О базисах с коэффициентом ненадёжности 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Ткаченко Н. О., Чернов Д. В. Разработка и реализация сервера игры CTF // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2010. №3. С. 62-64.

4. http://blackbox.sibears.ru/ — Система для проведения соревнований по защите компьютерной информации. 2013.

5. http://ructf.org/2012 — Всероссийские межвузовские соревнования по защите информации RuCTF 2012. 2012.

6. http://python.org/ — Python Programming Language — Official Website. 2013.

7. https://www.djangoproject.com/ — Django. The Web framework for perfectionists with deadlines. 2013.

8. http://wiki.apparmor.net — AppArmor security wiki project. 2013.

9. http://www.linux.com/learn/docs/man/4047-setrlimit2 — Linux Programmer’s Manual (2). getrlimit, setrlimit — get/set resource limits. 2008.

10. http://www.openstack.org/ — OpenStack. Open source cloud computing software. 2013.

11. https://www.simple-talk.com/sql/database-administration/ database-design-a-point-in-time-architecture/ — Database Design: A Point in Time Architecture. 2007.

12. http://www.celeryproject.org/ — Celery. Distributed Task Queue. 2012.

13. http://memcached.org/ — Memcached. A distributed memory object caching system. 2012.

УДК 519.718

О БАЗИСАХ С КОЭФФИЦИЕНТОМ НЕНАДЁЖНОСТИ 11

А. В. Васин

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в произвольном полном базисе B. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е £ (0,1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Найдено множество G функций, таких, что для почти всех функций ненадёжность асимптотически оптимальных по надёжности схем в базисе B, содержащем функции множества G, равна е (при е ^ 0).

Ключевые слова: ненадёжные функциональные элементы, асимптотически оптимальные по надёжности схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.

Рассматривается реализация булевых функций схемами [1] из ненадёжных функциональных элементов в произвольном полном конечном базисе B. Предполагаем, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е £ (0,1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию ф, а в неисправном — функцию ф. Считаем, что схема S из ненадёжных элементов реализует булеву функцию f (x\, x2,..., xn), если при поступлении на входы схемы двоичного набора a = (a\, a2,... , an) при отсутствии неисправностей на выходе схемы S появляется значение f (a).

Ненадёжностью P(S) схемы S назовем максимальную вероятность ошибки на выходе схемы S при всевозможных входных наборах схемы. Надёжность схемы S равна 1 —P(S). Пусть P£(f) = inf P(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадёж-

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект №12-01-31340.

ных элементов, реализующим булеву функцию f (х1, Х2,... , хп). Схема А из ненадёжных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной (асимптотически наилучшей) по надёжности, если Р(А) Ре^) при е ^ 0.

Число к будем называть коэффициентом ненадёжности базиса, если все функции в этом базисе можно реализовать схемами с ненадёжностью, асимптотически не больше ке (при е ^ 0), и найдётся функция f, которую нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически меньше чем ке (при е ^ 0).

Задача построения асимптотически оптимальных по надёжности схем при инверсных неисправностях на выходах элементов в полных базисах из трёхвходовых элементов решена в [2]. В этой работе найден широкий класс базисов, для которых к =1.

Обозначим через К множество функций, для которых асимптотически оптимальные по надёжности схемы в базисе В функционируют с ненадёжностью, асимптотически равной ке (при е ^ 0), где к — коэффициент ненадёжности базиса В.

Нетрудно проверить, что при инверсных неисправностях на выходах элементов в любом базисе ненадёжность любой схемы, содержащей хотя бы один элемент, не меньше е. Поэтому коэффициент ненадёжности любого базиса не меньше 1.

Для реализации любой функции, отличной от х (г = 1, 2,... , п), требуется не менее одного функционального элемента. Обозначим через К(п) множество булевых функ-

|К (п)|

ций К(п) = Р2\{жг : г = 1,...,п}. Очевидно, что ——— ^ 1 при п ^ то. Тогда

22

СО

в случае к =1 множество К равно К = Р| К (п).

г=1

Замечание 1. Для любой булевой функции f £ К верно Р£^) ^ е.

Опишем множество О функций ^(ж1,... , ), обладающих свойством повышения

надёжности.

Пусть е1, е2,... , ег £ {0,1}г, где бг — вектор, имеющий ровно одну ненулевую компоненту на г-м месте, г = 1, 2,... , г. Зададим множество Ек, состоящее из г векторов

г—1

е1, е2,... , ег € {0,1}г, следующим образом: 1) ег = бг, г =1, 2,... , к; 2) ег = бг + ^ Л^б3-,

3 = 1

где Лгз € {0,1}, г = к + 1, к + 2,... , г. Пусть ^(х1, х2,... , xr) € Со, если существуют такие двоичные наборы а, в, что 1) <^(&) = 0, <^(в) = 1; 2) для любого набора X = <5 + ег верно ^(Х) = 0; 3) для любого набора X = в + ег верно <^(Х) = 1; 4) А П В = 0, где А = {<5} и {X : X = <5 + ег, г = 1, 2,... , г}, В = {в} и {X : X = в + ег, г = 1, 2,... , г}.

Множество всех функций ^ £ С0, а также функций, из которых подстановкой переменных можно получить одну из функций <^, обозначим через С.

Теорема 1. Пусть В — базис, содержащий функцию ^(x1, x2,... , xr) £ С. Тогда для любой булевой функции f существует схема Б, реализующая f, для которой Р (Б) ^ е + 1,1(8(3/2)г + г (г + 1))е2 при е ^ шт (1/960,1/ (8(3/2)г + г(г + 1))).

Из теоремы 1 с учётом замечания 1 следует, что при наличии в полном базисе В функций множества О для почти всех булевых функций f £ К асимптотически оптимальные по надёжности схемы Б функционируют с ненадёжностью Р(Б) ~ е при е ^ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. ЛупановО.П. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

2. Васин А. В. Асимптотически оптимальные по надёжности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2010. 100с.