CC BY
28
УДК 517.51
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86)
53
ОБ ОДНОЙ АППРОКСИМАЦИОННОЙ ОЦЕНКЕ
© 2011 М.Б. Мэдэгэй1
Рассматриваются линейные операторы, удовлетворяющие некоторым условиям. Указанные операторы являются частным видом операторов класса >?2т (по П.П. Коровкину). Получена оценка величины \Ln(f,x) — f(х)\ для / £ №2НМ, Ln принадлежат классу Я6. Для вывода оценки используется метод интерполяции, описанный в работах Ю.Г. Абакумова, О.Н. Шестако-вой.
Ключевые слова: линейные операторы, аппроксимационная оценка, метод интерполяции.
1. Предварительные сведения
Пусть / (г) € С [а, Ь] или /(г) € , Ьп : С [а,Ь] ^ С [а, Ь] или Ьп : С2П ^ — последовательность линейных операторов. Последовательность {Ьп} называется аппроксимирующей, если У/ € С [а, Ь] или У/ € С2п выполняется \\Ьп(/,х) — /(ж)У ^ 0 при п ^ <х>. Пусть Ш С С [а,Ь] или Ш С С2п —некоторое множество (класс) функций. Аппроксимационными оценками называют неравенства вида
\\Ъп(/,х) — /(ж)\\ < ап ^ 0, (1)
которые выполняются при условии / € Ш. Правая часть ап зависит от характеристик класса Ш и от характеристик операторов Ьп.
Хорошо отработана методика получения оценок вида (1) в случае, если Ьп — положительные операторы. Напомним, оператор называется положительным, если
/(г) > о ^ Ух Ьп(/,х) > о.
В предлагаемой статье рассматриваются последовательности аппроксимацион-ных операторов, не являющихся положительными.
В [1] приводится следующая схема получения оценок в терминах линейных нормированнных пространств.
Пусть X — линейное нормированное пространство. Множество К С X называем конусом, если К — замкнутое выпуклое множество, которое вместе с любым, принадлежащим ему элементом содержит луч, состоящий из элементов вида Хр, где Х ^ 0 —действительное число. Если К означает конус, то К * —множество линейных функционалов с конечной нормой, неотрицательных на К.
1 Мэдэгэй Марина Батоевна ([email protected]), кафедра прикладной механики и инженерной графики Забайкальского института железнодорожного транспорта — филиала Иркутского государственного университета путей сообщения, 672040, Российская Федерация, г. Чита, ул. Магистральная, 11.
Полагаем, что в X зафиксирована последовательность конусов Кп, п = 1,2,... и последовательность элементов рп, причем ||рп|| равномерно по п ограничены, Л € X*, Г = Ни {г^}=1, при этом полагаем, что линейно независима (здесь
ИпМ означает линейную оболочку множества М).
Будем полагать, что р € Ф = Ф(Г, {Кп} , {рп}), если по р найдутся последовательности положительных чисел сп и последовательность элементов дп € Г такие, что СпРп -р + дп € Кп, -СпРп -р + дп € -Кп, при этом Спл(рп) ^ 0, ¡(дп -р) ^ 0. Схема получения аппроксимационных оценок, предложенная в [1], основана на использовании неравенства
п (р) - ¡(р)\ < Сп ¡ п (рп) + \лп(дп) - ¡(р)\, (2)
где ¡п € Кп.
Конкретизацией этой схемы является так называемый метод интерполяции (см. [2; 3]). Кратко изложим суть метода. Будем говорить, что последовательность операторов Ьп, Ьп : С [а,Ь] ^ С [а, Ь] или Ьп : С2П ^ С2П удовлетворяет условию и(т, {Ьп} , {к}), где т > 0 — целое, Ьп | 0, п = 1, 2,..., 1 < к\ < ... < кт—1, если
т— 1
агдп^п(Ь) = ягдп(Ь2п - (Ь - х)2) (к^Ь^ - (Ь - х)2) ^ Ьп(фп(Ь),х) > 0.
г=1
Согласно [4] эти операторы принадлежат классу 52т. Заметим, что в периодическом случае запись (Ь - х)2 означает 2п-периодическую функцию, равную (Ь - х)2 на (х - п,х + п].
Согласно методу интерполяции вывод оценки величины ЦЬп(/(Ь),х) - /(х)|| производится по следующей схеме:
1) фиксируем (произвольным образом) х;
2) вводим вспомогательную функцию <^п(Ь) = /(Ь) -дп(Ь), зависящую от п, где дп(Ь) —интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполирующий /(Ь) в узлах х ± Ьп, х ± к^Нп, г = 1,...,т - 1;
3) полагаем
т— 1
рп(Ь) = (Ь2п - (Ь - х)2)Ц (к2Ь2п - (Ь - х)2)
г=1
и подбираем сп > 0 так, чтобы \^п(Ь)\ ^ сп \рп(Ь)\;
4) отсюда следует, что \Ьп(^п(Ь),х)\ < СпЬп(рп(Ь),х);
5) предполагая Ьп(1,х) = 1, получим
Ьп(/(Ь),х - /(х) < СпЬп(рп(Ь),х) + \Ьп(дп(Ь),х) - /(х)\;
6) выражаем ЬГ1(рп(Ь), х), Ц/(Ь,х1, ...,х2тМ через Ьп и = 11¿п((Ь - х)®,х)|| и получаем оценку.
В последнем пункте обозначено х1 = х - ктЬп, х2 = х - кт—1Ьп, ... ,хт = х -- Ьп, хт+1 = х + Ьп, ..., х2т = х + к2тЬп, /(Ь, х1,..., х2т) —разделенная разность (см.[5]).
Для любого целого т ^ 1 известны конкретные аппроксимационные последовательности, удовлетворяющие условиям типа и(т, {Ьп} , {к}) при некоторых конкретных значениях Ьп и к.
2. Формулировка результата
Аппроксимационные оценки методом интерполяции получены О.Н. Шестако-вой, Е.П. Галайдой (при т = 1,2), Ю.Г. Абакумовым (при т = 2, 3). Ниже мы
получим новую оценку при значении т = 3. Результат оформим в виде теоремы следующего содержания.
Теорема. Пусть дана некоторая монотонная, сходящаяся к нулю последовательность действительных чисел Нп. Пусть далее оператор Ьп удовлетворяет усло-
sign^n(t) = sign JJ {kfh2n - (t - x)2) ^ Ln (pn(t),x) > 0,
=0
ko = 1, 1 < ki < k2. При этом Ln(1,x) = 1. Тогда для функции f (t) G C [a, b], f ¡¡ (t) G Lipa, где 0 < a < 1, имеет место оценка
Ln(f (t,x)) - f (x)|| <
• P^ + ^ ^n2) +
+ [(ki + k2 + 1)(k1 + 1)-1 + k1 (k2 - V*-1] M 4fí(6), + 2kik2(ki + k2)(k2 + 1) n Pn ^
+ k2"+1(k2 - 1) + k^ki - 1) + (k2 - k2) Mha-3в(5) + + / 2 , o f,w,2 ^U.J iuj2 14 Mhn Pn +
+(kq+2(k 2 -1) + k g+2(k| - 1) + (k2 - k2) +
(a2 + 3a + 2)(k2 - k2)(k2 - 1)(k 2 - 1)
2 2
+ ((k 1 + k2 + 1)(k 1 + 1)a- 1 + k 1 (k2 - 1)a- 1 )(k 1 + Щ + 1) -2 P(4) +
+ 2k 1k2(k 1 + k2)(k2 + 1) ' n Pn +
+ ka+ \k4 - 1) + k?+ 1(k4 - 1) + (k4 - k4) Mha-1e(3)+ (3)
+ (a2 + 3a + 2)(k2 - k2)(k2 - 1)(k2 - 1) Mhn Pn + (3)
+(ka+2(k 4 -1) + k g+2(k| - 1) + (k4 - k 4) +
+( (a2 + 3a + 2)(k2 - k 2)(k2 - 1)(k 2 - 1) +
+ [(k 1 + k2 + 1)(k 1 + 1)a- 1 + k 1 (k2 - 1)a- 1 ] (k 2 + k2 + k 2k2) )Mhae(2) + + 2k 1k2(k1 + k2)(k2 + 1) )Mhn en +
+ k2k2 + 1 (k 2 - 1) + k a+1 k2(k2 - 1) + k2k2(k2 - k 2) Mha+1 P( 1) + + (a2 +3a + 2)(k2 - k2)(k2 - 1)(k 2 - 1) n Pn +
+ ( k 2k2+2 (k 2 - 1) + k "+2k2(k2 - 1) + k 2k2(k2 - k 2) + +( (a2 +3a + 2)(k2 - k2)(k2 - 1)(k 2 - 1) +
2 - 2 -\a—1 i u. (U~ 1 "la —l4!
+ (k 1 + k2 + 1)(k 1 + 1)a- 1 + k 1 (k2 - 1)°- 1 )k 1k2 + 2
+ 2(k 1 + k2)(k2 + 1) J n '
здесь pn = ||Ln((t - x)®,x)||, где i = 1, 6
вию
¡
3. Доказательство теоремы
Фиксируем произвольным образом х € [а, Ь] и п € Ж и рассматриваем функцию ¥>п(£) = /(¿) — дп(^), где дп(Ь) —полином Лагранжа, интерполирующий функцию /(£) в узлах Х1 = х — к2Ьп, х2 = х — к\Нп, хз = х — Л.п, Х4 = х + Ь,п, Х5 = х + к\Нп, Хб = х + к2Нп. Обозначим ^n(t) как остаточный член интерполяции. По определению у>п(£) имеем равенство / (*) — / (х) = Яп(£) — / (х) + ^п(^).
Отсюда получаем (учитывая, что Ьп(1,х) = 1)
ЦЬп(/(Ь),х) - /(х)|| < ИЬп(д(Ь),х) - /(х)|| + ЦЬп&п(Ь),х)Ц . (4)
Оцениваем первое слагаемое неравенства (4).
Так как функция /(Ь) имеет в точке х производную до второго порядка включительно (/(Ь) € Ш2НМ), то по формуле Тейлора имеем
/ (Ь) = / (х) + / /(х)(Ь - х) + ///(х)(-^ + ¡(Ь).
Отсюда
дп(/,Ь) - /(х) = //(х)(Ь - х)+ ///(х)(-^ + д(щ,Ь), (5)
где д(щ, Ь) — функция, непрерывная относительно щ € [а, Ь] при любом значении Ь € [а, Ь] (является многочленом Лагранжа, интерполирующим функцию ¡(Ь) в узлах х^, г = 1,..., 6).
По интерполяционной формуле Лагранжа
Ь) = -шщ-т-ад [((- х)5 - кЬ (Ь - х4 - к + - *? +
+ к2(к2 + 1)Ь3п(Ь - х)2 + к2ьп(ь - х) - ^ьп] +
+ 2к(2" 2 ('1 к^ К'Ь - х)5 - к1 Ьп(Ь - х)4 - к + ^ - х)3 +
+ к1(к2 + 1)Ь3п(Ь - х)2 + к2Ь4п(Ь - х) - ккЬп] +
+ -2{ Щ-^Ь- 1)Ьп [(Ь - х)5 - Ьп(Ь - х)4 - (к2 + к2) Ььп (Ь - х)3 +
+ (к2 + к2)Ь3п(Ь - х)2 + к2к2Ь4п(Ь - х) - к2^^] + (6)
2(1 -к2)(1 - Щ)ьп^ ^ (
+ [(' - х)5 + Ьп(Ь - х)4 - (к2 + к22)Ь2п(Ь - х)3 -
- (к2 + к2^)ЪЬп(Ь - х)2 + к2к2Ь4п(Ь -х) + к2к2ьп] +
+ 2 к Лк ¡(- ^ [(Ь - х)* + кЬ (Ь - х)4 - (к 22 + 1Ь (Ь - х)3 -
- к1(к2 + 1)Ь3п(Ь - х)2 + к22Ь4п(Ь - х) + к1к%ьп] +
+ 2 ык т*- 1)Ьп [(Ь - х>* + (Ь - ^ - к + ^ - х)3 -
- к2(к2 + 1)Ь3п(Ь - х)2 + к2Ь4Г1 (Ь - .
Применяя к выражению (5) последовательность линейных операторов и учитывая при этом (6), получаем
Ьп(д(Ь),х) - /(х)= //(х)Ьп(Ь - х,х) + • Ьп((/ - х)2,х)+
¡( х - 2 Ь )
+ -2к 2(Я - к2 ){1 - к2)Ы • Ьп ((Ь - х) - к Ьп (Ь - хГ - (к11 + 1)Ьп (Ь - хУ +
+к2(к2 + 1)Ьп(Ь - х)2 + к2Ь4п(Ь - х) - к2к2Ь5п),х)+
+
¡(х — к^п)
—2к1(к2 — к2)(1 — к2)^п
Ьп((г — х)5 — к1^п(* — х)4 — (к2 + — х)3+
+
+к1(к2 + 1)Ь3п(Ь — х)2 + к2,Ь4п(Ь — х) — к1к|^п),х)+ ¡(х — Нп)
Ьп((Ь — х)5 — Нп(г — х)4 — (к2 + к 2 )К(г — х)3+
+
—2(к2 — 1)(к2 — 1)нп ^
+(к2 + к|)Нп(Ь — х)2 + к2Щк^Ь — х) — к2к2И,5п, х)+
(х + Нп) т /и , ,4 , О >247 2,
1 — 2(к2)(1 — к2)нп
Ьп ((Ь — х)5 + Нп(Ь — х)4 — (к2 + к2)Н2п(Ь — х)3 —
+
+
— (к 2 + к2)Нп(Ь — х)2 + к 2 к2^(Ь — х) + к 2к|нп, х)+ ¡¡(х + к 1Нп)
2к 1 (к 2 — 1)(к 2 — к2)нп
Ьп((Ь — х)5 + к1Нп(Ь — х)4 — (к2 + 1)Нп(Ь — х)3 —
—к1(к2 + 1)Нп(Ь — х)2 + ЦЪпХЬ — х) + к1к2Нп, х)+
¡¡(х + к2Нп)
2к2(к2 — к2 )(к2 — 1) нп
Ьп((Ь — х)5 + к2Нп(Ь — х)4 — (к2 + 1)Ь2п(Ь — х)3 —
—к2(к2 + 1)Нп(Ь — х)2 + к21Ъ4п(Ь — х) + к2к2Ьп, х). Так как (Ь) = /II(Ь) — /II(х), то (Ь) € Ыра. Следовательно, выполняется неравенство (Ь) — ¡л11 (х) | ^ М \Ь — х\а.
Два раза интегрируя обе части неравенства (учитывая при этом, что ¡(х) = = л1 (х) = л11 (х) = 0), получаем
а+2
\л(Ь)\ <
М \Ь — х\ (а + 1)(а + 2)'
\Ьп(д(Ь),х) — /(х)\ < /|(х) ■\Ьп(Ь — х,х)\ +
+
+
+
2 + 3а + 2
МНа-2 1Ьп((Ь — х)
2 + 3а + 2
+
+
а2 + 3а + 2 МНа1Ьп ((Ь — х)2,х)|
а2 + 3а + 2 МН0+1 \Ьп((Ь — х),х)
+
2 + 3а + 2
МЪап+2
2 + 3а + 2
МЪ°п-3 |Ьп((Ь — х)5,х)
ка+1 к2
+
|/||(х)|
к^1
Ьп((Ь — х)2,х)| +
+
(к2 — к2)(к2 — 1) (к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)]
х)4, х)
к2
+
+
(к2 — к 2)(к2 — 1) (к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)
МЪап- 1 Ьп((Ь — х)3,х)
кГ 1 (к2 + 1)
+
к а+1 (к2 + 1)
+
к 2 + к 2
[(к2 — к 2)(к2 — 1) (к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)]
+
+
+
к2а+2(к 2 + 1)
+
к Г+2(к2 + 1)
+
к 2 + к 22
(к2 — к 2)(к2 — 1) (к2 — к2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)
к2 ка + 1 к к2
+
к а + 1 Р к к2
+
к2 к2 к к2
(к2 — к 2)(к2 — 1) (к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)]
+
+
к2к«+2 к к2
+
ка+2к2 к к2
+
к2 к2 к к2
(к2 — к 2 )(к2 — 1) (к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)
Переходим от модуля к норме. При этом обозначаем рвп = ||Ьп((Ь — х)г,х
\\ЬпШ,х) — /(х)|| <
■ + ^ вп2)+
+
Мна
3
2 + 3а + 2
к + к2
+
к +
+
(к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — к 2)(к 2 — 1) (к2 — 1)(к 2 — 1)
вп5)+
2
1
1
I
1
+
МЬ
а-2
а2 + 3а + 2
-1
ка+2 к2
+
к^2
+
[к - к2)(к2 -1) к - к2)(к2 -1) к - 1)(к2 -1)]
+
мьа—
а2 + 3а + 2
ка+1(к2 + 1)
+
кд+1(к2^ + 1) 2\(1.2
+
к12 + к12
КМ - к2)(к2 - 1) к - к2)(к2 - 1) к - 1)(к2 -1)]
+
+
мьа
а2 + 3а + 2
ка+2(к 2 + 1)
+
ка+2(к2
1)
+
к 2 + к22
(к2 - к2)(к2 -1) 1 к - к2)(к2 -1) 1 к - 1)(к2 -1)
в(3)+ (7)
вп2)+
мьг+1
а2 + 3а + 2
к1 к2
+
к1 к2
+
к2к2
к - к2)М -1) м - к2)(к2 -1) к - 1)(к2 -1)]
+
МЬа+2 а2 + 3а + 2
к к2
+
к к2
+
к2 к2 к к2
к - к2)(к2 -1) М - к2)(к2 -1) М - 1)(к2 -1)
Оцениваем второе слагаемое неравенства (4). По интерполяционной формуле Ньютона имеем
\^(Ь) \ = \/(Ь; х 1; х2; х3; х4\ х*; х6) \ |(Ь - х)6 - (к2 + к\ + 1)Ь\-- (к2 + к2 + 1)Ь2(Ь - х)4 + (к2 + к2 + к2М)ьп(ь - х)2 - к2к%ьп|. Оцениваем вначале разделенную разность
1
\/(Ь; х 1; х2; х3; х4; х5; хб)\ <
2к2(к1 + к2)Ь2п
\/(х4; Ь; х*; хб)\ + \/(х3; х4; Ь; х*,)\ + \/(х2; Ь; х3; х4)\ + \/(х1; х2; Ь; х3)
+
(к2 + 1)Ьп \/(х3; Ь; х4; х*)\ + \/(х2; х3; Ь; х4) кЬ
+
).
Для любых Ь1,Ь2,Ь3,Ь4 € [а, Ь]: Ь1 <Ь2 <'3 < Ь4
\/(Ь2; Ь3; Ь4)\-\/(Ь1; ь2; Ьэ)!
\/('1;'2;'3; Ь4)\ =
1 ///(Ь) - ///(^1)
Ь4 - Ь1
<
Ь4 - Ь1
\б - аг
2(Ь4 - Ь1) 2
< М (4 - иГ — 1
где £1 € [Ь1; '3], £2 € [Ь2; Ь4].
Оцениваем отдельно абсолютные величины разделенных разностей третьего по-
рядка:
М
\/(х4; Ь; х*; хб)\ = \/(х1; х2; Ь; х3)\ < - 1)а Ь
г—1 иг—1
■п 1
М
\/(х3; Ь; х4; х*)\ = \/(х2; Ь; х3; х4)\ < + 1)г Ь
г—1иг—1 п .
Подставляем полученные оценки в оценку разделенной разности, содержащей Ь
\/(Ь; х\; х2; х3; х4; х*; хб)\ <
<
мьг
4
2к2(к1 + к2)
(к2 - 1)г — 1 + (к1 + + (к1 + 1)'
1
к2 + 1
и слагаемое получает оценку МЬг—4
(к2 - 1)г—1 + (к1 + 1)г—1 +(к1 + 1)'
1
к2 + 1
к1
в(6)+
+
МК—2(к2 + к2 + 1)
2к2(к1 + к2)
к2 + 1
г—1
+
(к1 + 1)
г—1
к1
в(4) + (8)
1
(
х
1
+
Mhg (k( + ц + kfk22) 2k2(ki + k2) Mha+2k2 k2
(k2 - 1)a-1 + (ki + 1)c
+
2(ki + k2)
(k2 - 1)c
k2 + 1 1 + (ki + 1) a-1
1 +(ki + 1)
a-1
+
ki
(ki + 1)a-1
к2 + 1 к1 Суммируя оценки (7) и (8), получаем указанный в теореме результат. Заметим, что полученная оценка верна и в том случае, если к1, к2 зависят от п (к1 = к1(п), к2 = к2(п)). Разумеется, должны выполняться неравенства 1 < к1(п) < к2(п).
Литература
[1] Абакумов Ю.Г., Забелина Н.А., Шестакова О.Н. О последовательностях линейных функционалов и некоторых операторах класса S2m // Сибирский математический журнал. 2000. № 2. С. 247-252.
[2] Шестакова О.Н. Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm и их двумерных аналогов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Владивосток, 2004. 18 с.
[3] Абакумов Ю.Г. Последовательности линейных функционалов и аппроксима-ционные свойства линейных операторов. Чита: ЧитГУ, 2004. 179 с.
[4] Коровкин П.П. Сходящиеся последовательности линейных операторов // Успехи математических наук. 1962. Т. 17. № 4(106). С. 147-152.
[5] Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.
Поступила в редакцию 30//V/2011;
В окончательном варианте — 30//V/2011.
ON ONE APPROXIMATION ESTIMATE
© 2011 M.B. Medegey2
Linear operators satisfying some conditions are considered. The given operators are a particular kind of class S2m operators (by P.P. Korovkin). The estimate of the value \Ln(f,x) — f(x)\ for the f e W2 Ha is received, Ln belongs to the class S6. For the estimate derivation the interpolation method is used, described in the works by Yu.G. Abakumov and O.N. Shestakova.
Key words: linear operators, approximation estimate, interpolation method.
Paper received 30//V/2011. Paper accepted 30//V/2011.
2Medegey Marina Batoyevna (medegeyamail.ru), the Dept. of Applied Mechanics and Engineering Graphics, Trans-Baikal Railway Transport Institute, Chita, 672040, Russian Federation.
