Ненадёжность схем в базисе Россера Туркетта Текст научной статьи по специальности «Математика»

№7 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2014

Секция 6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

УДК 519.718

НЕНАДЁЖНОСТЬ СХЕМ В БАЗИСЕ РОССЕРА — ТУРКЕТТА1

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация функций трёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта. Предполагается, что все базисные элементы независимо друг от друга переходят в такие неисправные состояния, что любой базисный элемент на любом входном наборе с вероятностью 1 — 2е выдаёт правильное значение и с вероятностью, равной е, может выдать любое из двух неправильных значений. Получены верхние и нижние оценки ненадёжности схем, которые оказались асимптотически равны для функций некоторого класса.

Ключевые слова: функции трёхзначной логики, схема из ненадёжных функциональных элементов, ненадёжность схемы.

Пусть n Е N, а Р3 —множество всех функций трёхзначной логики, т. е. функций f (xi,... , xn) : {0,1, 2}n ^ {0,1, 2}. Обозначим через x набор (xb ... , xn).

Рассмотрим реализацию функций из множества Р3 схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта {0,1, 2, J0(x1), J1(x1), J2(x1), max{x1,x2},min{x1,x2}}. Будем считать, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (x), если при поступлении на входы схемы набора а при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (а).

Предполагается, что все базисные элементы ненадёжны, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Базисный элемент с приписанной ему функцией <^(x1,x2) на любом входном наборе (а1,а2), ^(а1,а2) = т, с вероятностью 1 — 2е (е Е (0,1/4)) выдаёт значение т mod 3, с вероятностью е — значение (т + 1) mod 3 и с вероятностью е — значение (т + 2) mod 3.

Пусть схема S реализует функцию f (x), а — произвольный входной набор схемы S, f (а) = т. Обозначим через Pf(а)=т(S, а) вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе а. Ясно, что Pf(а)=т(S, а) = Рт+1(S, а) + Рт+2(S, а).

Например, если входной набор а схемы S такой, что f (а) = 0, то вероятность ошибки на этом наборе равна Pf(a)=o(S, а) = P1(S, а) + P2(S, а).

Ненадёжностью схемы S будем называть число P(S) = max{Pf(й)=т(S, а)}, где максимум берется по всем входным наборам аа схемы S. Надёжность схемы S равна

1 — p (S).

Пусть P£(f) = inf Р(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадёжных элементов, реализующим функцию f.

Схема A из ненадёжных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надёжности, если Р(A) p£(f) при е ^ °.

1Работа поддержана грантами РФФИ №14-01-00273 и 14-01-31360.

Полученную ранее в работе [І] верхнюю оценку ненадёжности удалось доказать, существенно ослабив ограничение на є (ранее эта вероятность зависела от n — числа переменных функции, а в теореме І её удалось ограничить константой).

Теорема 1. Любую функцию f Є P3 можно реализовать такой схемой D, что P(D) ^ 6є + 126є2 при всех є Є (0, 0,001].

Из теоремы І следует, что любую функцию из P3 можно реализовать схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически (при є ^ 0) не больше 6є.

Обозначим через K(n) множество функций f (xl, x2,... , xn) (n ^ З) из P3, каждая из которых принимает все три значения 0,1,2 и не представима ни в виде max{xk ,g(x)}, ни в виде min{xk ,g(x)} (k Є {1, 2,...,n}, g(x) —произвольная функция из P3).

СО

Обозначим через K множество K = K(n).

n=3

Справедлива теорема 2 о нижней оценке ненадёжности, доказательство которой аналогично доказательству теорем о нижних оценках [2, 3].

Теорема 2. Пусть функция f Є K. Тогда для любой схемы S, реализующей f, при є Є (0, 0,001] верно неравенство P(S) ^ 6є — 16є2 + 12є3.

Утверждение 1. |K(n)| ^ З3" — 2пЗ2^3" 1 — З ■ 23".

Из утверждения І следует, что класс K содержит почти все функции из P3, поскольку

З3" — 2пЗ2^3"-1 — З ■ 23"

lim ----------їз"---------= 1.

n^O З3

Из теоремы 2 следует, что функцию из класса K (содержащего почти все функции множества P3) нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически (при є ^ 0) не меньше чем 6є. Следовательно, любая схема, удовлетворяющая условиям теоремы І и реализующая функцию из класса K, является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 6є при є ^ 0.

Таким образом, получаем следующий результат: почти все функции из P3 можно реализовать асимптотически оптимальными по надёжности схемами, функционирующими с ненадёжностью, асимптотически равной 6є при є ^ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алехина М. А., Барсукова О.Ю. О ненадёжности схем, реализующих функции из Рз // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. №1(21). С. 57-65.

2. Алехина М. А. О ненадёжности схем из ненадёжных функциональных элементов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов // Дискретная математика. 1993. Т. Б. Вып. 2. С. 59-74.

3. Alekhina M.A. Synthesis and complexity of asymptotically optimal circuits with unreliable gates // Fundamenta Informaticae. 2010. No. 104(3). P. 219-225.