Свободные абелевы полуциклические n-арные группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 512.572

СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ПОЛУЦИКЛИЧЕСКИЕ n-АРНЫЕ ГРУППЫ

В. М. Кусов, Н. А. Щучкин (г. Волгоград)

THE FREE ABELIAN n-ARY GROUPS DEFINED BY THE CYCLIC GROUPS

V. M. Kusov, N. A. Shchuchkin (Volgograd)

Аннотация

Дано полное описание n-арных групп, свободных в классе абелевых полуциклических n-арных групп, а также их групп автоморфизмов.

We give a complete description of the n-ary groups, which are free in the class of abelian n-ary groups defined bv the cyclic groups and their automorphism groups.

1 Введение

n-арпые (или полиадические) группы являются обобщением групп и имеют тесную связь с группами, а полуцикличеекие n-арные группы (изучались в работах [1], [2]) обобщают циклические группы. Мы будем рассматривать

n

n

n

2 Основные определения

Алгебру (G, f ) с n-арпой операцией f (и > 3) называют и-арной группой ([3]), если в ней выполняется обобщенный закон ассоциативности

f (f (а\,... ,а,п ),а,п+1,... ,«2n-i) =

f (a1, • • • , ^, f (ai+1) • • • > ai+n) , ai+n+1 :> • • • , a2n-1) (1)

для всех i = 1, • • •, n — 1 и разрешимы каждое из уравнений

f (Xj a1 , • • • , an-1) f (a1) • • • ) an-1, y) b

для любых a1; • • •, an-1, b из G (cm, [4] и [5]),

Группа (A, +) называется обертывающей для n-арной группы (G, f), если

1) G С A;

2) G порождает (A, +);

3) если a1, a2, • • •, an G G, то

f (ab a2j • • • , an) = a1 + a2 + • • • + an• (2)

Множество

Go = {a — b | a, b G G} = {a1 + a2 + • • • + an-1 | aj G G} = {—a + b | a, b G G}

является нормальной подгруппой в (A, +), ее называют соответствующей подгруппой, и факторгруппа A/G0 будет циклической группой порядка, делящего n — 1, причем смежный класс G является образующим циклической группы A/Go (см, [3]),

Верно и обратное. Если G0 — нормальная подгруппа в группе (A, +), A/Go n — 1 G

из разложения A по G0, являющийся образующим A/G0, то (G, f) — n-арная группа с операцией (2), причем (A, +) — обертывающая группа для (G,f), Обертывающая группа (G*, +) для n-арной груп пы (G, f) называется универсальной, если порядок циклической группы G*/G0 равен n — 1, По теореме

n

щая группа, n

f (x1, • • • , xn) f (x<r(1), • • • , x<r(n))

для любой подстановки a G Sn. Очевидно, n-арная группа абелева тогда и только тогда, когда ее обертывающая группа абелева,

В n-арной группе (G, f) для любого элемента a G G решение уравнения

f (a, • • •, a, x) = a

n- 1

обозначают через a и называют косым элементом для a. Из (2) имеем a = — (n — 2)a для любого a G G,

nG

a : x ^ X^ Эта операция может быть использована при определении n-арной

группы ([6], [7], [8]), На п-арпую группу (С,/) можно смотреть как на алгебру (С, /,“) ( [9] ), в которой выполнены тождества (1) и

/ (у £..,3 х) = / (У Хх) = / (х У) = / (хх х — х У) = У- (3)

п—2 п—3 п—2 п—3

Отметим выполнимость тождеств

/> / \ /> / /п 3 _____ п 3 ______ \ /п 3 ____ п 3 ______ \ \

/ (Х1, ... ,Хп) = / ( (£п ,Хп, - - - , £1 ,Х1),... , (Хп ,£п, - - - , £1 ,£1) ),

'--------------------V-------------------'

п— 2

X = / ( £,...,£ )

(п—2)2

п3

в п-арных группах (запись х* обозначает последовательпость х^,..., х^), Здесь

п— 3

и дальше при действии / над &(п — 1) + 1 элементами из С внутренние скобки будем опускать, благодаря тождествам (1), Любая п-арная подгруппа, порож-

/

нз этого множества и косым к этим элементам ([10], [5]),

Пусть К - класс п-арных групп, п-арная группа ^ из К с порождающим множеством X = {ха | а € I} называется свободной в классе К со свободным порождающим множеством X, если для любой п-арной группы (В, /) из К с порождающим множеством У = {Ьа | а € I} отображение ха ^ Ьа продолжается до гомоморфизма из ^ в (В,/) и такое продолжение единственное ([11]).

3 Порождающие множества абелевых полуцик-личееких п-арных групп

п

(С,/) (см. [2]), т.е. п-арные группы, у которых обертывающая группа (С*, +) абелева и соответствующая подгруппа Со циклическая. Пусть С0 = (а) и С*/С0 = (С) = (д + (а)) — циклическая группа порядка &, делящего п — 1. Тогда % = ¿а для некоторого целого ¿и / (д,..., д) = д + (п — 1)д = д + пк1■ ¿а. Операция / па С действует по правилу

/(д + 51а,..., д + ^а) = д + ^1 + ... + Зп + 1)а, (4)

для д + ^а € С 1 = пт1 ¿- Любая так построенная абелева полуциклическая п-арная группа (С,/) = (д + (а),/) определяется абелевой группой (С*, +), индексом & ее циклической подгруппы (а) и целым числом ¿, которое задается элементом д € С, Будем говорить, что такая абелева полуциклическая п-арная группа имеет тип (С*,&,£),

Теорема 1. Любая абелева полуциклическая n-арная группа (g + (а),/) порождается элементами g, g + а и g — а.

Доказательство. Отметим, что g = g — /а.

Пусть g+sa G g+ (а). Если s > 0, то применяем s раз операцию / к элементам g + а, g и g, получим

/ (g + а ... ^ + а, = g + (s + s(—1) + s/)a = g + sa.

s s(n—3)+1 s

Если s < 0, то примен яем —s раз операцию / к элементам g — а, g и получим

/ (g — а....,g — а g1_.^g,,= g+ ((—1)(—s) + (—s)(—1) + (—^/)а = g+^.

—s —s(n-3)+1 —s

Теорема доказана.

Следствие 1. Любая абелева, полуциклическая n-арная гру ппа, (g + (а),/ ) порождается элементами, g и g + а.

Доказательство. Заметим, что g + а = g + (—/ — (n — 2))а, Элемент g — а получается применением операции / к элементам g + а g + а и g:

/(g + а, g + а,..., g + а, g, g) = g + (—/ — (n — 2) + n — 3 + /)а = g — а.

4------V/-----'

n—3

Следствие доказано.

Если элемент g такой, что g(n — 1) = ±а (т.е, / = ±1), то g = g^а и, согласно теореме 1, абелева полуциклическая n-арная гру ппа (g + (а),/ ) порождается gn

n

((а), +)

n ((а), /)

/(s^,..., s^) = (si + ... + s„ + /)а, (5)

где / - любое фиксированное целое чпело, если | (а) | = œ, и 0 < / < k для |(а)| = k. Любая абелева полуциклическая n-арная группа изоморфна ((а),/) (см. [2]).

n ((а), /)

0 а —а

Доказательство. Отметим, что 0 = —/а.

Пусть за € (а). Если в > 0, то применяем в раз итерацию / к элементам а,

0 и 0, получим

/(а,..., а, 0,..., 0, 0,..., 0) = (в + в(—/) + в/)а = за.

Если з < 0, то примен яем —8 раз операцию / к элемент ам —а 0 и 0, получим

Теорема доказана.

Следствие 2. Любая абелева, полуциклическая п-арпая, группа, ((а),/) по-

0а

Доказательство. Заметим, что 0 = (—/ — (п — 2))а, Тогда /(а, а,..., а, 0, 0) = (—/ — (п — 2) + п — 3 + /)а = —а.

п—3

Следствие доказано.

Если / = 1, то ((а),/) будет циклической п-арной группой с порождающим а

4 Свободные абелевы полуцикличеекие п-арные группы

Пусть (Ь) — бесконечная циклическая группа. Для целого числа / полагаем

в =НОД(/, п — 1) р = ^Ь и с = П-1■Ь, Тогда множество {р + (с)} порождает (Ь),

так как для некоторых и и V имеем 1 = ип—1 + V^ и если зЬ € (Ь), то

7 / п — 1 /Ч7 п — 1 / / /

зЬ = 3(и ---+ V-)Ь = Зи —Ь + — Ь : Ь + ^-Ь = р + вис + (^ — 1)р.

в в в в в в

Кроме того, п-арная операция / па {р + (с)}, заданная по правилу / (р + с, . . . , р + 3„с) = р + 81С + ... + р + 3„с,

удовлетворяет (4), так как (п — 1)р = (п — 1)^Ь = /си

р + 81с + ... + р + 3„с = р + (п — 1)р + (^1 + ... + 3„)с = р + (^1 + ... + + /)с.

Мы получили абелеву полуциклическую п-арную группу (р + (с),/), для кото-( Ь) ( с)

индекеа П-1■,

й(п—3)+1

/(—а,..., —а, 0,..., 0 , 0,..., 0) = ((—1)(—8) + (—з)(—/) + (—з)/)а = за.

— й

й(п—3) + 1

— й

Теорема 3. и-арные группы (p + (с),/) яаляются свободными в классе абелевых полуциклических и-арных групп.

Доказательство. Пусть (g + (а),/) — абелева полуцикличеекая п-арная группа с операцией (4) и d =НОД(/,п — 1). Отображение ^ : p + sc ^ g + sa переводит порождающие элементы p, p + сир — с n-арной груп пы (p +

(с),/ ) в порождающие эле менты g g + a и g — a n-арной груп пы (g + (a),/ ) соответственно. Кроме ТОГО, еСЛИ p + Sjс G p + (с), i = 1,..., и, то

<£(/(p + S^, . . . ,p + Sn^) = ^(p + (si + ... + Sn + /)с) =

= g + (si + ... + Sn + l)a = /(g + Sia,..., g + s„a) = /(<p(p + Slc),..., <p(p + s^)). Единственность такого гомоморфизма ^ очевидна,. Теорема доказана.

Теорема 4. Бесконечные и-арные группы ((a),/), где 0 < l < [], и

и

групп.

Доказательство. Пусть ((b), / ) — абелева полуцикли чеекая п-арная груп-

l

и

k с заданными l1 и l2 изоморфны тогда и только тогда, когда НОД(11, и — 1, k) = НОД(12, и — 1, k) (Лемма 1, [1]), а две бесконечные абелевы полу циклические и-арные группы с заданными ^ и l2 изоморфны тогда и только тогда, когда l1 = l2 (mod и — 1) либо l1 = —12 (mod и — 1) (Предложение 7, [2]). Значит, можно считать, что заданное число l для ((b),/) удовлетворяет неравенствам 0 < l < [П-1 ].

Групповой гомомогфизм : (a) ^ (b) переводит порождающие элементы 0 a —a и ((a), /) 0 b —b и

группы ((b), / ) соответственно. Кроме то го, если Sia G (a), i = 1,..., и, то

<^(/(s1a,..., Sna)) = ^((s1 + ... + Sn + l)a) =

= (S1 + ... + Sn + l)b = /(S1b,..., Snb) = /(^(S1a),..., ^(Sna)).

Значит, бесконечная и-арная груп па ((a),/ ), где 0 < l < [n-1■ ], яаляется свои

и ((a), /)

из Теоремы 3, [2]). Теорема доказана.

Из последней теоремы следует, что бесконечные абелевы полуцикличеекие тернарные группы ((a),/) (и = 3), где l = 0,1, и только они являются евобод-

l=0

мер такой тернарной группы дает множество четных целых чисел с операцией /(a, b, с) = a + b+с, а при l = 1 — множество нечетных целых чисел с той же операцией. Таким образом, любая свободная абелева полуцикличеекая тернарная группа изоморфна одной из этих двух тернарных групп.

5 Группа автоморфизмов свободной абелевой поп

Иепользуя идеи доказательств, изложенных в [14] и [15], доказываются следующие факты.

Теорема 5. Отображение ф свободной абелевой полуциклической п-арной ((а), /)

для некоторого автоморфизма, а циклической группы ((а), +) верно равенство

а(/а) = (п — 1)ф(0) + /а.

Доказательство. Пусть ф — автоморфизм свободной абелевой полуциклической п-арной группы ((а),/), Тогда отображение а : (а) ^ (а), определяемое правилом а(за) = —ф(0) + ф(^а), является автоморфизмом группы ((а), +), Действительно, для любых 81а, з2а € (а) имеем

а(^1а + з2а) = а(/(^1а, 0...., 0, —/а, з2а)) = —ф(0)+ ф(/(^1а, 0...., 0, —/а, з2а)) =

= —ф(0) + /(ф(^а),ф(0).... ,ф(0),ф(—/а),ф(в2а)) =

= —ф(0) + ф(^1а) + (п — 3)ф(0) + ф(—/а) + ф(^2а) + /а =

= —ф(0) + ф(^1а) + (п — 2)ф(0) + ф(—/а) — ф(0) + ф(^2а) + /а =

= а(^1а) + (п — 2)ф(0) + ф(—/а) + а(з2а) + /а =

= /(а(^1а) + а(^2а),ф(0),..., ф(0), ф(—/а)) =

= /(ф(ф—1(а(^1а) + а(^2а))),ф(0),..., ф(0), ф(—/а)) =

= ф(/(ф—1(а(^1а) + а(^2а)), 0,..., 0, —/а)) =

= ф(ф—1(а(^1а) + а(^а))) = а^а) + а(^а).

Кроме того,

а(/а) = —ф(0) + ф(/а) = —ф(0) + ф(/(0,..., 0)) =

= —ф(0) + /(ф(0) ...,ф(0))) = (п — 1)ф(0) + /а.

Обратно, пусть а — автоморфизм бесконечной цикличеекой группы ((а), +), Тогда отображение ф определим правилом ф(^а) = ф(0) + а(за), Очевидно,

ф

п ((а), /)

тельно, для любых 81 а,..., зпа € (а) имеем

ф(/^а,..., а)) = ф(0) + а(^1а + ... + з„а + /а) =

= ф(0) + а(^а) + ... + а(з„а) + (п — 1)ф(0) + /а = /(ф^а),..., ф(^„а)). Теорема доказана.

Следствие 3. Пусть ((a), f) — свободная абелева полуциклическая и-арная группа, где 0 < l < [П-1■]. Тогда,

1) если l = 0, то в ((a), f) есть только два, автоморфизма, которые совпадают с автоморфизмами группы (а);

2) если, l = П21 при нечет ном и, то в ((а), f) есть только два, автоморфизма: тождественный, автоморфизм и автоморфизм sa ^ (—s — 1)а;

3) если l = 0 и l = n-1, то в ((a),f) имеется, только тождественный, автоморфизм.

Следствие 4. Группа автоморфизмов бесконечной абелевой, полуцикличе-

((a), f)

1) если l = 0 то она совпадает с группой автоморфизмов группы (а);

2) если, l = 1, то она содержит автоморфизм sa ^ (—s — 1)а и тождественный, автоморфизм.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Glazek K., Michalski J, and Sierocki I, On evaluation of some polyadic groups // Contributions to general algebra 3: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky. Wiena, 1985, P. 157-171.

и—

Скорины. 2009. №3(54). C. 186-194.

[3] Post E. L. Poluadie groups // Trans. Amer. Math. Soe. 48 (1940). P. 208-350.

и—

1992.

и

еитет им. Ф. Скорины, 2003.

[6] Dudek W. A., Glasek K. and Gleichgewicht В. A note on the axioms of n-groups // Colloquia Math. Soc. J. Bolyai 29 Universal Algebra, Esztergom (Hungaru) (1977), P. 195-202. (North-Holland, Amsterdam 1982)

[7] Dudek W. A. Eemarks on n-groups // Demonstratio Math. 13 (1980), P. 165181.

[8] Gal’mak A. M. Eemarks on polyadic groups // Quasigroups and Related Systems, 7(2000), P. 67-71.

[9] Gleichgewicht B. and Glasek K. Eemarks on n-groups as abstract algebras // Coll. Math. 17 (1967), P. 209-219.

[10] Гальмак А, М. Конгруэнции полиадических групп, Минск, "Беларуская навука1999,

[11] Артамонов В, А, Подгруппы свободных групп и свободных произведений групп в некоторых классах обобщенных групп. Диссертация на соискание уч. ст, канд. физ.-мат. наук, Москва, 1970,

[12] Глуекин Л, М. Позиционные оперативы // Мат, сборник, Т,68(110), №3, 1965. С. 444-472.

[13] Hosszu М. On the explicit form of n-group operacions // Publ. Math. 1963. V.10. №1-4. P. 88-92.

[14] Dudek W, A. and Michalski J. On retrakts of polvadie groups // Demonstratio Math. 17 (1984), P. 281-301.

[15] Dudec W, A., Shchuchkin N. A. Skew endomorphisms on some n-arv groups// Quasigroups and Related Systems 2(17) : 2009, P. 205-228,

Волгоградский государственный социально-педагогический университет.

Поступило 17.10.2011