CC BY
63
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 1 (2014)
УДК 512.548
ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА п-АРНЫХ ГРУПП
А. М. Гальмак ( Могилев ), Н. А. Щучкин ( Волгоград )
Аннотация
Определение п-арной группы получается из определения группы заменой ассоциативной и обратимой бинарной операции на ассоциативную и обратимую на каждом месте п-арную операцию.
В данной статье изучается связь между порождающими множествами п-арной группы и порождающими множествами группы, к которой приводима данная п-арная группа согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу.
В первой части статьи описывается процесс, который позволяет, зная порождающее множество группы, к которой приводима данная п-арная группа в соответствии с указанной теоремой, находить порождающее множество самой п-арной группы. Доказано, что если группа (А, оа), полученная с помощью элемента а из п-арной группы (А, [ ]) по теореме Поста-Глускина-Хоссу, порождается множеством М, то п-арная группа (А, [ ]) порождается множеством М и {а}.
п-Арная группа (А, [ ]) называется производной от группы А, если
[а1а2 • • • ап] — а1а2 • • • ап
для любых а1, а2,..., ап € А. Найдены условия, при выполнении которых порождающие множества группы и п-арной группы, производной от этой группы, совпадают. Доказано, что п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о) с единицей е и порождающим множеством М, также порождается множеством М, если
С1 о С2 о ... о Ст(п-1)+1 — е
для некоторых с1, с2, ..., ст(п-1)+1 € М, т ^ 1. Отсюда выводится следствие: п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о) конечного периода т(п — 1) + 1 ^ 3 с порождающим множеством М, также порождается множеством М. В частности, п-арная группа (А, [ ]), производная от циклической группы (А, о) порядка т(п — 1) + 1 ^ 3, является циклической и порождается тем же элементом, что и группа (А, о).
Приведены несколько примеров нахождения порождающих множеств для п-арных групп.
Во второй части статьи изучается обратная задача нахождения порождающих множеств бинарных групп, если известны порождающие множества n-арных групп, из которых данные бинарные группы получаются (согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу). Доказано, что группа (A, оа), полученная с помощью элемента а из n-арной группы (A, [ ]) с порождающим множеством М, порождается множеством М L) {d = [a. „ а]}, если
n
для автоморфизма /3(ж) = [ажаа_^_а] группы (А, оа) выполнено условие
n—3
Mfi = {[аМаа^а]} С М. (1)
n— 3
Из этого имеем следствие: пусть n-арная группа (A, [ ]) порождается множеством M, удовлетворяющим (1) для некоторого a € M. Тогда:
1) группа (A, оа) порождается множеством (M\{a}) U {d};
2) если a - идемпотент в (A, [ ]), то группа (A, оа) порождается множеством M\{a}.
В конце работы описаны порождающие множества бинарных групп (A, оа), найденные исходя из известных порождающих множеств n-арных групп (A, [ ]) с непустым центром Z(A).
Ключевые слова: n-арная группа, порождающие множества, автоморфизм.
GENERATING SETS OF THE N-ARY GROUPS
A. M. Gal’mak (Mogilev), N. A. Shchuchkin (Volgograd)
Abstract
Definition of n-ary group is obtained from the definition of group by replacement of associative and reversible binary operation on n-ary associative operation, uniquely reversible at each site.
In this paper we study the connection between the generating sets n-ary group and the generating sets the group to which reducible given n-ary group, according to Post - Gluskin - Hossu theorem.
In the first part of the article describes the process that allows knowing the generating set of the group to which this is reducible n-ary group in accordance with this theorem, find a generating set of the most n-ary group. We prove that if the group (A, оа), obtained by an element a of n-ary group (A, [ ]) in accordance with Post-Gluskin-Hossu theorem, generated by a set M, then n-ary group (A, [ ]) generated by a set M U {a}.
n-Ary group (A, [ ]) called derived of group A, if
[a1a2 . . . an] — a1a2 • • • an
for any a1, a2,..., an € A. Found conditions under which generating sets the group and n-ary group, derived of this group, are identical. We prove that the
n-ary group (A, [ ]), derived of group (A, о) with identity e and generating set M, is generated by a set M too, if
Cl о c2 о ... о Cm(n—1)+1 — e
for some c1, c2,..., cm(n—1)+1 € M, m ^ 1. From this we deduce corollary: n-ary group (A, [ ]), derived of group (A, о) finite period m(n —1) + 1 ^ 3 with generating set M, is generated by a set M too. In specifically, n-ary group (A, [ ]), derived of cyclic group (A, о) of order m(n — 1) + 1 ^ 3 is cyclic and is generated by the same element that group (A, о).
Are a few examples of finding generating sets for n-ary groups .
In the second part we study the inverse problem of finding generators sets of binary groups, if we know the generating sets of n-ary groups from which this binary groups are obtained (according to the Post-Gluskin-Hossu theorem). Proved that the group (A, оа), obtained by an element a of n-ary group (A, [ ]) with generating set M, generated by the set M U {d = [a^a]},
n
if the automorphism (5{x) = [axaa^a} of group (A,oa) is satisfied
n— 3
M13 = {[aMaa_^a]} С М. (2)
n— 3
From this we have the corollary: let n-ary group (A, [ ]) generated by a set M, satisfying (2) for some a € M. Then:
1) the group (A, оа) generated by the set (M\{a}) U {d};
2) if a - idempotent in (A, [ ]), then the group (A, оа) generated by the set M \{a}.
At the end of the work described generating sets of binary groups (A, оа), found from the known generating sets of n-ary groups (A, [ ]) with nonempty center Z(A).
Keywords: n-ary group, generatjngs sets, automorphism.
1. Введение
Напомним некоторые понятия и результаты из теории n-арных групп, используемые в данной работе.
Первое определение n-арной группы, принадлежащее В. Дернте [1], получается из определения группы заменой ассоциативной и обратимой слева и справа бинарной операции на ассоциативную и обратимую на каждом месте n-арную операцию.
На практике иногда удобно пользоваться определениями n-арной группы, отличными от определения В. Дернте. Некоторые из таких определений собраны в следующей теореме.
Теорема І. Для универсальной алгебры {A, [ ]) с ассоциативной n-арной операцией [ ] следующие утверждения эквивалентны:
1) {A, [ ]) — n-арная группа;
2) (E. Post [2], 1940) для любых al;..., an, b Є A в A разрешимы уравнения
[xa2 ... an] = b, [al... an—ly] = b;
3) (E. Post [2], 1940) для любых al;..., ai-l, ai+l,..., an, b Є A и некоторого i Є {2,..., n — 1}, где n ^ 3, в A разрешимо уравнение
[al . . . ai— 1 xai+1 . . . an] b;
4) (А.Н. Скиба, В,И. Тютин [3], 19S5) для любых a,b Є A в A разрешимы уравнения
[xq_^o\ = b, [Q_^ary\ = b;
n- l n- l
б) (А.Н. Скиба, В,И. Тютин [3], 19S5) для любых a, b Є A и некоторого
i Є {2,..., n — 1}, где n ^ 3, в A разрешимо уравнение
[ff a,xg, a} = 6;
i- l n- i
6) (A.M. Гальмак [4], [б], 1991) для любых a, b Є A в A разрешимы уравнения
[xi ... xn—1a] = b [ayl... yn—1] = b
с n — І неизвестными;
7) (A.M. Гальмак [4], [б], 1991) для любых a, b Є A в A разрешимо уравнение
[axl... xn—2a] = b с n — 2 неизвестными, где n ^ 3.
Многочисленные другие определения n-арной группы других авторов имеются в [5].
Соглавно В. Дернте [1], элемент e n-арной группы {A, [ ]) называется единицей, если для любого x Є A и любого i = 1, 2,..., n верно
[е^еже_^е] = X.
i— l n— i
Это определение обобщает на n-арный случай определение единицы группы A как элемента e Є A такого, что xe = ex = x для любого x Є A. В. Дернте определил еще один n-арный аналог единицы группы [1]. Элемент e n-арной группы (А, [ ]) называется идемпотентом, если [£^^3] = е. Ясно, что единица
n
n-арной группы является идемпотентом.
Еще одним п-арным аналогом единицы группы является понятие нейтральной последовательности. Последовательность е1... е&(п_і), где к ^ 1, элементов п-арной группы (А, [ ]) называется нейтральной [2], если
[хе1 . . . ек(п_1)] [е1 ... ек(и—1)х] х
для любого X Є А.
Элемент Ь п-арной группы (А, [ ]) называется косым [1] для элемента а Є А, если
[а аЪа а] = а
І—1 П_І
для любого і = 1, 2,..., п. Обозначают Ь = а. Очевидно а является решением уравнения
а] = а
І—1 П_І
для фиксированного і = 1, 2,...,п и определяется однозначно. Кроме того, последовательность
а аао^^а
І— 1 П — І— 1
является нейтральной для любого і = 1, 2,...,п — 1. Понятно, что любой идем-потент п-арной группы совпадает со своим косым элементом.
Последовательность в элементов п-арной группы (А, [ ]) называется обратной [2] к последовательности а элементов из А, если последовательности ав и ва являются нейтральными. Для любой последовательности а элементов парной группы существует обратная последовательность в. Причем, обратная последовательность, длина которой больше единицы, определяется неоднозначно.
п-Арная группа (А, [ ]) называется производной [1] от группы А, если
[а1а2 ... а„] = а^ ... а„
для любых а1, а2,..., ап Є А. В. Дернте установил [1], что п-арная группа является производной от группы тогда и только тогда, когда она обладает единицей.
Зафиксируем в п-арной группе (А, [ ]) элемент а и обратную для него последовательность а1... ап—2. Определим на множестве А бинарную операцию
X оа у = [ха1 ...а„_2у], (3)
отображение
в(х) = [аха1... ап—2] (4)
и положим
сі = [а..^]. (5)
Легко проверяется, что (А, оа) — группа с единицей а. Для любого х € А обратный элемент х-1 в группе (А, оа) определяется равенством
х~1 = [ахх . „ жа],
п—3
в частности, ^—1 = а.
При задании операции оа в качестве обратной последовательности а1 ... ап—2 можно взять любую из последовательностей
а^сьаа^а,, г = 1, 2,..., п — 2.
г—1 п—г—2
Если же а — идемпотент, в частности, единица п-арной группы (А, [ ]), то в качестве обратной последовательности а1... ап—2 можно взять последовательность д,.. .ау При этом (1) — (3) принимают вид
п— 2
х °а У = [ха^С1у\, (3(х) = [аха^а\, с1 = а.
п— 2 п— 2
п-Арная группа (А, [ ]) называется полуциклической [6], если группа (А, оа) является циклической.
Если (А, [ ]) - п-арная группа, М С А, то пересечение всех п-арных подгрупп из (А, [ ]), содержащих множество М, называют п-арной подгруппой, порожденной множеством М и обозначают ((М), [ ]).
Теорема 2. [6] Если (А, [ ]) - п-арная группа (п ^ 3), М С А, М = 0, то (М) = {[«1 - - - ак(,п_ 1)+1] | щ Е М и М, к = 0,1,...}, где М = {а \ а е М}.
Согласно Э. Посту [2], группа О называют обертывающей для п-арной группы (А, [ ]), если множество А порождает О, а п-арная операция [ ] связана с бинарной операцией в группе О равенством
[а1а2 ... ап] = а1а2 ... ап, а1, а2,..., ап € А.
Последнее равенство означает, что п-арная операция [ ] совпадает на множестве А с п-арной операцией, производной от операции в группе О. Подмножество
Ао = {а1а2 ... ап—1 | а1, а2,..., ап—1 € А}
является нормальной подгруппой в О [2] и называется соответствующей группой для п-арной группы (А, [ ]).
Ниже будем использовать прямую и обратную теоремы Поста-Глускина-Хоссу.
Теорема 3. (Э. Пост [2], Л.М. Глускин [7], М. Иоввги [8]) На всякой пиарной группе (А, [ ]) можно определить бинарную операцию о, отображение в, а также выбрать элемент д € А такой, что (А, о) - группа, в - ее автоморфизм и выполняются следующие условия
[х^2 ... хп] = х1 о о ... о хП" 1 о хь х2,..., хп € А (6)
д (7)
Xе" 1 = д о ж о д-1, х € А. (8)
Вместо операции о, отображения в и элемента д можно взять операцию (3), отображение (4) и элемент (5), зафиксировав в качестве обратной последовательности а1... ага_2 последовательность аа^. а.
п—3
Теорема 4. (Э. Пост [2], Л.М. Глускин [7], М. Иоввги [8]) Если элемент д группы (А, о) и ее автоморфизм в удовлетворяют условиям (7) и (8), то (А, [ ]) - п-арная группа с п-арной операцией (6).
2. Порождающие множества п-арной группы
Теорема 5. Пусть (А, [ ]) - п-арная группа, а € А. Если группа (А, оа) порождается множеством М, то п-арная группа (А, [ ]) порождается множеством М и {а}.
Доказательство. Если Ь - произвольный элемент из А, то
Ь = а\ Оа а2 Оа ■ ■ ■ °а 0>к = [&1 Й йгЙ . . . й @ 0.0^],
п—3 п—3 п—3
где а* € М и М—1, г = 1, 2,..., к. Так как в группе (А, оа) обратный элемент х—1 для элемента х € А имеет вид
х-1 = [аж^с х,а],
п— 3
то Ь совпадает с результатом применения п-арной операции [ ] к элементам из множества
(М и {а}) и (Ми {а}).
Согласно теореме 2 это означает, что Ь принадлежит п-арной подгруппе, порожденной множеством М и {а}. А так как элемент Ь выбран в А произвольно, то п-арная группа (А, [ ]) порождается множеством М и {а}. Теорема доказана. □
Если (А, о) - группа, в -ее автоморфизм, д Е А и выполнены равенства
дв = д, хв" 1 = д о х о д-1
для любого х Е А, то, согласно теореме 4, (А, [ ]0,в,^) - п-арная группа с п-арной операцией
[а 102 ... ап]овА = аг о о ... о а^ ◦ д.
Легко проверяется, что операция о совпадает с операцией ое, где е - единица группы (А, о). Поэтому из теоремы 5 вытекают
Следствие 1. Пусть группа (А, о) с единицей е порождается множеством М. Тогда п-арная группа (А, [ ]0,р,й) порождается множеством Ми{е}.
Следствие 2. Пусть группа (А, о) с единицей е порождается множеством М. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), порождается множеством М и {е}.
Замечание 1. Известно [6], что если в п-арной группе (А, [ ]) зафиксировать элемент а, то соответствующую группу А0 можно представить в виде
Ао = {Ол^ид^а) | и € А},
п—2
где ОА - отношение эквивалентности Поста. Легко проверяется, что
1(ид а) = в а ([ай у, . „ ца\ д. а).
п-2 п-3 п-2
Теорема 6. Пусть (А, [ ]) - п-арная группа, а Е А, М С А. Если соответствующая группа А0 порождается множеством {^(и^а) | и Е М},
п- 2
то п-арная группа (А, [ ]) порождается множеством М и {а}.
Доказательство. Если Ь - любой элемент из А, то элемент 9а(Ъ а... а) из
А0 может быть представлен в виде
п2
6а(Ъд_^а) = ОА^сцд^^а) ■ ■ •
п- 2 п- 2 п- 2
где а* € М и {[ай и иа\ \ и € М}, г = 1,..., к, в силу замечания 1. Тогда из
п—3
9а(Ьд_^а)9а(о) = ОА^сцд^^а) ■ ■ ■ вл(а,кд_^а)ва(о)
п- 2 п- 2 п- 2
следует
би([Ьа^^а,а]) = 9а([о,1 д_^с1- ■ ■ д_^а,а\),
п 2 п 2 п 2
т.е. Ь = [а\д а,... а>к-1 д — ЦС1к\- Таким образом, Ь совпадает с результатом
га—2 га—2
применения гг-арной операции [ ] к элементам из множества (М и {а}) и (М и {а}). Согласно теореме 2 это означает, что п-арная группа (А, [ ]) порождается множеством М и {а}. Теорема доказана. □
Пример 2. Известно, что знакопеременная группа Ат является соответствующей для тернарной группы (Тт, [ ]) всех нечетных подстановок степени т ([9], пример 4.11). Так как А3 - циклическая группа, а при т ^ 4 группа Ат порождается двумя элементами, то, по теореме 6, тернарная группа (Т3, [ ]) порождается двумя элементами, а при т ^ 4 тернарная группа (Тт, [ ]) порождается тремя элементами.
Из теорем 5 и 6 вытекает
Следствие 3. п-Арная группа (А, [ ]) является конечно порожденной, если группа (А, оа) (группа А0) конечно порождена.
Следующий пример показывает, что п-арная группа (А, [ ]) может порождаться множеством, отличным от М и {а}, и даже не имеющим с ним общих элементов, где М - порождающее множество группы (А, оа).
Пример 3. Определим на циклической группе А = (Ь) порядка п — 1 ^ 3 п-арную операцию
[Ь«1 ьЯп ] = ь51+---+5п+1
Согласно лемме 2.5.25 [6] либо следствию 3 [10], (А, [ ]) - п-арная группа, в которой нет собственных, в том числе и одноэлементных, п-арных подгрупп. Следовательно, (А, [ ]) - циклическая п-арная группа, которая порождается любым своим элементом. Так как (А, [ ]) - циклическая п-арная группа, то группа (А, оа) также будет циклической. Если (А, оа) порождается элементом с, то, учитывая |А| ^ 3, элемент д, порождающий (А, [ ]), можно выбрать отличным от с и а.
Так как в рассмотренном примере 3 элемент с, порождающий группу (А, оа), порождает также и п-арную группу (А, [ ]), то из этого примера следует, что п-арная группа (А, [ ]) может порождаться и множеством М - порождающим группу (А, оа). Об этом свидетельствует также и следующее
Предложение 1. Пусть (А, о) - группа с единицей е и порождающим множеством М. Если ап = е для некоторых а из М, п ^ 3, то п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), порождается множеством М.
Доказательство. п-Арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), совпадает с (А, [ ]0,е,е), где е - тождественный автоморфизм. Тогда по следствию 2 (А, [ ]) порождается множеством М и {е}. А так как
е = ап= [а.,4], а Е М,
то, ввиду теоремы 2, (А, [ ]) порождается множеством М. Предложение доказано.
Следствие 4. Пусть группа (А, о) конечного периода п ^ 3 порождается множеством М. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается множеством М.
Следствие 5. Пусть конечная группа (А, о) порядка |А| = п ^ 3 порождается множеством М. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается множеством М.
Предложение 1 обобщается следующим образом
Теорема 7. Пусть (А, о) - группа с единицей е и порождающим множеством М. Если
С\ о С2 о ... о Ст(п—1)+1 — е
для некоторых с1,с2, ... ,ст(п-1)+1 Е М, т ^ 1, то п-арная группа (А, [ ]),
производная от группы (А, о), также порождается множеством М.
Доказательство. Так как группа (А, о) порождается множеством М, то Ь = а\ о а2 о ... о а,к = [а1£1^е,а2£1^е,.. . =
п- 2 п- 2 п- 2
= [«1 [С1 .. * Ст(п- 1)+1]... [с1 .. . Ст(п- 1)+1] «2 [с1 ... Ст(п-1)+1] . . . [с12 . . . Ст(п- 1)+1]...
4----------------V----------------' 4----------------V-----------------'
п- 2 п- 2
... [с1 ... Ст(п-1)+1] ... [с1 . . . Ст(п- 1)+1] «к]
4----------------V----------------'
п- 2
для любого Ь Е А, где, ввиду равенства с-1 = [ес£^_с;е],
п-3
йг Е М и М~1 = М и {[есс^^се] | с Е М} =
п-3
= М и {[[С1С2 • • • ст(п-1)+1]с£^£[с1с2 ... ст(п-!)+!]] I С € М}.
п- 3
Таким образом, Ь совпадает с результатом применения п-арной операции [ ] к элементам из множества М и М. Ввиду теоремы 2, это означает, что гг-арная группа (А, [ ]) порождается множеством М. Теорема доказана. □
Следствие 6. Пусть (А, о) - группа с единицей е и порождающим множеством М. Если ст(п-1)+1 = е для некоторого с Е М, т ^ 1, то п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается множеством М.
Предложение 1 получается из следствия 6, если в последнем положить т = 1, п ^ 3.
Следствие 7. Пусть группа (А, о) конечного периода т(п — 1) + 1 ^ 3 порождается множеством М. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается множеством М.
Следствие 4 получается из следствия 6 или из следствия 7 при т =1, п ^ 3. Следствие 8. Пусть конечная группа (А, о) порядка
А = т(п — 1) + 1 ^ 3
порождается множеством М. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от, группы (А, о), также порождается множеством М.
Следствие 5 получается из следствия 6 или из следствия 8 при т =1, п ^ 3.
Следствие 9. п-Арная группа (А, [ ]), производная от циклической группы (А, о) порядка т(п — 1) + 1 ^ 3, является циклической и порождается тем же элементом, что и группа (А, о). В частности, таковой будет п-арная группа, производная от циклической группы порядка п.
Пример 4. Проиллюстрируем следствие 9 на примере. Так как
7 = 1(7 — 1) + 1 = 2(4 — 1) + 1 = 3(3 — 1) + 1,
то полиадические группы арностей 3, 4 и 7, производные от циклической группы
Z7 = {е, а, а2, а3, а4, а5, а6}
порядка 7 с единицей е и порождающим элементом а, будут циклическими, порождаемыми тем же элементом а, что и группа Z7.
Для наглядности установим соответствие между полиадическими степенями тернарной группы ^7, [ ]) и степенями группы Z7^.
а[0] = а, а[1] = а3, а[2] = а5, а[3] = е, а[4] = а2, а[5] = а4, а[6] = а6.
Аналогично получаются соответствия между полиадическими степенями 4-арной группы ^7, [ ]) и степенями группы Z7^.
а[0] = а, а[1] = а4, а[2] = е, а[3] = а3, а[4] = а6, а[5] = а2, а[6] = а5,
и между полиадическими степенями 7-арной группы ^7, [ ]) и степенями группы Z7^.
а[0] = а, а[1] = е, а[2] = а6, а[3] = а5, а[4] = а4, а[5] = а3, а[6] = а2.
Предложение 2. Полуциклическая п-арная группа порождается двумя элементами.
Доказательство. Если (А, [ ]) - полуциклическая п-арная группа, то (А, оа) - циклическая группа для любого а Е А, порождаемая некоторым элементом Ь, отличным от единицы а группы (А, оа). Тогда по теореме 5 п-арная группа (А, [ ]) порождается множеством {а,Ь}. Предложение доказано. □
Аналогичный факт был доказан для абелевых полуциклических п-арных групп в [11] следствия 1 и 2.
В связи с предложением 2 возникает вопрос: будет ли всякая 2-порожденная п-арная группа полуциклической, то есть верно ли обращение предложения 2? Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующее
Предложение 3. Пусть не циклическая группа (А, о) с единицей е порождается двумя элементами и пусть ап = е, где а - один из порождающих элементов. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается двумя элементами, но не является полуциклической.
Доказательство. По предложению 1 п-арная группа (А, [ ]) порождается двумя элементами. Предположение о полуцикличности п-арной группы (А, [ ]) влечет за собой цикличность группы (А, ое) = (А, о), что противоречит условию предложения. Следовательно, п-арная группа (А, [ ]) не является полуциклической. Предложение доказано. □
Следствие 10. Пусть не циклическая группа (А, о) конечного периода п ^ 3 порождается двумя элементами. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается двумя элементами, но не является полуциклической.
Следствие 11. Пусть конечная не циклическая группа (А, о) порядка п ^ 3 порождается двумя элементами. Тогда п-арная группа (А, [ ]), производная от группы (А, о), также порождается двумя элементами, но не является полуциклической.
Так как в тернарной группе отражений (Вп, [ ]) правильного п-угольника [3] все элементы являются идемпотентами, то она не является циклической, а так как ее соответствующая группа является циклической порядка п, то она является полуциклической. Поэтому из предложения 2 вытекает
Следствие 12. Тернарная группа отражений (Вп, [ ]) правильного п-уголь-ника порождается двумя элементами.
Замечание 2. Так как
Вп = {Ь,Ьс,...,Ьсп-1} = {Ь1,Ь2,...,Ьп}
и Ьсг = сп-гЬ [9], то, учитывая нейтральность последовательности ЬЬ, получим
[Ь2^1&2 • - ЬгЬэ] = \bcbbc. „ ЬЬс] = Ъс?+1 = Ъ^+2, = 1,..., п — 2.
.7 3
Таким образом, все элементы Ь3,... ,Ьп с помощью тернарной операции [ ] выражаются через элементы Ь1 и Ь2. Следовательно, в качестве порождающих элементов тернарной группы (В,п, [ ]) можно выбрать элементы Ь и Ьс.
Приведем несколько примеров нахождения порождающих множеств для парных групп.
Пример 5. Так как диэдральная группа Бп определяется соотношениями [12]
вп = г2 = (вт)2 = е,
то, применив к соотношению вп = е следствие 6 при т =1, видим, что парная группа, производная от группы Оп, порождается теми же элементами в и т, что и группа Оп.
Аналогично полагая в соотношении (вт)2 = е
с1 = в, с2 = г, с3 = в, с4 = г
и применяя теорему 7 при т = 1 , видим, что 4-арная группа, производная от группы Оп, так же порождается элементами в и т.
Так как из соотношения т2 = е вытекает соотношение г1 = е для любого четного I, то по следствию 6 полиадическая группа любой четной арности, производная от группы Оп, так же порождается элементами в и т.
Заметим, что для арности 2п последний факт вытекает и из следствия 5.
Пример 6. Так как среди соотношений, определяющих симметрическую группу Бп [12], имеются соотношения
тп = (тт1)п-1 = (г1г-1г1г)3 = е,
где т = (123.. .п), т1 = (12) - порождающие элементы группы Бп, то по теореме 7 полиадические группы арностей п, 2(п — 1) и 12, производные от группы Бп, порождаются элементами г и т1.
Если в качестве порождающих группы Бп взять элементы
г 1 = (12), Г2 = (23),..., Гп-1 = (п — 1п),
то среди соотношений , определяющих Бп [12], имеются соотношения
(тгГг+1)2 = е, 1 ^ г ^ п — 2.
Поэтому по теореме 7 4-арная группа, производная от группы Бп, порождается элементами г1,г2, ..., тп-1.
Если в качестве порождающих группы Бп взять элементы
в1 = (1п), в2 = (2п),..., вп-1 = (п — 1п)
и положить вп = в1, то среди соотношений , определяющих Бп [12], имеются соотношения
(вгвг+1)3 = (вгвг+1вгв^-)2 = е; ] = 1, 2,...,п — 1, ] = г, г + 1.
Поэтому по теореме 7 6-арная и 8-арная группы , производные от группы Бп, порождаются элементами в1, в2,..., вп-1.
Ввиду следствия 5, п!-арная группа, производная от Бп, порождается любым из выше указанных наборов элементов.
Пример 7. Знакопеременная группа Ап порождается элементами и = (12)(г + 1г + 2), г = 1, 2,...,п — 2 и среди соотношений, определяющих Ап [12], имеются соотношения
= (tj-1tj)3 = е, 1 ^ ^ п — 2,
(tгtj)2 = е, 1 ^ г < ] — 1, ] ^ п — 2.
Поэтому по теореме 7 полиадические группы арностей 3, 4 и 6, производные
от группы Ап, порождаются множеством {и1,и2,............,ип-2}.
Если в качестве порождающих группы Ап взять элементы
иг = (гп — 1п), г = 1, 2,... ,п — 2,
то среди соотношений , определяющих Ап [12], имеются соотношения
^ = ... = ^-2 = ("гЦ)2 = е; 1 ^ г<з ^ п — 2
Поэтому по теореме 7 тернарная и 4-арная группы, производные от группы Ап, порождаются множеством {и1, и2,..., ип-2}.
При нечетном п ^ 4 группа Ап порождается элементами
и = (34 ...п), V = (123),
а при четном п ^ 4 — элементами
т = (12) (34 ...п), V = (123),
причем имеются соответствующие соотношения
ип-2 = V3 = Мп = е,
Поэтому по теореме 7 при нечетном п ^ 4 полиадические группы арностей 3, п — 2 и 2п, производные от группы Ап, порождаются элементами и и V, а при четном п ^ 4 полиадические группы арностей 3, п — 2 и 2(п — 1), производные от группы Ап, порождаются элементами т и V.
Ввиду следствия 5, (п!/2)-арная группа, производная от Ап, порождается любым из указанных выше порождающих множеств.
Пример 8. Унимодулярная группа М2 всех целочисленных матриц второго порядка с определителем ±1 порождается элементами
и среди соотношений, определяющих М2 [12], имеются соотношения
тогда по следствию 6 полиадическая группа любой четной арности, производная от группы М2, порождается элементами К1,К2, и К3.
Замечание 3. В приведенных примерах для конкретных п могут существовать полиадические группы, производные от соответствующих бинарных групп, арность которых отлична от указанных арностей в примерах. Например, в примере 6 для конкретных п могут существовать полиадические группы, производные от группы Бп, порождаемые г и г1, арность которых отлична от п, 2(п — 1), 4, 8.
Для п =17 имеем
Поэтому по следствию 6 полиадические группы арностей 3, 5, 9 и 17, производные от группы Б17, порождаются элементами г и г1.
3. Порождающие множества группы {А, оа)
Предложение 4. Если п-арная группа {А, [ ]), производная от группы {А, о), порождается множеством М, то группа {А, о) также порождается множеством М.
Доказательство. Так как п-арная группа {А, [ ]) порождается множеством М, то
Я2 = Л2 = д3 = е,
17 = 1(17 — 1) + 1 = 2(9 — 1) + 1 = 4(5 — 1) + 1 = 8(3 — 1) + 1.
Ь = [а1а2 ... ат(п-1)+1 ] = а1 о а2 о ... о ат(п-1)+1
для любого Ь € А, где 6 Ми М. Если а* € М, то есть а* = с для некоторого с Е М, то из
[с£^с] = с оро ... одо с = с
п 1 п 2
получаем с = р 1 о ... о с Таким образом, Ь совпадает с результатом примене-
„-1 „ „ _-1 'С
п—2
Г-1
ния операции о к элементам из множества М и М . Это означает, что группа {А, о) порождается множеством М. Предложение доказано. □
Предложение 4 можно обобщить, доказав предварительно лемму.
Лемма 1. Пусть {А, [ ]) - п-арная группа, а, с Е А,
/3 = [аха, с1 =
п- 3 п
- автоморфизм и элемент из теоремы Поста-Глускина-Хоссу. Тогда
1) с1~1 = а;
2) с13 = [аса£_^з];
п- 3
св)—1 — (с-1)в —
3) (сг) = (с у = [аас£^_^];
п—3
4) (С*)—1 = (с-^;
5) с = й-1 оа (с^ ) —1 оа ... оа (св)—1 = й-1 оа (с-У" оа ... оа (с-1)в.
Доказательство. 1) Как отмечалось во введении, равенство й-1 = с следует из равенства вГ1 =
п-3
2) Так как
\\aca(1. ^. а] £? ■ ■ ■ с?] = [[аса^^^з] [асад^^... [аса^а,]] =
п- 3 п- 1 п- 3 п- 3 п- 3
4------------V------------'
п- 1
= [асс^_са а^а\ = {асаа^а} = с13,
п- 1 п- 3 п- 3
то верно второе равенство.
3) Так как
(с^)-1 = [ас^р^ . „ с?,а] =
п- 3
= [а[асао^_а\ [асад^^а^... [асад а] а] = [аас^^^с],
п- 3 п- 3 п- 3 п- 3
4-----------V------------'
п- 3
(с~1У = [а[асс^_са]а а^а\ = [аасс^с],
п 3 п 3 п 3
то верно третье равенство.
4) Так как
(свк)-1 = ((свк-1 )в)-1 = ((свк-1)-1)в = (((свк-2 )в )-1)в = = (((свк-2)-1)в )в = ((свк-2)-1)в2 = ... = (с-1)вк,
то верно четвертое равенство.
5) Так как [с£^^] = с, то, применяя теорему Поста-Глускина-Хоссу и 4),
п- 1
получаем
в в"-2 1
со а св о а . . .о а св Оа й О а с = с,
откуда с = (св оа ... оа св оа й) 1 = й 1 оа (св ) 1 оа ... оа (св) 1 =
= й-1 оа (с-У"-2 оа ... оа (с-1)в.
Таким образом, верно пятое равенство. Лемма доказана. □
Теорема 8. Пусть п-арная группа {А, [ ]) порождается множеством М, в - тот же автоморфизм, что и в лемме 1,
М13 = {[аМаа^а]} С М (9)
п-3
для некоторого а Е А. Тогда группа {А, оа) порождается множеством
ми{(1=
п
Доказательство. Если Ь - произвольный элемент из А, то по теореме 2
Ь [а1а2 . . . ат(п-1)+1],
где щ Е М и М. Тогда по теореме Поста-Глускина-Хоссу
I. в в"-1 Л в в"-1 7
Ь = а1 оа а2 оа ... оа ап оа й оа ап+1 оа ... оа а£(п-1)+1 оа й оа ...
... оа а(т-1)(п-1)+2 оа ... оа ат(п-1)+1 оа й. (10)
Если щ € М, то ввиду (9), а? Е М^ С М. Если же щ € М, то есть щ = с*
для некоторого сг Е М, то ввиду 5) леммы 1,
Сг = й-1 оа (св" 2 )-1 оа ... оа (св)-1, откуда, с учетом (9), следует
Сг Е й-1 оа М-1 оа ... оа М-1 .
“V™
п2
Тогда, учитывая 4) леммы 1, а также то, что в - автоморфизм группы (А, оа) и 1е = 1, получаем
п—2
Это означает, что Ь совпадает с результатом применения операции оа к элементам из множества (М и |^}) и (М— 1 и |^}). Следовательно, группа {А, оа) порождается множеством М и {д = [а ... а]}. Теорема доказана. □
Если а - идемпотент п-арной группы (А, [ ]), то 1 = а. Так как а - единица группы (А, оа), то из теоремы 8 вытекает
Следствие 13. Пусть п-арная группа (А, [ ]) порождается множе-
ством М, удовлетворяющим (9) для некоторого идемпотента а Е А. Тогда группа (А, оа) порождается множеством М.
Следствие 14. Пусть п-арная группа (А, [ ]) порождается множе-
ством М, удовлетворяющим (9) для некоторого а Е М. Тогда:
1) группа (А, оа) порождается множеством (М\{а}) и {1};
2) если а - идемпотент в (А, [ ]), то группа (А, оа) порождается множеством М\{а}.
Согласно предложению 3, существуют 2-порожденные п-арные группы, не являющиеся полуциклическими. Однако имеет место
Предложение 5. Если п-арная группа (А, [ ]) порождается двумя элементами а и Ь. пюичем а - идемпотент. \аЪа.. .а\ = Ь. то (А. \ 1) - полуцик-
то есть множество М = {а,Ь}, порождающее (А, [ ]), удовлетворяет (9). Применяя 2) следствия 14, заключаем, что группа (А, оа) порождается элементом Ь, то есть является циклической, откуда следует полуцикличность п-арной группы (А, [ ]). Предложение доказано. □
п—2
п— 2
Таким образом, установлено, что в (10) либо ав Е М, либо
п
Замечание 4. Условие [аЬд_^а\ = Ь из предложения 5 является необхо-
п— 2
димым для полуцикличности п-арной группы (Л, [ ]), но не является достаточным. Например, в тернарной группе (Вп, [ ]), которая является полуцик-
лической и порождается элементами Ъ1 = Ъ и Ь2 = Ъс, отмеченное условие из
предложения 5 не выполняется, так как
[Ъ1Ъ2Ъ1] = [ЪЪсЪ] = сЪ = Ъс2 = Ъ2,
Ъ2Ъ1Ъ2] = [ЪсЪЪс] = Ъс2 = Ъ1.
Если п-арная группа (Л, [ ]) является производной от группы
(Л, о) = (Л, ое),
то единица е группы (Л, о) является единицей и в (Л, [ ]). Поэтому выполняется условие (9), откуда и из следствия 14 вытекает предложение 4.
Из следствия 13 и 2) следствия 14 вытекает
Следствие 15. Если п-арная группа (Л, [ ]), производная от группы (Л, о), порождается множеством М, содержащим единицу е группы (Л, о), то группа (Л, о) порождается множеством М\{е}.
Теорема 9. Пусть п-арная группа (Л, [ ]) с непустым центром Z(Л) порождается множеством М, а Е Z(Л), с Е Л. Тогда
1) группа (А, оа) порождается множеством М и {с1 = 3]};
п
2) группа (Л, ос) порождается одним из двух указанных ниже множеств
[сад^О'М] и {[с^^з]},
п—3 п—1
[Мао^^О'С] и {[^^зс]}.
п— 3 п— 1
Доказательство. 1) Так как а Е Z(Л), то
[аМаа_^а] = [Мааа^а\ = М,
п— 3 п— 3
то есть выполняется условие (9). По теореме 8 группа (Л, оа) порождается множеством ми{(1=
п
2) По следствию 2.2.15 из [2] отображения
х —> [саа^О'Х], х —>• [хаа^сьс]
п— 3 п— 3
являются изоморфизмами группы (А, оа) на группу (А, ос). Поэтому группа {А, ос) порождается множеством
[саа^сьМ] и {[са а^а^а^а}]} = [саа^сьМ] и {[са^^а,]}.
п—3 п—3 п п—3 п—1
Для второго множества проверка осуществляется аналогично. Теорема доказана. □
Из теоремы 9 и следствия 13 вытекает
Следствие 16. Пусть п-арная группа (А, [ ]) с непустым центром X(А), содержащим идемпотент а, порождается множеством М, с € А. Тогда
1) группа (А, оа) порождается множеством М;
2) группа (А, ос) порождается любым из двух указанных ниже множеств
[сао_^а,М], [Мао_^а,с].
п— 3 п— 3
Из теоремы 9 и следствия 14 вытекает
Следствие 17. Пусть п-арная группа (А, [ ]) с центром X(А) порождается множеством М, а € М П X(А). Тогда
1) группа (А, оа) порождается множеством (М\{а}) и {д};
2) если а - идемпотент в (А, [ ]), то группа (А, оа) порождается множе-
ством М\{а}.
4. Заключение
Изучен процесс нахождения порождающих множеств п-арных групп, зная порождающие множества групп, которые получаются из п-арных групп по теореме Поста-Глускина-Хоссу, и порождающие множества соответствующих групп.
Найдено условие, при выполнении которого порождающие множества группы и п-арной группы, производной от этой группы, совпадают. В частности, установлена цикличность п-арной группы, производной от циклической группы порядка т(п — 1) + 1 ^ 3.
Приведены несколько примеров нахождения порождающих множеств для п-арных групп.
Кроме того, изучен процесс нахождения порождающих множеств бинарных групп, зная порождающие множества п-арных групп, из которых получаются бинарные группы по теореме Поста-Глускина-Хоссу.
Описаны порождающие множества бинарных групп, которые получаются (согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу) из п-арных групп с непустым центром.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dornte W. Untersuchungen Uber einen verallgemeinerten Gruppenbegrieff // Math. Z. 1928. Bd.29, S. 1-19.
2. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48. 1940. — P. 208-350.
3. Тютин В. И. К аксиоматике п-арных групп // Докл. АН БССР, 1985. Т. 29, №8. С. 691-693.
4. Гальмак А. М. Об определении п-арной группы // Междунар. конф. по алгебре - тез. докл. - Новосибирск, 1991. — С. 30.
5. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. 2. Минск: Изд. центр БГУ, 2007. 324 с.
6. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. I. Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.
7. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Мат. сборник. 1965. Т. 68 (110), №3. С. 444-472.
8. Hosszu M. On the explicit form of n-group operacions. Publ. Math. 1963. Vol. 10. №1-4. P. 88-92.
9. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. Тернарные группы отражений. Минск: Бела-руская навука. 1998. 128 с.
10. Щучкин Н. А. Подгруппы в полуциклических п-арных группах // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, №2. С. 211-222.
11. Кусов В. М., Щучкин Н. А. Свободные абелевы полуциклические п-арные группы // Чебышевский сборник. 2011. Т. XII, вып. 2(38). С. 68-76.
12. Коксетер Г. С. М. , Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М: Наука, 1980. 240 с.
13. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. Мн: Навука i тэхшка, 1992. 245 с.
14. Щучкин Н. А. Полуциклические п—арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. №3(54). С. 186-194.
Могилевский государственный университет продовольствия,
Волгоградский государственный социально-педагогический университет. Поступило 20.02.2014
