Об оценке аппрокимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Filippov V. /., Oswald Р. Representation in Lp by series of translates and dilates of one fimction // J. Approx. Theory. 1995. Vol. 82. Р. 15 - 29.

4. 'Герехин П. А. Сжатия и сдвиги функции с ненулевым интегралом // Математика. механика- математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1999. Вып. 1.С. 67-68.

5. Терехин П. А. Фреймы в банаховом пространстве и их приложения к построению всплесков // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопроса.«: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2003. Вып. 2. С. 65 - 81.

УДК 517.51

А. Ю. Трынин

ОБ ОЦЕНКЕ АППРОКСИМАЦИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПО СИНКАМ*

Начиная с известной теоремы Крамера [1], на стыке спектральной теории дифференциальных операторов и конструктивной теории функций появился ряд интересных работ, посвященных различным направлениям обобщения классической теоремы Котельникова. В процессе этих исследований получены различные представления целых функций рядами, в основу конструкции которых положен принцип построения интерполяционного оператора Лагранжа. Много серьёзных результатов получено методом контурного интегрирования как для действительных [2 - 5], так и для комплексных [6 - 8] узлов интерполирования, удовлетворяющих некоторым условиям "равномерности распределения". Изучается также связь между этими "sampling" теоремами и интерполяцией Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма - Лиувилля, например [9]. В статье получена теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть / е АС(Кк), то есть /- аналитическая, непрерывная вплоть до границы, в круге Ке - [z :| z - л/2 |< я/2 + е} функция, для некоторого положительного s. Тогда найдётся такое натуральное и8, зависящее только от 8, что для всех п > пе n х е [0, пj

ji=0 (nx-kn)

<(ln^±l+2). H/IIM«)!

V5-1

<

-у 1

12J л-- 2 и

(1)

где \f\ = maxj/0)|.

хеЛ',.

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 04-01-00060).

Доказательство. Обозначим

кп "

« *=о

Тождественно преобразуем левую часть (1)

I ад/,*)-Д*)Ь

|¿to®'«(**,»)(*«У I и Js>n(«**,n) sin(wc)

sin m "

¿-a

При каждом натуральном n оценим уклонение интерполяционного

многочлена Лагранжа от интерполируемой функции — f (х) по фор-

sin(«x)'

муле Эрмита [10]. В качестве контура интегрирования возьмём окружность г- л я л „

Г„ с центром в радиуса — н--. Эта окружность при каждом п охваты-

2 2 2и

вает п + 1 узел хк п, к = 0,1,...,и. Так как х е [0, л], то из (2) следует ¡sin«.Vj| " Ш„(х)

К(*)||*=ош'п(**,и )(*-**,«) V п )*Ыпхк,п) sin (их)" Jlsinwcl f /(4)

2л/ J (£ - x)sin(«£)

. |/||sin(Hx)j 2л т

(£, - x)sin(nt)

(3)

С делав замену Е, = - - +•. , , 2 1^2 2 п)

теграл (2), учитывая, что

Л ( Л Л ] ,'ф

н---е , с помощью неравенства (3) оценим ин-

фе[0.2п]!' v2 п

jsinwxj II/IK" + 1)

4 п (2 л ^ л

1 - + — 1 - — — 1

V л 2п) 2|

|А (/*)-/(*)!

2л

: • ТТЛ ,и(и+!1

г. (4)

В зависимости от чётности и оценка распадается на два случая.

Г 1

, при п нечетных -------< Тогда

Обозначим Х«(Ф):

>cos( — -е v)

1

, при и четных

sin ид-1 !:/!!(«+ 1) 2nr Ln(f,x) - f{x\ < - ■ '----|х„(ф)^ф. (5)

in я " \ 1 Kl

- + — - \x - -

U Inj 1 ! 2,!

Рассмотрим случай п = 2т + 1, т = 0,1,2... Пусть А>2. Обозначим 1 А

через 5„ ------------1п-. Выберем тп настолько большим, чтобы для

4(« + 1) А- 2

любого натурального т> т0 8т е [0, .

8 ~ 1ЬИ+](ФМФ<4 |-------------С/0 , + 4 |--^......(6)

5 " 5 |С05(7С(/И + 1)с08ф)| 5 :.?/1(Ж(т + 1)31пф)|

Найдётся такое натуральное т] > т0, что неравенство

|соз(л(и + 1)совф)| > — (7)

будет выполняться для любых т>тх и ф е [0, бя]. Нетрудно проверить,

что, если ф>би =-1п---, А >2, то 8|1(тс(/я + 1)з1пф) >

4{т + 1) А - 2 А

Поэтому можно утверждать, что для второго интеграла в (5) справедливо

!Г ^ <г л I ¿Ф -ЩА- 2) ..

неравенство---------- < А ---.—. ,, < -----. Отсюда, а

^ 5/г(я(т + 1)8шф) ^ е-я(»+Пяпф) 2(т + 1)

также из (5), (6) и (7) для любого х е [0, л] и нечётного п>п0 = 2тх +1 получаем

I

sin пх 1/11 ( а I--

\Ш.Х) - /(*) < !--Т---- In— - + ЛМ(Л - 2)

п (п п 1 ! щ\ А-2 I

Ii/1 f

'"1-1 2 n) \ w-f 2|

В случае чётного п = 2т, т = 0,1,2,..., проведя аналогичные рассуждения, для достаточно больших чётных п получим

зкгаг] 1/11 (А 'Л

-№\*1 _ - Ч-г!+ (А(А ~ 2))4 I ■

in n ) 7t

- + — — X -

U In) ?

Окончательно, в силу того что

min maxi [ In-Л - + Jä(A- 2)\iln — + (A(A- 2)Y ¡) = 2 + 1пД-^,

a> 2 U A- 2 V .Д A-2 JJ V5-1

получаем утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kramer HP. A generalized sampling theorem // J. Math. Phus. 1959. Vol. 38. P. 68 - 72.

2. Butzer P. L., Hinsen G. Reconstruction of bounded signals from pseudo-periodic, irregularly spaced samples // Signal Process. 1989. Vol. J 7. P. 1 - 17.

3. Higgins J. R. Sampling theorems and contour integral method // Appl. Anal. 1991. Vol.4'. P. 155-169.

4. Hinsen G. Irregular sampling of bandlimited L3 -functions // J. Approx. Theory'. 1993. Vol. 72. P. 346-364.

5. Seip K. An irregular sampling theorem for functions bandlimited in a generalized sense // SIAM J. Appl. Math. 1987. Vol. 47, № 5. P. 1112 - 1116.

6. Higgins J. R. A sampling thorem for irregulary spaced sample points , / IEEE Trans. Inform. Theory. 1976. Vol. 22. P. 621 - 622.

7. Young R.M. An Introduction to Nonharmonic. Fourier Series. N. Y.: Academic Press, 1980.

8. Voss J.J. A Sampling Theorem with Nonuniform Complex Nodes U J. Approx. Theory. 1997. Vol. 90. P. 235 - 254.

9. Zayed A. I.. Hinsen G., Butzer P.L. On Lagrange interpolation and Kramer-type sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems // SIAM. J. Appl. Math. 1990. Vol. 50, № 3. P. 893-909.

10. Смирнов В. И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука,1964.

УДК 517.984

В. А. Халова

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГ РАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, ДОПУСКАЮЩИМИ РАЗРЫВЫ ПРОИЗВОДНЫХ НА ДИАГОНАЛЯХ'

В пространстве 12[0Д] рассмотрим интегральный оператор вида

х 1-х т

4Дх) = а, р(х,/)Д0<й + а2 \ А( 1-х,г)/(0Ж+ £(/.**)«*(*). (1) о о

где Л(х,0 = (Г°:, ' Р = а?-а!*0, Ук (О в Си[0,1], 8к{х) е Си[0,1], (л -1)!

Ми)(0}г и линейно независимые, (./>*) = [/(фк(1)с1г.

о

Оператор (1) является одним из представителей операторов вида

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект yp.04.01.37S).

127