Ненадёжность схем при константных неисправностях на входах и выходах элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

№8 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2015

Секция 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X/8/37

НЕНАДЁЖНОСТЬ СХЕМ ПРИ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВХОДАХ И ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе, содержащем только штрих Шеффера. Предполагается, что каждый из элементов схемы подвержен неисправностям типа 0 или типа 1 на входах или выходах (с различными вероятностями). Получена верхняя асимптотическая оценка ненадёжности этих схем. Для почти любой булевой функции найдена нижняя асимптотическая оценка ненадёжности, и обе асимптотические оценки оказались равны.

Ключевые слова: ненадёжные функциональные элементы, ненадёжность схемы, константные неисправности.

Впервые задачу синтеза надёжных схем из ненадёжных функциональных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он также предполагал, что все базисные элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах и переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Задача синтеза надёжных схем при константных неисправностях одного типа (например, только типа 0 на входах элементов) решена в базисах из двухвходовых элементов [2]. В [3] приведены результаты о ненадёжности схем при инверсных неисправностях и отказах элементов. В этой работе впервые исследуется модель, в которой каждый элемент схемы может быть подвержен константным неисправностям четырёх типов: типа 0 или типа 1 на входах или выходах (с различными вероятностями). Заметим также, что инверсные неисправности элементов являются частным случаем в рассматриваемой модели неисправностей.

Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе {х|у} (где х|у = х&у — штрих Шеффера). Схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (х\,... ,хп) (п Е М), если при поступлении на входы схемы набора ап = (а\,... , ап) при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (ап). Предполагаем, что в каждый такт работы схемы на любом из входов и выходе любого из её элементов независимым образом могут происходить константные неисправности: типа 0 на входах с вероятностью 70 Е (0,1/8), или типа 1 на входах с вероятностью 71 Е (0, 1 /4), или типа 0 на выходах с вероятностью е0 Е (0,1/4), или типа 1 на выходах с вероятностью е1 Е (0,1/4).

Неисправности типа 0 на входах элементов характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует функцию х| у, а в неисправном поступающий на его вход нуль не искажается, а поступающая на вход единица с ве-

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.

Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем

101

роятностью 70 может превратиться в нуль. Аналогично определяются неисправности типа 1 на входах.

Неисправности типа 0 на выходах элементов характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует функцию х|у, а в неисправном — с вероятностью £0 константу 0. Аналогично определяются неисправности типа 1 на выходах.

Пусть схема 5 реализует булеву функцию f (Хп). Обозначим через Р/(аП)(Б, ап) вероятность появления значения f (ап) на выходе схемы Б при входном наборе ап. Ненадёжность Р(Б) схемы Б определяется как максимальное из чисел Р/а^Б, ап) по всем входным наборам ап схемы Б. Надёжность схемы Б равна 1 — Р(Б).

Учитывая характер рассматриваемых неисправностей, вычислим вероятности появления ошибок на выходе базисного элемента Е при всех входных наборах этого элемента: Ро(Е, (00)) = 72(1 — £1) + (1 — 72)£о, Ро(Е, (01)) = Ро(Е, (10)) = 71(1 — 7о)(1 — — £1) + (1 — 71(1 — 7о))£о, Р1(Е, (11)) = (1 — 7о)2£1 + (27о — 7о2)(1 — £о).

Замечание 1. Отметим, что 1) если 7о = 71 = £1 = 0, то получим неисправности типа 0 на выходах элементов с вероятностью £0; 2) если 70 = 71 = £0 = 0, то получим неисправности типа 1 на выходах элементов с вероятностью £1; 3) если 71 = £1 = = £о = 0, то получим неисправности типа 0 на входах элементов с вероятностью 70; 4) если 70 = £1 = £0 = 0, то получим неисправности типа 1 на входах элементов с вероятностью 71; кроме того 5) если 70 = 71 = 0 и £0 = £1, то получим инверсные неисправности на выходах элементов с вероятностью £0; 6) если 70 = 71 и £0 = £1 = 0, то получим инверсные неисправности на входах элементов с вероятностью 70.

Обозначим Ро(Е, (00)),Ро(Е, (01)),Ро(Е, (10)),Р1(Е, (11)) через а,вДт соответственно. Поскольку в нашем случае в = ненадёжность элемента Е равна Р(Е) = = шах{а, в, т} ^ шах(71 + £0, 270 + £1}. Обозначим через £ = шах(71 + £0, 270 + £1}. Очевидно, что Р(Е) ^ £.

Справедлива теорема 1 об асимптотической верхней оценке ненадёжности схем.

Теорема 1. Любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически не больше, чем 2£0 + 272 + 270 + £1 при 70,71, £0, £1 ^ 0.

Доказательство такое же, как и в случае, когда базисный элемент подвержен только одному типу неисправностей.

Пусть Л,(жп) —произвольная булева функция, а К(п) —множество булевых функций вида f (Хп) = (х V Л,(жп))а, где г Е {1,... , п}; а Е {0,1}. Нетрудно проверить, что число функций в классе К(п) не больше 2п22" , что мало по сравнению с общим чис-

оо

лом 22 булевых функций от п переменных. Обозначим К = и К(п). Справедлива

п=1

теорема 2 об асимптотической нижней оценке ненадёжности схем.

Теорема 2. Если функция f Е К, а Б — любая схема, реализующая f, то ненадёжность Р(Б) схемы Б асимптотически не меньше, чем 2£0 + 270 + £1 + 272 при 7о,71,£о,£1 ^ 0.

Доказательство такое же, как и в случае, когда базисный элемент подвержен только одному типу неисправностей.

Выводы:

1) любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически не больше 2£0 + 270 + £1 + 272 при 70,71, £0,£1 ^ 0;

102

Прикладная дискретная математика. Приложение

2) для почти любой функции f (f Е K) такая схема функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 2е0 + 2y0 + е1 + 2y2 при 70,71,£o,£i ^ 0, т.е. оценку 2е0 + 2y0 + е1 + 2y2 нельзя понизить для функций f Е K.

ЛИТЕРАТУРА

1. Von Neuman J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components // Automata Studies. C. Shannon and J. Mc. Carthy (eds). Princeton University Press, 1956. (Рус. пер.: Автоматы. М.: ИЛ, 1956.)

2. Алехина М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надёжности схем. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2006. 156 с.

3. Алехина М. А, Барсукова О. Ю. Об оценках ненадёжности схем при инверсных неисправностях и отказах функциональных элементов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. С. 50-51.

УДК 519.718 DOI 10.17223/2226308X/8/38

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА НЕНАДЁЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ, СОСТОЯЩЕМ ИЗ ФУНКЦИИ ВЕББА1

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация функций трёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе, состоящем из функции Вебба. Предполагается, что все базисные элементы независимо друг от друга переходят в такие неисправные состояния, что любой базисный элемент на любом входном наборе с вероятностью 1 — 2p выдаёт правильное значение и с вероятностью, равной p, может выдать любое из двух неправильных значений. Получена нижняя оценка ненадёжности схем, реализующих функции из некоторого класса.

Ключевые слова: функции трёхзначной логики, схема из ненадёжных функциональных элементов, надёжность и ненадёжность схемы.

Пусть n Е N, Р3 —множество всех функций трёхзначной логики, т.е. функций f (x1,...,xn) : {0,1,2}n ^ {0,1,2}. Обозначим через x набор (x1,...,xn), тогда

f (x1,...,xn) = f (x).

Рассмотрим реализацию функций из множества Р3 схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе, состоящем из функции Вебба V3(x1,x2) = = (max(x1,x2) + 1) mod 3. Будем считать, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (x), если при поступлении на входы схемы набора а при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (а).

Предполагается, что все базисные элементы ненадёжны, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга, подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что на произвольном входном наборе (а1,а2) базисного элемента, V3(a1,a2) = v, этот элемент с вероятностью 1 — 2е (е Е (0,1/4)) выдаёт значение v, с вероятностью е — значение (v + 1) mod 3 и с вероятностью е — значение (v + 2) mod 3.

Пусть схема S реализует функцию f (x), а — произвольный входной набор схемы S, f (а) = т. Обозначим через Pf (й)=т (S, а) вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе а. Ясно, что Pf(й)=т(S, а) = Рт+1(S, а) + Рт+2(S, а). Например,

1 Работа поддержана грантами РФФИ №14-01-00273 и 14-01-31360.