CC BY
8
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
№10 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2017
Секция 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X710/48
НАДЁЖНОСТЬ СХЕМ В БАЗИСЕ РОССЕРА — ТУРКЕТТА (В Р3) ПРИ НЕИСПРАВНОСТЯХ ТИПА 0 НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ1
М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова
Рассматривается реализация функций трёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта. Предполагается, что базисные элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах, причём переходят в неисправные состояния независимо друг от друга с вероятностью е (е < 1/2). Получены следующие результаты: 1) любую функцию трёхзначной логики можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при малых е) не больше е; 2) для любой функции, кроме константы 0 и переменной Хг (г € М), такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной е при малых е; 3) функции 0, Хг можно реализовать абсолютно надёжно.
Ключевые слова: функции трёхзначной логики, схема из функциональных элементов, ненадёжность схемы, надёжность схемы, неисправности типа 0 на выходах элементов.
Исторически сложилось так, что сначала при построении надёжных схем, состоящих из ненадёжных элементов и реализующих булевы функции, исследовались инверсные неисправности на выходах элементов. Позднее рассматривалась возможность реализации булевых функций схемами из ненадёжных элементов, подверженных однотипным константным неисправностям на выходах, в частности неисправностям типа 0 на выходах [1-3]. Решение задачи построения надёжных схем, реализующих функции трёхзначной логики, также сначала было получено при инверсных неисправностях на выходах элементов [4-8]. В этой работе решается задача построения асимптотически оптимальных по надёжности схем, реализующих функции трёхзначной логики и построенных из ненадёжных элементов, подверженных неисправностям типа 0 на выходах элементов.
Пусть п € М, Е3 = {0,1,2}, Р3 — множество всех функций трёхзначной логики, т.е. функций f(х^...,хп) : ЕП ^ Е3. Рассмотрим реализацию функций из множества Р3 схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россе-ра —Туркетта В = {0,1, 2, ^(х^, ^(х^, ^(х^, шт{хьх2}, шах{х!,х2}}. Обозначим х1&х2 = ш1п{х1,х2}, х1 V х2 = шах{х1,х2}, хп = (х1,...,хп). Определения вероятности ошибки на выходе схемы, ненадёжности и надёжности схемы, асимптотически оптимальной по надёжности схемы вводятся так же, как в работах [4-8].
Предполагается, что базисные элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах, причём переходят в неисправные состояния независимо друг от друга с ве-
1 Работа поддержана грантом РФФИ №17-01-00451.
Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем
125
роятностью е (е < 1/2). Эти неисправности характеризуются тем, что на нулевых входных наборах функциональный элемент выдаёт правильное значение 0 с вероятностью 1, на остальных наборах — значение 0 с вероятностью е, а правильное значение с вероятностью 1 — е.
Очевидно, что при неисправностях типа 0 на выходах элементов ненадёжность любого базисного элемента, кроме реализующего константу 0, равна е, а надёжность — 1 — е. Элемент, реализующий константу 0, функционирует абсолютно надёжно. Ясно также, что функции Xi, i Е N, можно реализовать абсолютно надёжно, не используя функциональных элементов.
Обозначим базисный элемент с функцией & через E&, а базисный элемент с функцией V — через Ev.
Пусть f — произвольная функция из P3, S — любая схема, реализующая функцию f, P(S) —ненадёжность схемы S. По схеме S построим схему, которая реализует ту же функцию f, но, возможно (при некоторых условиях на P(S)), более надёжно. Для этого возьмём два экземпляра схемы S и один элемент E&, соединим выходы схем S со входами элемента E&. Построенную схему назовём D. Затем возьмём два экземпляра схемы D и один элемент Ev. Соединим выходы схем D со входами элемента Ev. Построенную схему назовем -0(S).
В теореме 1 найдено рекуррентное соотношение для ненадёжностей схем S и ^(S).
Теорема 1. Схема ^(S) реализует функцию f c ненадёжностью
P(0(S)) ^ е + (е + 2P(S))2.
С помощью теоремы 1 получим верхнюю оценку ненадёжности схем.
Теорема 2. Любую функцию f Е P3 можно реализовать такой схемой S, что P(S) ^ е + 12е2 при всех е Е (0,1/300].
Пусть K(n) —множество функций трёхзначной логики, каждая из которых зависит от переменных xi,... , xn (n ^ 1), отлична от константы 0 и функций xi,... , xn.
оо
Обозначим K = U K(n). Очевидно, что |K(n)| = 33" — n — 1, а значит, класс K(n)
n=1
содержит почти все функции из множества P3(n) (поскольку lim -—-= 1 ).
V п^о 33 /
Справедлива теорема 3 о нижней оценке ненадёжности схем, каждая из которых реализует некоторую функцию из класса K.
Теорема 3. Пусть функция f Е K. Тогда для любой схемы S, реализующей f, верно неравенство P(S) ^ е.
Таким образом, в базисе Россера — Туркетта (в P3) при неисправностях типа 0 на выходах элементов: 1) любую функцию трёхзначной логики можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при е ^ 0) не больше е; 2) для любой функции f Е K такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной е при е ^ 0; 3) функцию f Е K можно реализовать абсолютно надёжно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алехина М. А. О ненадежности схем из ненадежных функциональных элементов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов // Дискретная математика.
1993. Т. 5. №2. С. 59-74.
126
Прикладная дискретная математика. Приложение
2. Алехина М. А. Синтез и сложность надежных схем из ненадежных элементов // Математические вопросы кибернетики. 2002. №11. С. 193-218.
3. Алехина М. А. О надежности схем в произвольном полном конечном базисе при однотипных константных неисправностях на выходах элементов // Дискретная математика. 2012. Т. 24. №3. С. 17-24.
4. Алехина М. А., Барсукова О.Ю. Оценки ненадежности схем в базисе Россера — Туркет-та // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2014. №1(29). С. 5-19.
5. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.
6. Барсукова О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трёхзначной логик: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2014. 87 с.
7. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем, реализующих функции трехзначной логики // Дискретный анализ и исследование операций. 2014. Т. 21. №4(118). С. 12-24.
8. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Нижняя оценка ненадежности схем в базисе, состоящем из функции Вебба // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 102-103.
УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X710/49
О НАДЁЖНОСТИ СХЕМ В НЕКОТОРЫХ ПОЛНЫХ БАЗИСАХ (В Р3) ПРИ ИНВЕРСНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВЫХОДАХ
ЭЛЕМЕНТОВ1
М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова
Рассматривается реализация функций трёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в полных базисах Б\ и Б2, первый из которых является двойственным базису Россера — Туркетта, а второй — базису, состоящему из функции Вебба. Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью р подвержены инверсным неисправностям на выходах. Получены следующие результаты: в базисе Б1 1) любую функцию из Р3 можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при малых р) не больше 6р; 2) для почти любой функции такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 6р при малых р; в базисе Б2 почти любую функцию трёхзначной логики можно реализовать надёжной схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически не больше 8р и асимптотически не меньше 6р при малых р.
Ключевые слова: функции трёхзначной логики, ненадёжные функциональные элементы, надёжность и ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.
Пусть п Е N Е3 = {0,1, 2}, Р3 —множество всех функций трёхзначной логики, т. е. функций f (х1,... , хп) : (Е3)п ^ Е3. Рассмотрим реализацию функций из множества Р3 схемами из ненадёжных функциональных элементов в полном конечном базисе В. Так же, как в работах [1-5], введём необходимые понятия и определения.
Считаем, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (Хп) (Хп = = (х1,... , хп)), если при поступлении на входы схемы набора ап при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (ап).
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №17-01-00451.
