О полных базисах с коэффициентом ненадёжности 5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.718

0 ПОЛНЫХ БАЗИСАХ С КОЭФФИЦИЕНТОМ НЕНАДЁЖНОСТИ 51

А. В. Васин

Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных по надёжности схем, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на выходах элементов в некоторых полных базисах. Доказано, что в рассматриваемых базисах почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надёжности схемами, которые функционируют с ненадёжностью, асимптотически равной Ъе при е ^ 0, где е — вероятность инверсной неисправности на выходе базисного элемента.

Ключевые слова: ненадёжные функциональные элементы, асимптотически оптимальные по надёжности схемы, инверсные неисправности на выходах элементов, синтез схем из ненадёжных элементов.

Рассматривается реализация булевых функций схемами [1] из ненадёжных функциональных элементов в произвольном полном конечном базисе В. Предполагаем, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е Е (0,1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию 0, а в неисправном — функцию 0. Считаем, что схема Б из ненадёжных элементов реализует булеву функцию f (Х1, ж2, ..., жп), если при поступлении на входы схемы двоичного набора а = (а1, а2,... , ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы Б появляется значение f (а).

Ненадёжностью Р(Б) схемы Б назовем максимальную вероятность ошибки на выходе схемы Б при всевозможных входных наборах схемы. Надёжность схемы Б равна

1 — Р(Б). Пусть Р£^) = т£Р(Б), где инфимум берется по всем схемам Б из ненадёж-

ных элементов, реализующим булеву функцию f (х1 , ж2,... , жп). Схема А из ненадёжных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной (асимптотически наилучшей) по надёжности, если Р(А) Ре(У) при е ^ °.

Число к будем называть коэффициентом ненадёжности полного базиса, если все функции в этом базисе можно реализовать схемами с ненадёжностью, асимптотически не больше ке (при е ^ °), и найдётся функция f, которую нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически меньше чем ке (при е ^ 0).

В [2] обосновано, что к Е {1, 2, 3, 4, 5}. Эта работа посвящена полным базисам с коэффициентом ненадёжности к = 5.

Пусть

оо к

Ф1 = {0,1,Х1} и и { & Ж;},

к=2 *=1 °° к со к к

Ф2 = {0, 1}и и{ & X;} и и и {х ■ & Ж;},

к=2 ;=1 к=1.7=1 г=1,;=3

со к

Ф1 = {0,1,Ж1} и и { V Ж;},

к=2 ;=1

со к со к к

Ф2 = {0,1}и 0{\/ Жг}^0и{х7 V V Ж;}.

к=2 ;=1 к=1 7=1 ;=1 ,;=7

хРабота поддержана грантом РФФИ, проекты №14-01-31360 и 14-01-00273.

С. И. Аксенов сформулировал следующую теорему.

Теорема 1 [3]. Пусть В — полный базис и В ^ Ф1, В ^ Ф2, В ^ Ф1, В ^ Ф2. Тогда любую булеву функцию f можно реализовать схемой Б над В с ненадёжностью Р(Б) ^ 4е + се2 при е € (0,е0], где константы с > 0, е0 € (0,1/2) зависят от базиса.

Из теоремы 1 следует: если полный базис В удовлетворяет условиям В ^ Ф1, В ^ Ф2, В ^ Ф1, В ^ Ф2, то его коэффициент ненадёжности к € {1, 2, 3, 4}. Однако теорема 1 — только верхняя оценка ненадёжности, которая не дает представления о коэффициенте ненадёжности базисов В, удовлетворяющих В С Ф1, или В С Ф2, или В С Ф*, или В С Ф2.

С. И. Аксеновым в [4] получена верхняя оценка ненадёжности схем в произвольном полном конечном базисе при инверсных неисправностях на выходах элементов. Он доказал, что существуют такие константы е0 Е (0,1/2) и ^ > 0, зависящие от базиса, что любую булеву функцию f можно реализовать схемой Б с ненадёжностью Р(Б) ^ 5е + ^е2 при е Е (0, е0].

В работе [5] явно найдены константы ^, е0 и доказана теорема 2.

Теорема 2 [5]. В произвольном полном конечном базисе В любую булеву функцию f можно реализовать схемой А с ненадёжностью Р(А) ^ 5е + 182е2 при е ^ 1/960.

Теорема 2 справедлива и для базисов В, удовлетворяющих условию В С Ф1, или В С Ф2, или В С Ф1, или В С Ф2.

Автором в [2] решена задача построения асимптотически оптимальных по надёжности схем при инверсных неисправностях на выходах элементов в полных базисах из трёхвходовых элементов, доказаны нижние оценки ненадёжности для базисов

В С {0,1,Ж1,ж1&ж2,ж1&ж2&ж3},

В С {0,1,х1&х2,х1&х2&х3,х1&х2,х1&х2&х3},

В С {0,1, х1, х1 V х2, х1 V х2 V х3},

В С {0,1, х1 V х2, х1 V х2 V х3, х1 V х2, х1 V х2 V х3}

и показано, что коэффициент ненадёжности указанных базисов равен 5. Нетрудно видеть, что эти базисы являются подмножествами множеств Ф1, Ф2, Ф1, Ф2.

Поэтому можно предположить, что в базисах В, удовлетворяющих условию В С Ф1, или В С Ф2, или В С Ф1, или В С Ф2, коэффициент ненадёжности базиса также равен 5. Для проверки справедливости последней гипотезы необходимо доказать нижние оценки ненадёжности для этих базисов.

Обозначим К(п) —множество булевых функций f, зависящих от переменных х1, х2,... , хп, не представимых в виде (х“&д(х))ь, где г = 1, 2, ...,п, а,Ь Е {0,1}, х = (х1,х2,...,хп), и сформулируем теорему о нижних оценках ненадёжности для названных базисов.

Теорема 3. Пусть В — полный конечный базис и В С Ф1, или В С Ф2, или В С Ф1, или В С Ф2. Пусть функция f Е К(п) и Б — любая схема, реализующая f. Тогда Р(Б) ^ 5е(1 — е)4 при е Е (0,1/960].

Из теорем 2 и 3 следует, что в любом из полных базисов В, таких, что В С Ф1, В С Ф2, В С Ф1, В С Ф2, для почти всех функций асимптотически оптимальные по надёжности схемы функционируют с ненадёжностью, асимптотически равной 5е при е ^ 0. Следовательно, коэффициент ненадёжности базисов В, удовлетворяющих условию В С Ф1, или В С Ф2, или В С Ф1, или В С Ф2, равен 5.

Таким образом, если учесть теоремы 2 и 3 и добавить теорему С. И. Аксенова из работы [3], то получим теорему 4.

Теорема 4. Коэффициент ненадёжности полного базиса В равен 5 тогда и только тогда, когда В С Фі, или В С Ф2, или В С Ф1, или В С Ф^.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Васин А. В. Асимптотически оптимальные по надёжности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2010. 100с.

3. Аксенов С. И. О надёжности схем в широком классе полных базисов // Материалы IX Междунар. семинара «Дискретная математика и её приложения», посвящённого 75-летию со дня рождения акад. О. Б. Лупанова (Москва, МГУ, 18-23 июня 2007 г.) / под ред. О. М. Касим-Заде. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007. С. 55-56.

4. Аксенов С. И. О надёжности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов // Изв. вузов. Поволжский регион. Естественные науки. 2005. №6(21). С. 42-55.

5. Алехина М. А., Васин А. В. О надёжности схем в базисах, содержащих функции не более чем трёх переменных // Ученые записки Казанского государственного университета. Сер. Физико-математические науки. 2009. Т. 151. Кн. 2. С. 25-35.