Нижняя оценка ненадёжности схем в базисе, состоящем из функции Вебба Текст научной статьи по специальности «Математика»

102

Прикладная дискретная математика. Приложение

2) для почти любой функции f (f Е K) такая схема функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 2£0 + 2y0 + £\ + 2y2 при 70,71 ,s0,£\ ^ 0, т.е. оценку 2£0 + 2y0 + £1 + 2y2 нельзя понизить для функций f Е K.

ЛИТЕРАТУРА

1. Von Neuman J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components // Automata Studies. C. Shannon and J. Mc. Carthy (eds). Princeton University Press, 1956. (Рус. пер.: Автоматы. М.: ИЛ, 1956.)

2. Алехина М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надёжности схем. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2006. 156 с.

3. Алехина М. А, Барсукова О. Ю. Об оценках ненадёжности схем при инверсных неисправностях и отказах функциональных элементов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. С. 50-51.

УДК 519.718 DOI 10.17223/2226308X/8/38

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА НЕНАДЁЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ, СОСТОЯЩЕМ ИЗ ФУНКЦИИ ВЕББА1

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация функций трёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе, состоящем из функции Вебба. Предполагается, что все базисные элементы независимо друг от друга переходят в такие неисправные состояния, что любой базисный элемент на любом входном наборе с вероятностью 1 — 2p выдаёт правильное значение и с вероятностью, равной p, может выдать любое из двух неправильных значений. Получена нижняя оценка ненадёжности схем, реализующих функции из некоторого класса.

Ключевые слова: функции трёхзначной логики, схема из ненадёжных функциональных элементов, надёжность и ненадёжность схемы.

Пусть n Е N, Р3 —множество всех функций трёхзначной логики, т.е. функций f (x1,...,xn) : {0,1,2}n ^ {0,1,2}. Обозначим через x набор (x1,...,xn), тогда

f (x1,...,xn) = f (x).

Рассмотрим реализацию функций из множества Р3 схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе, состоящем из функции Вебба V3(x1,x2) = = (max(x1,x2) + 1) mod 3. Будем считать, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (x), если при поступлении на входы схемы набора а при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (а).

Предполагается, что все базисные элементы ненадёжны, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга, подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что на произвольном входном наборе (а1,а2) базисного элемента, V3(a1,a2) = v, этот элемент с вероятностью 1 — 2£ (£ Е (0,1/4)) выдаёт значение v, с вероятностью £ — значение (v + 1) mod 3 и с вероятностью £ — значение (v + 2) mod 3.

Пусть схема S реализует функцию f (x), а — произвольный входной набор схемы S, f (а) = т. Обозначим через Pf (й)=т (S, а) вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе а. Ясно, что Pf(й)=т(S, а) = Рт+1(S, а) + Рт+2(S, а). Например,

1 Работа поддержана грантами РФФИ №14-01-00273 и 14-01-31360.

Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем

103

если входной набор а схемы Б такой, что f (а) = 0, то вероятность ошибки на этом наборе равна Pf(й)=о(£, а) = Р^Б, а) + Р2(Б, а).

Ненадёжностью схемы Б будем называть число Р(Б) = шах{Р/(й)=т(Б, а)}, где максимум берется по всем входным наборам а схемы Б. Надёжность схемы Б равна 1 - Р(Б).

Теорема 1 [1]. Любую функцию f € Р3 можно реализовать такой схемой Д, что Р(Д) ^ 8е + 268е2 при всех е € (0,1/104].

Из теоремы 1 следует, что любую функцию из Р3 можно реализовать схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически (при е ^ 0) не больше 8е.

Обозначим через К(п) множество функций трёхзначной логики, каждая из которых зависит от переменных XI,... ,хп (п ^ 3), принимает все три значения 0,1, 2 и не представима в виде шах{хк , Л,(жп)} + с (к € {1, 2, ...,п}, с € {0,1, 2}, Л,(жп) — произвольная функция трёхзначной логики).

оо

Обозначим через К множество К = у К(п).

п=3

Справедлива теорема 2 о нижней оценке ненадёжности, доказательство которой аналогично доказательству теоремы о нижних оценках [2] (кратко в [3]).

Теорема 2. Пусть функция f € К. Тогда для любой схемы Б, реализующей f, при е € (0,1/104] верно неравенство Р(Б) ^ 6е - 16е2 + 12е3.

Утверждение 1. |К(п)| ^ 33" - п31+2^-1 - 3 ■ 23".

Из утверждения 1 следует, что класс К содержит почти все функции из Р3, поскольку

33" - п31+2^3"-1 - 3 ■ 23"

11ш -оз"-= 1.

п^о 33

Из теоремы 2 следует, что функцию из класса К (содержащего почти все функции множества Р3) нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически (при е ^ 0) меньше 6е.

Таким образом, получаем следующий результат: в базисе {^3(ж1, х2)} почти любую функцию трёхзначной логики можно реализовать надёжной схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически не больше 8е и асимптотически не меньше 6е при е ^ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Верхняя оценка ненадежности схем в базисе, состоящем из функции Вебба // Известия высших учебных заведений. Математика. Казань: Изд-во Казанского (Приволжского) федерального университета, 2015. №3. С. 15-27.

2. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Оценки ненадежности схем в базисе Россера — Туркет-та // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2014. №1. С. 33-50.

3. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.