О надёжности схем в некоторых полных базисах (в P3) при инверсных неисправностях на выходах элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Алехина М. А. Синтез и сложность надежных схем из ненадежных элементов // Математические вопросы кибернетики. 2002. №11. С. 193-218.

3. Алехина М. А. О надежности схем в произвольном полном конечном базисе при однотипных константных неисправностях на выходах элементов // Дискретная математика. 2012. Т. 24. №3. С. 17-24.

4. Алехина М. А., Барсукова О.Ю. Оценки ненадежности схем в базисе Россера — Туркет-та // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2014. №1(29). С. 5-19.

5. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.

6. Барсукова О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трёхзначной логик: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2014. 87 с.

7. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем, реализующих функции трехзначной логики // Дискретный анализ и исследование операций. 2014. Т. 21. №4(118). С. 12-24.

8. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Нижняя оценка ненадежности схем в базисе, состоящем из функции Вебба // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 102-103.

УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X710/49

О НАДЁЖНОСТИ СХЕМ В НЕКОТОРЫХ ПОЛНЫХ БАЗИСАХ (В Р3) ПРИ ИНВЕРСНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВЫХОДАХ

ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация функций трёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в полных базисах Б\ и Б2, первый из которых является двойственным базису Россера — Туркетта, а второй — базису, состоящему из функции Вебба. Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью р подвержены инверсным неисправностям на выходах. Получены следующие результаты: в базисе Б1 1) любую функцию из Р3 можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при малых р) не больше 6р; 2) для почти любой функции такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 6р при малых р; в базисе Б2 почти любую функцию трёхзначной логики можно реализовать надёжной схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически не больше 8р и асимптотически не меньше 6р при малых р.

Ключевые слова: функции трёхзначной логики, ненадёжные функциональные элементы, надёжность и ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.

Пусть п Е N Е3 = {0,1, 2}, Р3 —множество всех функций трёхзначной логики, т. е. функций f (х1,... , хп) : (Е3)п ^ Е3. Рассмотрим реализацию функций из множества Р3 схемами из ненадёжных функциональных элементов в полном конечном базисе В. Так же, как в работах [1-5], введём необходимые понятия и определения.

Считаем, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (Хп) (Хп = = (х1,... , хп)), если при поступлении на входы схемы набора ап при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (ап).

Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем

127

Пусть схема S реализует функцию f (Xn), an — произвольный входной набор схемы S, f (an) = т. Обозначим через Pj(S, an) вероятность появления значения i (i G E3) на выходе схемы S при входном наборе an, а через Pf (ап)=т (S, an) —вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе an. Ясно, что Pf(а«)=т (S, an) = = Рт+i(S, an) + Рт+2(S, an). (В выражениях т +1, т + 2 сложение осуществляется по mod 3.)

Ненадёжностью схемы S, реализующей функцию f (Xn), будем называть число Р(S), равное наибольшей из вероятностей появления ошибки на выходе схемы S. Надёжность схемы S равна 1 — Р(S).

Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е (0 < е < 1/4) подвержены инверсным неисправностям на выходах, т.е. каждый базисный элемент с функцией ^(Xm) (m G N) на любом входном наборе am, таком, что ^(am) = т, с вероятностью е выдаёт любое из значений а = т и с вероятностью 1 — 2е — значение т. Очевидно, что ненадёжность любого базисного элемента равна 2е, а надёжность — 1 — 2е.

Пусть P£(f) = inf Р(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадёжных элементов, реализующим функцию f (Xn). Схему A, реализующую f, назовём асимптотически оптимальной по надёжности, если Р(A) ~ ) при е ^ 0.

Справедливы теоремы об оценках ненадёжности схем и классе функций, для схем которых нижняя оценка ненадёжности верна.

1. Базис B1 = {0,1, 2, J0*(x1), J"1*(x1), J2*(x1), min{x1, x2}, max{x1,x2}}.

Обозначим x1&x2 = min{x1, x2}, x1 V x2 = max{x1,x2}, а также

Теорема 1. Любую функцию / С Р3 можно реализовать такой схемой Б в базисе Рь что Р(Б) ^ бе + 126е2 при всех е е (0,1/1000].

Обозначим через К^п) множество таких трёхзначных функций, зависящих от переменных XI,... , (п ^ 3), что каждая из этих функций принимает все три значения 0,1, 2 и не представима ни в виде V Л,(жга), ни в виде & Л,(жга) (к е {1, 2,... , п},

Л,(жга) —произвольная функция трёхзначной логики). Пусть К = и К^п).

п=3

Теорема 2. Для произвольной функции / е К1 любая схема Б в базисе В1, реализующая /, функционирует с ненадёжностью Р(Б) ^ бе — 16е2 + 12е3 при е е (0,1/1000].

Замечание 1. Нетрудно проверить, что класс К1(п) содержит почти все функции из Р3(п).

Таким образом, из теорем 1 и 2 в базисе В1 получаем следующие результаты: 1) любую функцию из Р3 можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при е ^ 0) не больше бе; 2) для почти любой функции такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной бе при е ^ 0.

2. Базис В2 = {ж1&ж2 + 2}.

Теорема 3. Любую функцию / е Р3 можно реализовать такой схемой Б в бази-

оо

се B2, что Р(S) ^ 8е + 268е2 при всех е G (0,1/104].

Пусть К2(п) —множество функций трёхзначной логики, каждая из которых зависит от переменных х1,... ,хп (п ^ 3), принимает все три значения 0,1, 2 и не пред-ставима в виде шт{хк, Л,(хп)} + с (к € {1, 2,... , п}, с € {0,1, 2}, Л,(хп) — произвольная

оо

функция трёхзначной логики). Пусть К2 = и К2(п).

п=3

Теорема 4. Для произвольной функции f € К2 любая схема Б в базисе В2, реализующая f, функционирует с ненадёжностью Р(Б) ^ бе — 10е2 + 6е3 при е Е (0,1/104].

Замечание 2. Нетрудно проверить, что класс К2(п) содержит почти все функции из Р3(п).

Таким образом, из теорем 3 и 4 в базисе В2 получаем следующие результаты: почти любую функцию трёхзначной логики можно реализовать надёжной схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически не больше 8е и асимптотически не меньше бе при е ^ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем, реализующих функции из Р3 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. №1(21). С. 57-65.

2. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Оценки ненадежности схем в базисе Россера — Туркет-та // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2014. №1(29). С. 5-19.

3. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.

4. Барсукова О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2014. 87 с.

5. АлехинаМ. А., Барсукова О. Ю. Нижняя оценка ненадёжности схем в базисе, состоящем из функции Вебба // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 102-103.

УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308Х/10/50

ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА НЕНАДЁЖНОСТИ СХЕМ (В Р2) ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина, Ю. С. Гусынина, Т. А. Шорникова

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в полном конечном базисе. Предполагается, что каждый из элементов схемы подвержен произвольным неисправностям, а неисправности элементов статистически независимы. Показано, что любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадёжность которой не более чем в 5,17 раз больше ненадёжности «худшего» (самого ненадёжного) из базисных элементов.

Ключевые слова: ненадёжные функциональные элементы, надёжность схемы, ненадёжность схемы, неисправности элементов.

Пусть п Е N Р2 — множество всех булевых функций, т.е. функций f (х1,... ,хп) : {0,1}п ^ {0,1}. Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в полном конечном базисе В = {е1,..., вд} С Р2 (д Е М).