CC BY
30
104
Прикладная дискретная математика. Приложение
УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X/8/39
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ НЕНАДЁЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ РОССЕРА — ТУРКЕТТА (В Р4)
М. А. Алехина, С. П. Каргин
Рассматривается реализация функций четырёхзначной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью р подвержены инверсным неисправностям на выходах, т. е. каждый базисный элемент на любом входном наборе с вероятностью р выдаёт каждое из трёх неверных значений, с вероятностью 1 — 3р выдаёт верное значение. Найден класс функций К, содержащий почти все четырёхзначные функции, и показано, что любая схема, реализующая функцию из класса К, функционирует с ненадёжностью, которая асимптотически (при малых значениях р) не меньше 9р.
Ключевые слова: функции четырёхзначной логики, ненадёжные функциональные элементы, ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.
Многозначная логика предоставляет широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях. Она позволяет уменьшить как вычислительную сложность, так и размеры, число соединений в различных арифметико-логических устройствах, повысить плотность размещения элементов на схемах, найти альтернативные методы решения задач. Уже сейчас многозначная логика с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Среди них различные арифметические устройства, системы искусственного интеллекта и обработки данных, обработка сложных цифровых сигналов и т. д.
В [1] описан функционально полный в Р3 базис, в котором на компромиссной основе согласованы математические и технические (МДП-техники) требования и интересы, а также рассмотрены некоторые аспекты синтеза электронных схем в этом базисе. В [2] построен функционально полный в Р4 базис, реализуемый в МОП-структурах.
Таким образом, определённый интерес представляет задача исследования надёжности функционирования схем в полном конечном базисе из к-значных функций (к ^ 3). Задача построения надёжных схем в произвольном полном базисе из трёхзначных функций (к = 3) решена в [3].
В работе получена нижняя оценка ненадёжности схем в базисе Россера — Туркетта при к = 4. Нижняя оценка ненадёжности схем в том же базисе при к = 3 опубликована
в [4].
Пусть п Е N а Р4 —множество всех функций четырёхзначной логики, т. е. функций f (х^...,хп) : {0,1, 2, 3}п ^ {0,1, 2, 3}. Рассмотрим реализацию функций из множества Р4 схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Тур-кетта {0,1, 2, 3, ^(х^, ^(х^, ^(х^, ^(х^, шт{х1, х2},шах{х1, х2}} (шт{х1, х2} будем также обозначать через &, а шах{х1,х2} —через V [1]).
Будем считать, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (хп) (хп = (х1,... ,хп)), если при поступлении на входы схемы набора ап при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (ап).
Пусть схема Б реализует функцию f (хп), ап — произвольный входной набор схемы Б, f (ап) = т. Обозначим через РДБ, ап) вероятность появления значения г (г €
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.
Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем
105
Е {0,1, 2, 3}) на выходе схемы S при входном наборе an, а через Pf(an)=T(S, Cn) —вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе Cn. Ясно, что Pf(a")=r(S,cn) = PT+1(S, an) + PT+2(S,Cn) + PT+3(S,Cn). (В выражениях т +1, т + 2 и т + 3 сложение осуществляется по mod 4.)
Например, если входной набор an схемы S такой, что f (an) = 0, то вероятность появления ошибки на этом наборе равна Pf(йп)=0(S, ccn) = P1(S, Cn) + P2(S, Cn) + P3(S, an).
Ненадёжностью схемы S, реализующей функцию f (Xn), будем называть число P(S), равное наибольшей из вероятностей появления ошибки на выходе схемы S. Надёжность схемы S равна 1 — P(S).
Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью £ Е (0,1/6) подвержены инверсным неисправностям на выходах, т.е. каждый базисный элемент с функцией ) (k Е {1, 2}) на любом входном наборе afc, таком, что ^(afc) = т, с вероятностью £ выдаёт значение (т + 1) mod 4, с вероятностью £ — значение (т + 2) mod 4 и с той же вероятностью — значение (т + 3) mod 4. Очевидно, что ненадёжность любого базисного элемента равна 3£, а надёжность равна 1 — 3£.
Обозначим через K(n) множество таких функций четырёхзначной логики, зависящих от переменных x1,...,xn (n ^ 3), что каждая из этих функций принимает все четыре значения 0,1, 2, 3 и не представима ни в виде V h(Xn), ни в виде &h(Xn) (k Е {1, 2, ...,n}, h(Xn) —произвольная функция четырёхзначной логики).
оо
Пусть K = U K (n).
n=3
Теорема 1. |K(n)| ^ 44" — 2n434"-1 — 4 ■ 34".
Доказательство проводится с использованием представления функции из класса K(n) в совершенной ДНФ.
Из теоремы 1 следует, что класс K (n) содержит почти все функции четырёхзначной логики из P4(n), поскольку
2n434"-1 +4 ■ 34n -44П-= 0.
n^-o 44
Справедлива теорема о нижней оценке ненадёжности схем, реализующих функции из класса K.
Теорема 2. Пусть функция f Е K. Тогда для любой схемы S, реализующей f, при £ Е (0,1/1000] верно неравенство P(S) ^ 9£ — 33£2 + 3б£3.
Из теоремы 2 следует, что любая схема, реализующая функцию f Е K, функционирует с ненадёжностью, которая асимптотически (при £ ^ 0) не меньше 9£.
Таким образом, функцию из класса K (содержащего почти все функции из P4) нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически (при £ ^ 0) меньше 9£.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов Ю. А. О синтезе трехзначных МДП-схем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 3. М.: Наука, 1991. С. 187-198.
2. Виноградов Ю. А. О синтезе четырехзначных квазикомплементарных МОП-схем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 8. М.: Наука, 1999. С. 298-300.
3. Барсукова О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2014. 87с.
4. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.
