *2 - к2' _ {Щ - Щ_){к\ - 1)(к1 - I)

~{к\ - 1)к2“+2 + (к% - 1)к^+2 + ¡4- к\ _ {к2-к2)(к2-1)(к2-1) .

\к\ - 1)к2а+3 + (к| - 1 )к^+3 + к| -(Щ - к1)(к\ — 1)(Щ — 1)

+

+

+

+ -

+ -

к3 + 6а2 + 11а + 6

М/і“+3 !3 + 6а2 + 11а + 6

М/і“+2/ЗІ1} [(к\ - 1)к\Щ+2 + {к22 - 1 )к^+2к22 + к\к22{к22 - к\)'

. (Щ - к2)(к1 - 1)(Щ - 1) _

(к2 - 1 )к2Щ+3 + {к2 - 1)к*+3к2 + к2к2{к2 - к2) (Щ - к\)(к\ - 1)(к% - 1)

+

Оценим второе слагаемое неравенства (2). По интерполяционной формуле Ньютона имеем |^(г)| = |/(г; жь ж2; жз; ж4; ж5; жв)| • |(г — ж)6 — (к2 + к^ + 1)Л|(£ — ж)4 +

+ (к1 + к2 + к1к2)Лп(і — ж) — к1к2Лп| .

Оценим вначале разделенную разность

|/(і; ж1; ж2; ж3; ж4; жб; жв)| <

|/(ж3; і; ж4; жб; же) + /(ж2; ж3; і; ж4; жб)

+

|/(ж2;ж3;ж4;ж5) + /(жі;ж2;ж3;і;ж4) (ж6 - Жі)(ж5 - Жі)

(же — ж1)(же — ж2)

■+

Для любых ¿1, ¿2, ¿3, ¿4, іб Є [а, 6], таких, что ¿1 < ¿2 < ¿3 < ¿4 < ¿б

|/(¿1;¿2;¿3;¿4;¿б)| <

////(Є2) — ////(Є1)

/ (¿2; ¿3; ¿4; ¿б) + / (¿1; ¿2; ¿3; ¿4)

6(іб — ¿1)

<

6(іб — ¿1) М|6-£іГ^М і

є“1 1

где 6. Є [¿1;¿3], 6 Є [¿2; ¿4].

Оценим каждую из разделенных разностей четвертого порядка по отдельности:

М.

|/(ж3; і; ж4; ж5; ж6)| = |/(жі; ж2; ж3;і; ж4)| < — (&2 + 1)“ Ы

6

а—1ьа—1

п

М

|/(ж2;ж3;і;ж4;ж5)| < —(2/гі)“ /і!

6

а—1ьа—1

п.

Сама разделенная разность шестого порядка удовлетворяет неравенству

' (к2 + 1)а—1 + (2к1)а—1

|/(і;ж1;ж2;ж3;ж4;жб;же)| < Отсюда получаем

ЦЬп(^(і),ж)| <

6к2(к1 + к2) (к2 + 1)а—1 + 2а—1ка—1

МЛ,:

а—3

+

+

6к2(к1 + к2)

((к2 + 1Г-1 + 2°-1кГ1)(к2+к2 + 1)

&к2{кі + к2)

((к2 + і)°-і+2°-ікг:ут+к2+к2к2) л^а+1 &к2(к\ + к2)

мла—3впе)+

мла—1вП4)+ мла+1вп2)+

((к2 + 1Г-М2^кГ1)ф2 3 (0)

+ 6(к1+к2) МК ■

Суммируя оценки, получаем указанный в теореме результат.

Заметим, что полученная оценка верна и в том случае, если к1, к2 зависят от п (к1 = к1(п), к2 = к2(п)). Разумеется, должны выполняться неравенства 1 < к1(п) < к2(п).

Список литературы

1. Абакумов Ю. Г., Забелина Н. А., Шестакова О. Н. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса Я2т // Сибирский математический журнал, 2000.

№2. С. 247-252.

2. Абакумов Ю. Г. Последовательности линейных функционалов и аппроксимационные свойства линейных операторов. Чита: ЧитГУ, 2004. 179 с.

3. Баскаков В. А. Об операторах класса Я2т, построенных на ядрах Фейера // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2001. С. 5-11.

4. Ершова Е. М. Операторы класса Я2т и их аппроксимативные свойства: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, 2002. 17 с.

5. Мэдэгэй М. Б. Об аппроксимационной оценке приближения функций одного класса// Моделирование. Системный анализ. Технологии. Чита: ЗабИЖТ, 2008. С. 36-40.

6. Шестакова О. Н. Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Ят и их двумерных аналогов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Владивосток, 2004. 18 с.

Рукопись поступила в редакцию 20 апреля 2011 г.