Свободные алгебры в классе полуабелевых n-арных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1. Пусть а - иррационально, <p(x) - монотонно возрастающая функция, причем <p(x) — то при x — то. Тогда существует несчетное множество ß £ (0; 1) таких, что

lim sup r(a,n, [0; ß)) = то,

n—>-то

но

r(а,n, [0;ß)) = o(^(n)).

Теорема 2. Существует постоянная C ^ 7 такая, что для любого иррационального а и для любого интервала I выполняется неравенство

lim inf r(a, n, I) ^ C.

n—то

Отметим, что ранее аналог теоремы 1 был доказан автором в случае, когда неполные частные разложения а в цепную дробь ограничены.

СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ В КЛАССЕ ПОЛУАБЕЛЕВЫХ n-АРНЫХ ГРУПП Н. А. Щучкин (г. Волгоград) E-mail: [email protected]

На циклической группе (а) задаем абелеву полуциклическую n-арную группу deri (а) с n-арной операцией

f (sia,..., Sn а) = (si + ... + Sn + 1)а,

где I - любое фиксированное целое число, если | (а)| = то, и 0 ^ I ^ k для | (а) | = k [1, 2]. На множестве C всех циклических групп определяем класс абелевых полуциклических n-арных групп Ct при фиксированном целом t, 0 ^ t ^ [], по правилу: конечная n-арная группа deri (а) порядка k лежит в Ct тогда и только тогда, когда НОД(/,п — 1, k) = t; бесконечная n-арная группа deri (а) лежит в Ct тогда и только тогда, когда I = t (mod n — 1) или I = — t (mod n — 1). Бесконечные n-арные группы dert(a) являются свободными в Ct [3]. Среди классов Ct выделим Ci — класс циклических n-арных групп, в котором свободными являются бесконечные циклические n-арные группы.

Теорема 1. В классе Ct любая n-арная подгруппа свободной n-арной группы изоморфна бесконечной n-арной группе deri(а), где 0 ^ I ^ [n——1 ] и НОД(1, n—1) делит t. n-Арная подгруппа, для которой I = t, является свободной в Ct.

Следствие 1. Всякая n-арная подгруппа свободной циклической пиарной группы является свободной или изоморфна бесконечной п-арной группе derl(a), где 2 ^ l ^ [n-i] и НОД(1,п - 1) = 1 [4].

Рассмотрим теперь класс абелевых n-арных групп. Известно [5, 6], что бесконечная циклическая n-арная группа и прямые произведения бесконечной циклической n-арной группы с производной n-арной группой от свободной абелевой группы являются свободными в классе абелевых n-арных групп. Кроме того, всякая n-арная подгруппа свободной абелевой n-арной группы является свободной или изоморфна бесконечной абелевой полуциклической n-арной группе derl(a), где 2 ^ l ^ [] и НОД(1,n - 1) = 1 [6].

Рассмотрим процесс нахождения свободных n-арных групп в классе полуабелевых n-арных групп, описанный в работе [7].

Пусть дано множество {xa | а £ I}. Для каждого элемента xa определим прямую сумму Aa = ) бесконечных циклических групп (xaj). Рассмотрим прямую сумму F = (a) + ^aGl Aa, где (a) — бесконечная циклическая группа. На каждой группе Aa выбираем автоморфизм действующий по правилу

^a(t1xai + ¿2xa2 + ... + tn-1xan-1) = ¿n-1xai + ¿1xa2 + ... + ¿n-2xan-1.

На группе F имеем автоморфизм sa + k=1 zai) = sa + k=i (zai) и на F определяем полуабелеву n-арную группу der^,aF с n-арной операцией

f (bi, ... А) = bi + ^(bi) + ... + pn-2 (bn-1) + bn + a.

Теорема 2 (Теорема 5, [7]). n-Арная группа der^,aF является свободной в классе полуабелевых n-арных групп с порождающим множеством

X = {-a + xai | а £ I} U {0}.

Далее изучаются n-арные подгруппы свободной полуабелевой n-арной группы.

Библиографический список

1. Glazek K., Michalski J., Sierocki I. On evaluation of some polyadic groups // Contributions to General Algebra. 1985. Vol. 3.

2. Щучкин Н. А. Полуциклические n-арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. Т. 3(54).

3. Кусов В. М. Щучкин Н. А. Свободные абелевы полуциклические n-арные группы // Чебышевский сборник. 2011. Т. XII, вып. 2(38).

4. Артамонов В. А. Свободные n-группы // Матем. заметки. 1970. Т. 8, № 4.

5. Щучкин Н. А. Взаимосвязь n—групп и групп // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, вып. 1(5).

6. Щучкин Н. А. Подгруппы свободной абелевой n-арной группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2013. Т. 6(81).

7. Shchuchkin N. A. Free semiabelian n-ary groups // Quasigroups and Related Systems. 2015. Vol. 23.

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА К. М. Эминян (г. Владимир) E-mail: [email protected]

Пусть No - множество натуральных чисел, двоичные разложения которых имеют четное число единиц, N1 = N\N0. В работе получены асимптотические формулы для количества простых чисел p, не превосходящих X и таких,что p Е Ni, p + 1 Е Nj, где i и j независимо друг от друга принимают значения 0, 1.

то

Пусть n = £k2к - представление натурального числа n в двоичной k=o

системе счисления, ек = 0,1.

Разобьем множество натуральных чисел на два непересекающихся класса следующим образом:

N0 = <j n : n Е N; ек = 0(mod2)l и

к=0

N1 = I n : n Е N; ^ ек = 1 (mod2)

I k=o

В 1967 году А. О. Гельфонд в работе [1] получил в частности теорему: для числа целых n, n ^ X, удовлетворяющих условиям n = l (modm) , n Е N0, справедлива асимптотическая формула

X

T(X ) = 2m+O (X A),