Свободные абелевы n-арные группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 512.572

СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ n-АРНЫЕ ГРУППЫ

Н. А. Щучкин (г. Волгоград)

THE FREE ABELIAN n-ARY GROUPS

N. A. Shchuchkin (Volgograd)

Аннотация

В работе описывается строение свободных абелевых n-арных групп.

In this paper the structure of free abelian n-arv groups is described.

1 Введение

n-Арные группы являются обобщением групп , а коммутативность (или перестановочность элементов) в теории n-арных групп имеет несколько обобщений групповой коммутативности. Свободные n-арные группы в классе всех и-арных групп изучались в [1] В. А. Артамоновым. Мы рассмотрим класс n-арных групп с самым "жестким" обобщением коммутативности — инвариантность и-арной операции относительно любой перестановки данных элементов, и дадим описание свободных n-арных групп в этом классе.

2 Основные определения

Алгебру (G, f ) с n-арной операцией f (и > 3) называют и-арпой группой ([2]), если в ней выполняется обобщенный закон ассоциативности

f (f (а\,... ,an),an+1,... ,a2n-i) = f (ai, ...,ai, f (ai+1,... ,ai+n),Oi+n+i,... ,«2n-i) для всех i = 1,... ,n — 1 и разрешимы каждое из уравнений f (х, al,..., an-1) b, f (ai,..., an-1,у) b

для любых а1,..., ап-1, Ь из С (основы теории п-арных групп изложены в работах [3] и [4]), Из обобщенного закона ассоциативности вытекает распространение операции ^ ^юбые к(п — 1) + 1 элементов п-арной группы (С,/) (к > 1) и результат этого распространения будем записывать как f (х\,... ,Хк{п-1)+1).

Группа (А, +) называется обертывающей для п-арной группы (С^), если

1) С порождает (А, +);

2) для любых а1,а2,... ,ап € С имеем

Множество Со = {а — Ь | а,Ъ € С} = |а1 + а2 + ... + ап-1 | а^ € С} является нормальной подгруппой в обертывающей группе (А, +) , ее называют соответствующей подгруппой для (С^), а факторгруппа А/С0 будет цпклн-

п — 1 С

образующим циклической группы А/С0 (см, [2]),

Верно и обратно, если С0 — нормальная подгруппа в группе (А, +) такая, А/С0 п — 1 С

из разложения А по С0, являющийся образующим А/С0, то (С^) — п-арная группа с операцией (1), причем (А, +) — обертывающая группа для (С, f) ([2]), Обертывающая группа (С*, +) для п-арной груп пы (С^) называется универсальной, если порядок циклической группы С*/С0 равен п — 1. По теореме

п

щая группа, п

для любой подстановки а € Бп. Очевидно, п-арная группа абелева тогда и толь-

п

группы служит циклическая п-арная группа ((а)^'), которая определяется па циклической группе (а) с помощью операции f (в1а,..., впа) = (в1 +... + вп + 1)а

В группе {О, f) для любого элемента а Є О решение уравнения

обозначают через а и называют косым элементом для а. Для любого а Є О из равенства (1) имеем а = — (п — 2)а.

Определение косого элемента задает в п-арной группе {О, f) унарную опера-цикГ: х ^ X. Эта операция может быть использована при определении п-арной группы ([7], [8], [9]), На п-арную группу {О,/) можно смотреть как на алгебру {О, ¡0) ([Ю]), в которой выполнены обобщенный закон ассоциативности и тождества

¡ (у, х,...,х,х) = ¡ (у, х,...,х,х,х) = ¡(х, х,...,х,у) = ¡(х, х,х,...,х,у) = у.

¡(аі, а2,..., ап) — аі + а2 + ... + ап

(1)

¡ (х1, . . . , хп) ¡ (ха( 1), . . . , ха(п))

(см. [5], [6])

¡(а, . . . , а, х) = а

п—2

п— 3

п—2

п—3

Отметим важный факт: любая n-арная подгруппа, порожденная некоторым множеством, состоит из всевозможных применений операции f к элементам из этого множества и косым к этим элементам ([11]).

3 Построение свободных абелевых n-арных

групп

Рассмотрим прямую сумму G* = ^2ае1 (xa) бесконечных циклических групп, которая является свободной абелевой группой с системой свободных образующих X = {xa | а Е I}. Для каждого эле мента а = n1xai + ... + nk xak из G* определим число |а| как остаток от деления n1 + ... + nk на n — 1.

Теорема 1. Пусть G* = aei(xa) — свободная абелева группа с свободным порождающим множеством X = {xa | а Е I}. Тогда,

1. множество G = {а Е G* | |а| = 1} с n-арной операцией f, действующей по правилу (1), является абелевой n-арной группой (G,f), для, которой (G*, +) будет универсальной обертывающей группой, a G0 = {а Е G* | |а| = 0} — соответствующей группой;

2. (G, f) является свободной n-арной группой с свободным порождающим

Xn

3. Любая, свободная, абелева, n-арпая группа (F, f) с свободным порождающим множеством Z = {za | а Е I} изоморфна (G,f).

Доказательство. 1. Непосредственная проверка показывает, что множество Go является подгруппой в G*, факторгруппа по которой является циклической группой порядка n — 1 с образующим элементом G. ^тачнт, (G, f) — n

2. Ясно, что X содержится в G. Покажем, что X порождает (G,f). Для каждого g = n\xai + ... + nkxak Е G сравнение n = 1 (mod n — 1).

Если n < 0, то

nixai = —ni(—xai) = —ni((n — 3)xai — (n — 2)xai) = —ni((n — 3)xai + xai)

и —ni(n — 2) = ni (mod n — 1). Значит, любой элемент из G можно представить в

X

на n — 1 дает в остатке 1, т.е. X порождает n-арную rpvnnv (G, f),

Пусть (B, f) — произвольная абелева n-арная групп а и (B*, +) — ее универсальная обертывающая группа. Отображение <р : xa ^ ba из X в B продолжается до гомоморфизма <р1 го группы (G*, (B*, +) по правилу

<£l(nixai + ... + nkxak) = nibai + ... + nk bak .

Так как для любого xa из X p1(xa) = p1(—(n — 2)xa) = —(n — 2)ba — решение уравнения f (ba,... ,ba,x) = ba, to p1(xa) = ba. Далее легко проверить, что

n— 1

ограничение ^ на G является гомоморфпзмом из (G, f) в (B, f).

Пусть теперь т — любое другое гомоморфное продолжение отображения р из X в В Для любого элемента д из С имеем д = f (у1,..., ук(п-1)+1), где каждое уг является либо элемен том из X, либо косым к элементу из X. Тогда

т(д) = ти(уи... ,Ук(п-1)+1)) =(тШ^. .,т(ук(п-1)+1)) =

= f (Р1(у1),...,Р1(ук(п-1)+1)) = Р1^ (у1,...,ук(п-1)+1)) = Р1(д).

Единственность гомоморфного продолжения отображения р доказана,

3, Пусть теперь (Г, f) - свободная абелева п-арная группа с свободным порождающим множеством Z = {га | а € I}. Тогда существует гомоморфизм ф из (Г, f ) на п-арную группу (С, f), который продолжает отображение га ^ ха. С другой стороны, по доказанному выше, существует гомоморфизм т из (С, f) па (Г, f), продолжающий отображепие ха ^ га. Значит, отображение тф оставляет на месте все элементы из откуда следует биективноеть ф. Теорема доказана.

На свободной абелевой группе ^а<г1 (ха) можно строить и другие свободные п

Теорема 2. Пусть С* = ^ае1 (ха) — свободная абелева, группа. Тогда,

1. множество С = {а € С* | |а| = т}, где 1 < т < п — 2, тип — 1 взаимно просты, является, абелевой п-арной группой (С, f) с п-арной операцией f, действующей по правилу (1), для которой (С*, +) будет универсальной обертывающей группой, а С0 = {а € С* | |а| = 0} — соответствующей группой;

2. если ^| > 1, то (С^) является свободной п-арной группой в классе

п

3. ( Предложение 6, Гл. IV, [12]) если ^| = 1, то (С^) является свободной п-арной группой в классе абелевых п-арных групп только при т = п — 2.

Доказательство. 1, Элементами факторгруппы С*/С0 будут множества Аг = = {а € С* | |а| = г} где г = 0,1,... ,п — 2. А значит, образующим этой циклической группы порядка п — 1 будет С = Ат, где т взаимно прост с п — 1. Поэтому (С, f) будет п-арной группой, Остально очевидно,

2, Найдем в группе (С*, +) систему свободных образующих У, лежащую в Ат. Так ка к т взаимно прост с п — 1, то найдутся целые числа и и V такие, что ит + ь(п — 1) = 1. Для фиксированных элементов ха и хр (а = в) из X задаем

уа = (п — 1+ т — V + и)ха + (ь — и)хв, ув = (т — у)ха + ьхв.

Строим множество

У = {уа} и {ув} и {у1 | у1 = х1 — т(и — 1)ха, х1 € X\{ха,хв}}.

Непосредственная проверка показывает, что У С Ат. Кроме того, элементы из X выражаются через элементы из У следующим образом:

ха = ьуа + (и — ь)ув, хв = (ь — т)уа + (п — 1+ т — V + и)ув,

n

167

xy = Vy + m(u — 1)(vya + (u — v)ye), где x^ Е X\{xa,xfi}}.

Для любого а = n1 xa + n2xв + n3xY1 + ... + nk+2xYk из G* имеем

а = n1(vya + (u — v)ye) + n2((v — m)ya + (n — 1+ m — v + u)ye) +

+n3(VYi + m(u — 1)(vya + (u — v)ye )) + ... + nk+2(ylk + m(u — 1)(vya + (u — v)ye)) = = (n1 v + n2 (v — m) + (n3 + . . . + nk+2)m(u — 1)v)ya + (n1(u — v)+ n2(n — 1+m — v + u) + + (n3 + ... + nk+2)m(u — 1)(u — v))ye + n3 ylx + ... + nk+2ylk.

Мы показали, что Y порождает (G*, +),

Аналогично, как и в доказательстве теоремы 1 пункт 2, показывается, что n-арная группа (Am, f) являются свободной n-арной группой в классе абелевых n

3, Если ^| = 1 то (G* = (x1), +) — бесконечная циклическая группа, В этом случае A0 = ((n — 1)x1), G = mx1 + ((n — 1)x1). Каждое порождающее множество n

((x1), +)

{x-{} и {—x1^. Ho x1 Е G, так как m > 1. Значит, —x1 Е G, откуда m = n — 2.

(G, f) n

порождающим множеством {—x{}. Теорема доказана,

4 Разложение свободных абелевых n-арных групп

Рассмотрим ВНОВЬ прямую CVMMV G* = aei(xa) бесконечных циклических групп (xa). На множестве ^2aei(xa) зададим дейетвие n-&pmw отерации f как сумму n элементов, т.е, если gi = ni1xai + ... + nikxak Е J2aeI(xa), i = 1,... ,n,

TO

f (g1^ . . , gn) = g1 + ... + gn = (n11 + ... + nn1)xai + ... + (n1k + ... + nnk)xak.

Получим n-арную группу (^2aei(xa),f), которая называется производной от G*

n

nn (G, f)

лева n-арная группа с порождающим множеством X = {xa | а Е I}, xY — некоторый фиксированный элем,ент из X, ((xY), f) — бесконечная циклическая n-арная группа, (J2peIe=Y(xe),f) — производная n-арная, группа от свободной абелевой группы J2eeI e=Y(xe)> то

(G,f) = ((xy),f)*( ^ (xe),f).

eei,e=Y

(G, f) n

n0xY + n1xpi +... + nkxpk Е G, где n0 + n1 +... + nk = q(n — 1) + 1 для некоторого целого числа q. Зададим отображение т из (G,f) в ((xY),f) х (^peip=Y(xp),f) по правилу

т(n0xY + n1xpi + ... + nkxpk) = ((q — (n1 + ... + nk))xY; n1xpi + ... + nkxpk). Если b = (sxy ; n1xpi + ... + nk xPk) Е ((xy ),f) х (^pei,p=Y (xP),fto т (((s + n1 + ... + nk )(n — 1) + 1 — (n1 + ... + nk ))xy + n1xpi + ... + nk xpk) = b, т

т (n'0 xy + n'1xpi + ... + n'k xpk ) = т (n'0xY + n'1xpi + ... + n'kxpk), где n'0 + n[ + ... + n'k = q' (n — 1) + 1. n'0 + n'1 + ... + n’k = q" (n — 1) + 1, to

n1xpi + ... + n'k xpk = n1 xpi + ... + nk xpk, n1 = n1 , . . . , nk = nk

q — (n1 + ... + nk) = q' — (n1 + ... + nk ^

q = q n0 = n0 т

т

Для gi = ni0xY + nnxpi +... + nikxpk Е G,i = 1,... ,n, где nM + nn +... + nik = = qi(n — 1) + 1, имеем

т (f (g1,.. .,gn)) = т ((n10+.. .+nm)xY+(nn + .. .+n,n1)xpi + .. . + (n1k+.. .+nmk )xpk =

n n n n

= ((q1 + ... + qn + 1 — (ni1 + ... + nik))xY; (^^J ni1)xpi + ... + (nik)xpk ) =

n

qn + 1 — (2_^nn +... + 2_^nik))xy;(2_^,nn)xpi + ... , (¿^nik)xpk) i=1 i=1 i=1 i=1

k k k

nn

(((91 — £ n1i) + ... + (qn — ^2 nni) + 1)xy nuxpi + ... + ^2 nnixpi)

i=1 i=1 i=1 i=1

k k k k = (f ((q1 — £ n1i)xY,..., (qn — Enni)x-,); f(£ n1ixpi , . . . , nnixpi )) _

Y, . . . , (4n / J nni)xY); j ( / j n1ixpi, . . . , / j nn i=1 i=1 i=1 i=1

k k k k f rn — £ n1i)xY nuxpi),..., ((qn — ^ n,ni)xY nnixpi))

UY' Z j n1ixpi )"> . . . , ((qn / ^ nni)xY; ^ nn

i=1 i=1 i=1 i=1

= f (т (n10xY + n11xpi + ... + n1k xpk ), . . . ,т (nn0xY + nn1xpi + ... + nnk xpk ))

= f (т (g1),...,T (gn)).

Теорема доказана.

Следствие 1. Любая свободная абелева n-арная группа, с конечным порождающим множеством X изоморфна прям,ом,у произведению одной бесконечной циклической n-арной группы и \Х\ — 1 производных n-арных групп от бесконечных циклических групп. Подробнее, если (G, f) — свободная абелева п-арная группа с свободным порождающим множеством X = {ха \ а Е I}, \Х\ = г, для, некоторого фиксированного элемента xY из X построена, бесконечная циклическая п-арная группа ((xY), f) и ((xß), f) — производные п-арные группы от бесконечных циклических групп (xß) для всех ß Е I,ß = 7, то

(G,f) = ((xi),f )х П ((xß),f )-

ßei,ß=j

Доказательство. Вновь (G,f) из теоремы 1 пункта 2 и (J^ßei ß=Y(xß),f) — производная п-арная группа от свободной абелевой группы 'Yhß^Iß=1 (xß). Очевидно

( ^ (xß),f) = П ((xß),f)-

ßei,ß=j ßei,ß=j

С учетом теоремы 3 имеем доказательство следствия.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

n

499-507.

[2] Post E. L. Poluadie groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940). P. 208-350.

n

1992.

n

ситет им. Ф. Скорины, 2003.

n

Ф. Скорины. 2009. №3(54). С. 186-194.

[6] Glazek K., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polvadie groups // Contributions to general algebra 3: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky. Wiena, 1985. P. 157-171.

[7] Dudek W. A. , Glasek K. and Gleichgewicht В. A note on the axioms of n-groups // Colloquia Math. Soc. J. Bolvai 29 "Universal Algebra Esztergom (Hungaru) (1977). P. 195-202. (North-Holland, Amsterdam 1982)

[8] Dudek W. A. Eemarks on n-groups // Demonstratio Math. 13 (1980). P. 165-181.

[9] Gal’mak A. M. Remarks on polyadic groups // Quasigroups and Related Systems. 7 (2000), P. 67-71.

[10] Gleichgewicht В. and Glasek К. Remarks on n-groups as abstract algebras // Coll. Math. 17 (1967). P. 209-219.

[11] Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. Минск."Беларуекая навука1999.

[12] Артамонов В. А. Подгруппы свободных групп и свободных произведений групп в некоторых классах обобщенных групп. Москва. Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук. 1970.

Волгоградский государственный социально-педагогический университет.

Поступило 17.10.2011