Об остаточном члене проблемы распределения дробных долей линейной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Шунков В. П. Об одном классе p - групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, вып. 4.

3. Череп A. A. О элементах конечного порядка в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика. 1987. Т. 26, вып. 4.

ОБ ОСТАТОЧНОМ ЧЛЕНЕ

ПРОБЛЕМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ _ _ ___«_» _ _ «_» «_»

ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ линеинои функции1

А. В. Шутов (г. Владимир) E-mail: [email protected]

Хорошо известно, что для любого иррационального а последовательность дробных долей {ка} равномерно распределена по модулю 1. Для количественной оценки равномерности распределения введем функцию

r(a,n, I) = |tf{k : 0 < к <n, {ка} е I} - nil||,

измеряющуюю отклонения числа точек {ка}, попавших в некоторый интервал I от ожидаемого значения. Функцию г(а, n, I) называют остаточным членом проблемы распределения дробных долей линейной функции или локальным отклонением. В отличие от глобального отклонения

Д(а, n) = sup г(а, n, I),

I

для которого получены практически точные оценки в терминах разложения а в цепную дробь, остаточные члены r^,n,I) остаются крайне мало изученными. Фактически, известные результаты сводятся к следующему.

1) Оценка r^,n,I) имеет место для всех n тогда и только тогда, когда |I| е Z + аZ (Гекке, Кестен). При этом для константы C(I) можно получить точные оценки и даже явные формулы (Журавлев, Мануйлов, Красильщиков, Шутов).

2) При фиксированном а для почти всех интервалов I имеет место оценка limsupn^TO ^п'1 ^ > 0 (Вера Т. Шош).

3) Оценки r(^,n, I) в случае квадратичной иррациональности а и рациональной длины интервала I (Адамчевский, Бек, Рокадас, Шойсин-гер).

Нами доказаны следующие два результата.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-11-00433).

Теорема 1. Пусть а - иррационально, <p(x) - монотонно возрастающая функция, причем <p(x) — то при x — то. Тогда существует несчетное множество ß £ (0; 1) таких, что

lim sup r(a,n, [0; ß)) = то,

n—>-то

но

r(а,n, [0;ß)) = o(^(n)).

Теорема 2. Существует постоянная C ^ 7 такая, что для любого иррационального а и для любого интервала I выполняется неравенство

lim inf r(a, n, I) ^ C.

n—то

Отметим, что ранее аналог теоремы 1 был доказан автором в случае, когда неполные частные разложения а в цепную дробь ограничены.

СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ В КЛАССЕ ПОЛУАБЕЛЕВЫХ n-АРНЫХ ГРУПП Н. А. Щучкин (г. Волгоград) E-mail: [email protected]

На циклической группе (а) задаем абелеву полуциклическую n-арную группу deri (а) с n-арной операцией

f (sia,..., Sn а) = (si + ... + Sn + 1)а,

где I - любое фиксированное целое число, если | (а)| = то, и 0 ^ I ^ k для | (а) | = k [1, 2]. На множестве C всех циклических групп определяем класс абелевых полуциклических n-арных групп Ct при фиксированном целом t, 0 ^ t ^ [], по правилу: конечная n-арная группа deri (а) порядка k лежит в Ct тогда и только тогда, когда НОД(/,п — 1, k) = t; бесконечная n-арная группа deri (а) лежит в Ct тогда и только тогда, когда I = t (mod n — 1) или I = — t (mod n — 1). Бесконечные n-арные группы dert(a) являются свободными в Ct [3]. Среди классов Ct выделим Ci — класс циклических n-арных групп, в котором свободными являются бесконечные циклические n-арные группы.

Теорема 1. В классе Ct любая n-арная подгруппа свободной n-арной группы изоморфна бесконечной n-арной группе deri(а), где 0 ^ I ^ [n——1 ] и НОД(1, n—1) делит t. n-Арная подгруппа, для которой I = t, является свободной в Ct.