Об оценках ненадёжности схем при инверсных неисправностях и отказах функциональных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

№6 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2013

Секция 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ И НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

УДК 519.718

ОБ ОЦЕНКАХ НЕНАДЁЖНОСТИ СХЕМ ПРИ ИНВЕРСНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ И ОТКАЗАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в произвольном полном базисе В. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга переходят в неисправные состояния двух типов (инверсные неисправности и отказ элементов). Получены верхние и нижние асимптотические оценки ненадёжности схем.

Ключевые слова: булевы функции, функциональный элемент, схема, ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов, отказ элемента.

Рассмотрим реализацию булевых функций неприводимыми [1] схемами из ненадёжных функциональных элементов в произвольном полном конечном базисе В. Будем считать, что неприводимая схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (ж) (ж = (хі,... , хп)), если при поступлении на входы схемы набора а при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (а). Предполагается, что каждый элемент схемы независимо от других элементов переходит в неисправное состояние первого или второго типа. Неисправность первого типа (отказ элемента) появляется на любом входном наборе элемента с вероятностью 8 Є (0,1/2) и характеризуется тем, что элемент не работает. Считаем, что в этом случае вся схема не работает и значение на её выходе не определено. Неисправность второго типа характеризуется тем, что в исправном состоянии базисный элемент реализует приписанную ему функцию <^, а в неисправном состоянии — функцию (/?, т. е. неисправности второго типа — инверсные неисправности на выходах элементов. Эти неисправности также статистически независимы, появляются независимо друг от друга с вероятностью є Є (0,1/2).

Таким образом, если Е^ — базисный элемент с функцией <^(хі,... , хт), подверженный рассматриваемым неисправностям, то на любом входном наборе (аі,... , ат) вероятность отказа элемента равна 8; вероятность появления значения ф(а1,... , ат) (ошибки) на выходе элемента равна є(1 — 8); вероятность появления правильного значения ^(а1,..., ат) равна (1 — є)(1 — 8).

Пусть f (ж) —произвольная булева функция, а Б — любая схема, реализующая f (ж). Пусть а — произвольный входной набор схемы Б, Ь = f (а) (Ь Є {0,1}). Обозначим через Роьк(Б, а) и Рь(Б, а) соответственно вероятности отказа схемы Б и появления Ь (ошибки) на выходе схемы Б при входном наборе а. Очевидно, что вероятность Р<^к(Б, а) не

1 Исследование поддержано грантами РФФИ, проекты №11-01-00212, 12-01-31340.

зависит ни от входного набора а, ни от структуры схемы S, а зависит только от числа |S| элементов в схеме S: Potk(S, а) = 1 — (1 — 8)|S|. Поэтому далее вместо Potk(S, а) будем писать Potk(S), называя вероятность Potk(S) вероятностью отказа схемы S. Ненадёжностью схемы S будем называть число Pe,s(S) = max{P^(S, а)}, где макси-

а

мум берется по всем входным наборам а схемы S.

Цель работы — получить верхние и нижние асимптотические оценки ненадёжности. Чтобы сформулировать полученные результаты (теорема 1), введём необходимые и ранее известные определения для случая 8 = 0.

Пусть P£,o (f) = inf P£,0(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадёжных элементов, реализующим булеву функцию f. Схема A из ненадёжных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надёжности,

P (f)

если P(A) ~ Pe,0(f) при £ ^ 0, т. е. lim p°Aj = 1.

Пусть f — произвольная булева функция. Число к в(f) будем называть коэффи-

циентом ненадёжности функции f, если выполняются два условия одновременно: 1) функцию f в базисе B можно реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически не больше £кв(f) при £ ^ 0, и 2) ненадёжность любой схемы, реализующей f в базисе B, асимптотически не меньше чем £кв(f) при £ ^ 0.

Например, кв(xi) = 0, (i е {1,... , n}); кв(<^) = 1, если — одна из функций бази-

са B. Очевидно, что коэффициент ненадёжности функции зависит только от базиса и самой функции. Известно [2], что в любом полном конечном базисе B для любой функции f число кв(f) е {0,1, 2, 3, 4, 5}.

Коэффициентом ненадёжности базиса B будем называть число кв = max кв(f), где максимум берется по всем булевым функциям f.

Очевидно, что при инверсных неисправностях на выходах элементов в любом базисе B любая схема, содержащая хотя бы один элемент, имеет ненадёжность не меньше £, т. е. кв ^ 1. Поэтому кв е {1, 2, 3, 4, 5}. Например, известно, что если полный базис B содержит функцию голосования, то кв = 1. Кроме того [2], если 1) B = {xy,x ф у, 1}, то кв = 2; 2) B = {Ху, X V у}, то кв = 3; 3) B = {Ху, X}, то кв = 4; 4) B = {xy, X}, то кв = 5.

Пусть B — произвольный полный конечный базис, а K — множество функций f, для которых кв (f) = кв. Справедлива

Теорема 1. В базисе B любую функцию f можно реализовать такой неприводимой схемой S, что P£,s(S) < £кв(1 — 8)|S| при £ ^ 0; и для любой функции h е K и любой схемы A, реализующей h, верно неравенство P£,s(A) > £кв(1 — 8)|A| при £ ^ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

2. Васин А. В. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2010.