О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kramer HP. A generalized sampling theorem // J. Math. Phus. 1959. Vol. 38. P. 68 - 72.

2. Butzer P. L., Hinsen G. Reconstruction of bounded signals from pseudo-periodic, irregularly spaced samples // Signal Process. 1989. Vol. 1 7, P. 1 - 17.

3. Higgins J. R. Sampling theorems and contour integral method // Appl. Anal. 1991. Vol.4'. P. 155-169.

4. Hinsen G. Irregular sampling of bandlimited L3 -functions // J. Approx. Theory. 1993. Vol. 72. P. 346-364.

5. Seip K. An irregular sampling theorem for functions bandlimited in a generalized sense // SIAM J. Appl. Math. 1987. Vol. 47, № 5. P. 1112 - 1116.

6. Higgins J. R. A sampling thorem for irregulary spaced sample points , / IEEE Trans. Inform. Theory. 1976. Vol. 22. P. 621 - 622.

7. Young R.M. An Introduction to Nonharmonic. Fourier Series. N. Y.: Academic Press, 1980.

8. Voss J.J. A Sampling Theorem with Nonuniform Complex Nodes U J. Approx. Theory. 1997. Vol. 90. P. 235 - 254.

9. Toyed A. I.. Hinsen G., Butzer P.L. On Lagrange interpolation and Kramer-type sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems // SIAM. J. Appl. Math. 1990. Vol. 50, № 3. P. 893-909.

10. Смирнов В. И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука,1964.

УДК 517.984

В. А. Халова

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, ДОПУСКАЮЩИМИ РАЗРЫВЫ ПРОИЗВОДНЫХ НА ДИАГОНАЛЯХ'

В пространстве 12[0Д] рассмотрим интегральный оператор вида

х 1-х т

4Дх) = а, р(х,/)Д0<й + а2 \ А( 1-х,г)/(0Ж+ £(/.**)«*(*). (1) о о

где Л(х,0 = (Г°:, ' Р = а?-а!*0, у4(0бС"[0,1], Я*(*)еСи[0,1], (п -1)!

Ми)(0}г и линейно независимые, (./>*) = [/(фк(1)с1г.

о

Оператор (1) является одним и:з представителей операторов вида

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект yp.04.01.37S).

127

X 1

А/(х) = а, ]/!,(-х,/)/(/)гй + а 2 +

О х

1-х 1

+ а, (1 - х, /(Г)Л +а4 [/14 (1 - .г, г)/,

О 1-х

которые впервые были рассмотрены А. Г1. Хромовым. Путем несложных преобразований за счет конечномерного добавка четыре слагаемых в нашем случае удается свести к двум. Для оператора (1) при п = 1 теоремы равносходимости были получены А. П. Хромовым [1]. Затем в работе [2] им совместно с В. В. Корневым была получена теорема равносходимости для оператора (!) без конечномерного возмущения, но с более сложным ядром А(х,г). На основе этой работы в [3] автором была получена аналогичная теорема для оператора (1) при п -- 2. В данной статье обобщается результат [3]. Важным достоинством оператора (1) является то, что для него условия существования обратного оператора выписываются в явном виде [4]. Кроме того, в каждом конкретном случае условия регулярности можно просто сосчитать. Эти условия (существование А~' и регулярность условий) являются необходимыми для получения теоремы равносходимости и, вообще говоря, трудно проверяемыми. Пусть п - четное и

Д = ёе1|у/(1|*0, (2)

где Чjk=D]lJTgk(0), у=1.....т0, 0 < ц, < \х2 < ... < < и-1,

1]к .+(££*,у' = от0 +1,...,»?, 1<УИо+1<Утй+2<...<\т<ш>

т0 — фиксированное целое число, 0 <т0<т, П = —, Т = щЕ -0(л5,

сЬс

Е - единичный оператор, 5/"(х) = /(1-х), 1 = - символ

Кронекера. Тогда оператор А~]у(х) существует, и ^(л:) удовлетворяет условиям

у=о

О < ст, <... < с„ <п- 1, ст, | а,-1 +! Ь{ |> 0, ср; еС[0,1].

Считаем, что условия (3), представляющие собой условия из теоремы 2 [4], приведенные к нормированному виду, регулярны по Биркгофу.

Обозначим через со, корни и-й степени из 1, = а'2 , ). - спек-

тральный параметр. Положим Х-р" и разобьем область 0<аг§р<2л/и на секторы у7_, ^аг§р <у ■, у = 1,...,ЛГ (0 = у0 <...<ул, = 2тг/и) таким образом, что числа со;,с/со,' (г = 1,...,и) можно перенумеровать через с54

128

(к = 1,...,2п) так, чтобы при любых р из рассматриваемого сектора выполнялось RepS4>0, k=l,...,n, RepS¿<0, к = п + \,...,2п. Пусть

9 = det| pJka¡jl" 0, (4)

7,4=1

где pjk~üj +(-\)Jbj, если <b¿=cü,, pJk = д. - (-1)^ b ¡, если Sk=da¡.

х

Обозначим Ss¡) - где J ~ область, получающаяся из сектора

у j i < argp < у у удалением всех нулей многочлена

a0J + а^е~2рЩ'< + a2Je~p(s>->+3") + q^e'2^ + a4Je'2^+s-\

где aQ j =±8', а4 ¡ =±Q2, вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 50. Удалим из области S5(i еще точки рк, к = 1,2,... вместе с круговыми окрестностями того же радиуса 50, для которых (сц+а2)р£ или (cxl — ct2являются собственными значениями краевой задачи

у(п\х)-1у(х) = 0, /Л(0) = /Ла), j = \,..,n, где у(х) - скалярная функция, и для оставшейся области сохраним обозначение s6o.

ТЕОРЕМА. Если g[n)(x) е С[0,1] П У[0,\] и выполняются условия (2) и (4), то для любой f(x) е /.[0,1 J и любого 5 е (0,1/2) имеет мест« равенство

. (/,х) -^стгК,(/ + g,x) - - g,x)| = 0 ,

где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по с.л.ф. оператора А для тех характеристических чисел Хк, для которых | Лк \< г; а,.(f,x) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(x) для тех номеров к , для которых (2кж)" < г ; g(x) = /(\-х), г таково, что {p:|p|"=r, 0<argp<27t/?j} cS6(j, d] =а, + а2, d2 = «-i -а2.

Замечание. Условие (5) не зависит от выбора сектора, в котором нумеруются S к.

СЛЕДСТВИЕ. Если f(x) е ¿[0,1] и f(x) = /(1 - х), то

lim max \Sr(f,x)-ar]dÁf,x)-0. »•-»ajeäxSl-S1

lim max

/-->=eS<x<l-ä

Если /(*) e ЦОД] и Дх) = -/(1 - x), то

lim max LSV(/,x) - <7rlíí ¡(/,х)1 = 0. 129

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1- Хромов А. II. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования // Вестн. Моск. ун-та. 2000. № 2. С. 21 -26.

2. Корпев В. В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям ияте1ральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Докл. АН. 2001. Т. 379, № 6. С.741 - 744.

3. А'олова В. А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 126- 128.

4. Халова В. А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000 Вып. 2. С. 125- 127.

УДК 517.984

А. П. Хромов

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ"

Пусть А интегральный оператор:

1-1 X

А/= ¡А(1 - х,1)/({)Ж + а ¡А(х,1)/и)Ж, (1)

о о

где ядро А(хл) удовлетворяет условиям:

Я ->2 -,2

а) А(х,(), -— А(х,1), —у А(х,/),-А(х,{) непрерывны при 0<1 <х<1;

ох дх дхдг

б) А(х,х)& 1;

в) а2

1

Это простейший вид интегрального оператора А/ = х,1)/({)<Ь,

о

ядро которого имеет разрыв на линиях г = х и Г *= 1-х. В [1] для такого

оператора1, когда еще выполняется условие г) С А(х,1)\1=х =0, установле-

дх

на равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в обычный тригонометрический ряд Фурье. Теперь мы полу-

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1). РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.375).

1 В [ 1 ] рассмотрен и более общий случай скачка (и — 1 )-й производной на лини-

ях 1=х и/=1-х.