Конечные абелевы n-арные группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 512.572

КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ n-АРНЫЕ ГРУППЫ

А. П. Богценко, Н. А. Щучкин (г. Волгоград)

THE FINITE ABELIAN n-ARY GROUPS

А. P. Boshchenko, N. A. Shchuchkin (Volgograd)

Аннотация

В работе описывается строение конечных абелевых n-арных групп.

In this paper the structure of finite abelian n-arv groups is described.

1 Введение

Теория n-арных групп относится к многочисленным алгебраическим теориям, которые являются как классическими объектами общей алгебры, так и разделами теории универсальных алгебр. Необходимость изучения таких теорий отмечал А.Г. Курош в своей книге [1], и эти теории активно изучаются в настоящее время многими математиками.

Для каждой n-арной группы имеются сопутствующие им бинарные группы (смотри [2], [3], [4]), которые помогают изучать эти n-арные группы. В настоящей работе используются строения конечных абелевых групп для изучения конечных абелевых n-арных групп. Наша основная цель заключается в доказательстве изоморфизма конечной абелевой n-арной группы и прямого

n

циклические. Результаты, полученные в этой статье, являются важным допол-

n

2 Основные факты из теории п-арных групп

Алгебру (С, f) с п-арпой операцией f (п > 3) называют п-арной группой ([2]), если в ней выполняется обобщенный закон ассоциативности

У (У (а1, • • • , ап), ап+1, • • • , а2п-1)

= У(аЬ • • • , Яг, У(йг+1, • • • , Яг+п), Яг+п+1, • • • , «2п-1) для всех г = 1, • • •, п — 1 и разрешимы каждое из уравнений

У (х, а1 , • • • , ап-1) Ь У (а1 , • • • , ап-1, у) Ь

для любых а1, • • •, ап-1, Ь из С, Более подробно с теорией п-арных групп можно познакомиться в работах [6], [7].

п

Глускина-Хоссу ([3], [4]) показано, что на любой п-арной группе (С, У) можно определить бинарную операцию • по правилу а • Ь = У (а, с1, • • •, сп-2, Ь), где с1, • • •, сп-2 — фиксированные элементы из С, так> чт0 (С, •) будет группой. Кроме того, существует автоморфизм ^ группы (С, •), действующий по правилу <^(ж) = У (с, х, с1, • • •, сп-2), где с — обратный элемент для последовательности с1, • • •, сп-2 в п-арной гру ппе (С, У) (т.е, У (ж, с, с1, • • •, сп-2) = ж для любого ж € С) такой, что

У(а1, • • • , Яп) = Я1 • ^(а2) • ^2(Яз) • • • • • ^п-1(ап) • 1, (1)

где 1 = У (с, • • •, с), Для указанных автоморфизма ^ и элемента 1 выполнены

условия

<^(1) = 1; 1 • ж = ^п-1(ж) • 1, ж € С (2)

Любые две группы, построенные таким образом па п-арной гру ппе (С, У), изоморфны.

Верна и обратная теорема Глускина-Хоссу: в любой группе (С, •) для выбранных автоморфизма ^ и элемента 1 с условиями (2), задается п-арная группа (С, У), вде У действует по правилу (1). Говорят в этом случае, что (С, У) (<£, 1)-определена на группе (С, •), п

У (ж1 , • • • , жп) У (ж<г(1), • • • , ж<г(п))

для любой подстановки о € $п.

Заметим (см, [8]), что п-арная группа (С, У), (^, 1)-определенная на абелевой группе (С, •), является абелевой тогда и только тогда, когда ^ = 1с — тож-

п

групп

п

7

Теорема 1. (Следствие 17, [9]) п-Арные группы (С, У) и (С, У'), (1с,1) и (1с', 1') определенные на абелевых группах (С, •) и (С', о) соответственно, изоморфны тогда, и только тогда, когда, найдутся изоморфизм о из (С, •) в (С', о) и элемент и € С' такие, что

о(1) = ип-1 о !'• (3)

п

п

арных групп

п

пень простого числа р, назовем п-арной ргруппой, Если п-арная группа является п-арной ргруппой для некоторого простого числа р, то она называется примарной.

Теорема 2. Любая абелева, п-арная группа (С, У) порядка |С| = = Р?1 р2 2 • • • РоГ изоморфна прям,ом,у произведению

(С1,У1 )х(С2,У2)х ••• х(С*,Д) п-арных рг-групп (Сг, /¿) порядков |Сг| = р"4.

п

(С, У) порядка |С| = р^1 р22 • • • р^ строим абелеву группу (С, •), которая допускает разложение

(С1, •) х (С^2, •) х ••• х(Ск, •)

в прямое произведение СВОИХ СИЛОВСКИХ подгрупп (Сг, •), Пусть 1 = 11 • 12 • • • • • 1к, где 1г € Сг, По обратной теореме Глускина-Хоссу строим п-арпые рг-группы (Сг,Уг) (1с4, 1г)-определенные па каждой силовской подгруппе (С, •), Отображение ф : С ^ С1 х С2 х ••• х Ск, заданное по правилу

ф(#1 • #2 • ••• • ) = (£Ъ#2,••

является изоморфизмом п-арПЫХ групп (С, У) И (С1, У1) х (С2, У2) х • • • х (С, Д), так как для любых ж^- = #.д • #^-2 • • • • • € С ^ = 1, • • •, п имеем

Ф(У(ж1, • • • ,жп)) = ф(ж1 • • • • • жп • 1) =

= ф((#11 • #12 • • • • • #1к) • • • • • (#п1 • #п2 • • • • • #пк) • (11 • 12 • • • • • 1к)) = ф((#11 • • • • • #п1 • 11) • (#12 • • • • • #п2 • 12) • • • • • (#1к • • • • • #пк • 1к))

((#11 • • • • • #п1 • 11), (#12 • • • • • #п2 • • • • , (#1к • • • • • #пк • 1к))

= (У1(#11, • • • • • • , #п2) , • • • , Д (#1к, • • • ,#пк))^

Теорема доказана.

Важным дополнением к теореме 2 служит

Теорема 3. Если абелева п-арная группа (С, У) порядка |С| =

= р?1 р22 • • • рОГ изоморфна двум прямым произведениям

(С1,Л)х(С2,/2)х ,,, х(Ск,Д.), (4)

(С1,У1) х У2) х ,,, х(Ск,Д) (5)

п-арных рг-групп (СУ) и (С', У) порядков |С| = |С'| = р"\ то (СУ) = (С', Уг') для, всех г = 1, 2, • • •, к.

Доказательство. В п-арных группах (СУ) и (С, Л) с помощью фикси-с 1 , • • • , с п- 2 с 1 , • • • , с п 2 ( С , •)

(С, о) с операциями а • Ь = Уг(а, с» 1, • • •, с»п-2, Ь) и а' о Ь' = Уг'(а', с' 1, • • •, с'п-2, Ь'),

1 = У (с , • • • , с ) 1 = У (с , • • • , с ) (С , У ) (С , У )

ственно, где сг и с' — обратные элементы для последовательностей сг 1, • • •, сгп-2

И с' 1,---,С»п-2-

п

(1с1хс2х...хск, (11,12, • • • ,4)) И (1с1хс'2х...хск, (11,12, • • • ,4)) определенными на прямых произведениях групп

(С1, •) х (С2, •) х ••• х(Ск, •) (6)

и

(С1,о)х(С2,о) х ,,, х(Ск,о) (7)

п

морфизм 9 груППЫ (6) в группу (7) и элемент (и1, и2, • • • , ик) ИЗ С х С х • • • х С такие, что

9((11,12, • • • ,4)) = (<-1 о 11, иг1 о 12, • • • X-1 о 4)•

Так как конечная абелева группа раскладывается однозначно в прямое произведение своих снловскпх подгрупп, то 9 определяет для каждого г = 1, 2, • • •, к изоморфизмы 9г : (С, •) ^ (С', о), причем для любого (ж1, ж2, • • •, жк) из С1 х С2 х • • • х верно равенство

9((ж1,ж2, • • •, ж к)) = (91(ж1),92(ж2), • • •, 9^(ж*,))•

Таким образом, для всех г = 1, 2, • • •, к верны равенства 9г(1г) = ип-1 о 1', а тогда вновь по теореме 1 имеем (С, У) = (С', У'), Теорема доказана,

п

группы

п (С, У) (С, •)

построенная в теореме Глускина-Хоссу, циклическая.

Рассмотрим конечную циклическую группу (a) порядка k, Выберем тождественный автоморфизм 1 (а,) группы (a) и элемент d = a1, где 0 < l < k. Обратная теорема Глускина-Хоссу определяет полуцнклпческую n-арпую rpvnnv ((a),/) с операцией

/(asi,..., aSn ) = aSl+"'+Sn+1. (8)

n-Арпую группу, построенную на конечной циклической группе выше опи-

(k, l)

n-арпые группы являются абелевыми. Аналогичное построение n-арпых групп

k

ди полуциклических n-арпых ГруПП типа (k, l) могут быть изоморфные между собой n-арпые группы. Используя теорему 3 из [9], доказывается

Теорема 4. (Лемма 1, [8]) Две полуциклические n-арные группы 'типов (k,li) w (k,l2) изоморфны тогда и только тогда, когда, g.c.d.(li,n — 1,k) = g.c.d.(l2, n — 1, k).

Оказывается, что все полуциклические n-арные группы типа (k,l) исчерпы-

n

Теорема 5. (Теорема 2, [10]) Любая конечная, полуциклическая абелева, n k n

(k, l), где l | g.c.d.(n — 1, k).

n

n

n

не является прпмарной, то ситуация похожа на разложение циклической группы.

n

изоморфна прям,ом,у произведению примарных неразложим,ы,х полуцикличе-n ((a), /)

и-арная группа тuna (k,l), где k = p^1 Р22 .. .P^4, p% — простые числа и p = pj при i = j, то

((a),/) = ((a1 ),/1) X ((a2),/2) x ... x^J^ (9)

где ((a¿), /г) — полуциклические абелевы, n-арные группы, порядков p^, i = = 1,...,t

Доказательство. Циклическая группа (a) порядка pa1 p^2 ...pa4 имеет разложение (a1) x (a2) x ... x (at) в прямое произведение своих циклических подгрупп (a¿) порядковp"\ Пусть a = a^1 -a22•.. .-aV4. Тогда a1 = a1vi-a2V2•.. .-a^4 = ai1 • a22 •... • at4, где l¿ — остаток от деления lvj на p"¿. Строим полуциклические

n-арные группы ((a*), в (р"4, Отображение ф : (a) ^ (ai) х (a2) х ... х

(at), заданное по правилу

ф(а1х ■ а22 ■ ... ■ ast) = (ai1, а22,..., ast),

является изоморфизмом n-арных групп ((а),/) и ((а1),/1) х ((а2),/2) х ... х

((at), /t), так как для любых a’j = aiV1 ■ a2J*2 ■... ■ a’J*' G (a) j = 1,..., n имеем

ф(/(a’1,..., a’n)) = ф(а51 ■ ... ■ a’n ■ a1) =

= ф((а11"1 ■ a21V2 ■ ... ■ a’1 *') ■ ... ■

•(af*1 ■ a2n*2 ■ ... ■ a’"*') ■ (ai1 ■ a*22 ■ ... ■ at')) =

1 Lb2 . . . Lbt ) \ Lli LI2 . . . Lbt

’1*1 ~’n*1 in ^’1*2 ~’n*2 ^2^

1 • ... • ai • ai ) • (a2 * ... * a2 * a2 ,

•(a,’1*- ■ ... ■ a’-' ■ a?))

П . . . U,t

-,’1*1 „’n*1 „¿1 ^’1*2 „’n*2 „¿2 n’1*' „’n*t „it'1

¿1 * ... * ai * ai , a2 * ... * a2 * a2 , . . . , at * ... * at * at ,

(/1 (ai1*1,..., <*1), ¡2 (a21V2,..., a2"*2 ),.../ (a’1*',..., a’"*')) = = /((ai1*1, a21 *2,..., a’1 *'),..., (ai"*1, a2"*2,..., a’"*')) =

= /(фК1*1 ■ a21 *2 ■ ... ■ a’1 *'),... ^(af*1 ■ a2"*2 ■ ... ■ a’"*')) =

/ (ф^1),..., ф^**)),

где / — n-арная операция в ((a1), /1) х ((a2), /2) х ... х ((at), /t). Теорема доказана.

Аналогичный результат есть в [10] (Предложение 14) для полуциклических

n

Среди полуциклических n-ариых групп типа (k, /) фиксированного порядка k имеется одна (с точностью до изоморфизма, см, следствие 2 [10]) однопо-nn (k, 1) n

n

группа изоморфна прям,ом,у произведению примарных неразложимых циклических n-арных групп. Более точно, если, ((a),/) — циклическая n-арная группа порядка k (полуциклическая типа, (k, 1)J, где k = р^1 Р22.. .Р?', Р* — простые числа и р* = pj при i = j, то

((a),/) = ((a1 ),/1) х ((a2),/2) х ... x^OJtb

где ((a*), /*) — цикличес кие n-арные группы, порядка р"\ i = 1, 2,..., t.

Нам понадобится

Лемма 1. Если, ab = c (mod m) и b взаимно прост с т, то g.c.d.(a,m) = g.c.d.(c, m).

n

и

Доказательство. Пусть d1 = g.c.d.(a,m), d2 = g.c.d.(c,m). Из ab = c (mod m) следует m | ab — c, значит, d1 | ab — c, Ho d1 | ab,значит, d1 | c, т.е. d1 | d2. Далее, d2 | ab — c и d2 | c, тогда d2 | ab, но b взаимно прост с m, значит, d2 | a тогда d2 | d1. Лемма доказана.

Теорема 7. абелева полуциклическая n-арнш группа ((a), /) порядка | (a) | = р^1 р22 ... р“' изоморфна двум прямым произведениям

((aii./i) х <(«2),/2> х ... х <(at),/1), (10)

((Ь(),/() х ((b2),/2) х... х «ад,/) (11)

полуциклических n-арных гру пп ((a*),/*) и ((b*),/) типо в (р"4, U) и (р"4,/*)

соответственно, то ((a*), /) = ((b), /) для, всех i = 1, 2,..., t.

Доказательство. п-Арные группы (10) и (11) являются

7 7 1 ^/ ^/ ^/

(1(ах) х («2) х... х («(), (< ,а22 ,...,а*‘ ^ И (1(Ь1)х(Ь2)х...х(Ь4), ^ , Ь22 , . . . , &4‘)) ОПредеЛвН-ными на группах (а1) х (а2) х ... х (а*) и (Ь1) х (Ь2) х ... х (Ь) соответственно.

Пусть а — изоморфизм группы (а1) х (а2) х ... х (а*) в группу (Ь1) х (Ь2) х ... х (Ь), По теореме 1 в (Ь1) х (Ь2) х ... х (Ь) найдется элемент (ЬЦ1, ЬЦ2,..., ЬЦ4)

^(ai1 ,a22,..., at')) = (b^-1^1, bU2(n-1)+i'2,... ,bU'(n-1)+i‘).

В силу единственности разложения конечной циклической группы в прямое произведение примарных циклических групп изоморфизм а определяет изоморфизмы a* : (a*) ^ (b*) для всех i = 1, 2,..., t, а значит, a^a*4) = bUi(n 1)+Ч С другой стороны aj(aj) = bf4 для некоторого целого числа w*, взаимно простого с р* и 0 < w* < р"4. Тогда a^a*4) = bW^. Итак, u*(n — 1) + /* = w*/* (mod р"4) или u*(n — 1) = Wj/j — (mod р"4X значит, w*/* — делится па g.c.d.(n — 1,р“4)■ Тогда по лемме 1 имеем g.c.d. (/*, n — 1,р“4) = g.c.d.(/*,n — 1,р“4 ), т.е. ((a*),/*) = ((b),/). Теорема доказана.

Следствие 2. циклическая п-арная гру ппа, ((а),/) порядка | (а) | =

р^1 р2 2... р“‘ изоморфна двум прямым произведениям

((а,),/1) х ((а2),/2) х ... х ((а,),/1), (12)

((Ь1)./1)х((Ь2),/2) х ... х<(Ь,),Л) (13)

циклических n-арных гру пп ((a*),/*) u ((b), /) порядков | (a*) | = | (b*) | = р"% то

((a*), /) = ((b), /) для вс ex i = 1, 2,..., t.

5 Конечные абелевы примарные п-арные группы

Теорема 8. Каждая конечная, абелева, п-арная р-группа изоморфна прямому произведению полуциклических абелевых п-арных р-групп.

п

пе (С,/) порядка |С| = ра строим абелеву группу (С, •). Пусть (С, •) имеет разложение (а1) х (а2) х ... х (а*) в прямое произведение своих циклических подгрупп (а*) порядков ра% где ра = ра1 ра2... ра‘, Пусть d = а^1 • аг22 • ... • а*4.

Строим полуциклические п-арные группы ((а*),/*) типов (ра,/¿),

Отображение ф : С ^ (а1) х (а2) х ... х (а*), заданное по правилу ф^1 • а22 • ... • а«4) = (а^1, а22,..., а«4), является изоморфизмом п-арных групп (С,/) и ((а1),/1) х ((а2),/2) х ... х((а*),/*), так как для любых

. «11 . «12 . «И _ 1

где / — п-арная операция в ((а1), /1) х ((а2), /2) х ... х ((а*), /*), Теорема дока-

Следствие 3. Если р не делит п — 1, то каждая конечная абелева п-арная р-группа изоморфна прямому произведению циклических абелевых п-арных р-групп.

Доказательство. Так как д.с^.(п — 1,р) = 1, то каждая полуциклическая п-арная гру ппа ((а*),/*) тип а (ра,/¿) из доказательства теоремы 8 является циклической. Следствие доказано.

Теорема 9. Если р не делит п — 1 и абеле ва, п-арная гру ппа, (С, /) порядка ра изоморфна двум прямым произведениям

циклических п-арных гру пп ((а*),/*) и ((6-),/-) типо в (ра, /¿) и (рв, -) соответственно, то г = 5 и ((а*),/*) = ((б,),/-) при некотором, упорядочении последних.

д = а^1 • а212 • ... • а«14 е С, ^ = 1,..., п имеем

зннн.

«а1),/1) х ((а2),/2) х ... х ((аг),Л), ((61),/1) х ((62),/2) х ... х ((6,),/«)

(14)

(15)

Доказательство. п-Арные группы (14) и (15) являются

І 7 І І І І

(1(а1)х(«2)х...х(аг), (< ,«22 , . . . , а?- )) И (1(Ьі)х (Ы х...х (63), (&!А" , . . . , 6/ )) ОПрЄДЄЛЄН-

ными на группах (аі) х (а2) х ... х (аг) и (Ь) х (Ь2) х ... х (Ь«) соответственно. По теореме 1 эти группы изоморфны, а в силу единственности разложения конечной абелевой ргруппы в прямое произведение циклических р-групп Г = 5 и аг = вг Для і = 1,..., г при соответствующей нумерации последних. Тогда ((аг),/г) = ((Ьг), Л) так как любые две циклические п-арпые группы одного и того же порядка изоморфны. Теорема доказана.

При взаимной простоте п — 1 и простого числа р порядки ра1,..., раг циклических прямых множителей в (14) назовем инвариантами конечной абелевой п-арной р-группы (С, /), Если две абелевы п-ариые группы (С, /) и (С, /) имеют одинаковые инварианты, то

(С,/) = ((аі),/і)х ... х((аг),/),

(С,/) = ((Ьі),/і)х ... х((6т),/)

((*),/) = ((с)/') = ((Ь)/),

где ((сі), /') - полуциклическая п-арпая группа типа (ра, 1) и система изоморфизмов фг : ((аг), /г) ^ ((Ь), /) индуцирует изоморфизм ф : ф((жь... ,хг)) = (фі(жі),..., (хг)) между п-арными груп пами ((аі),/і) х ... х ((аг ),/г) и

((Ьі), /і) х ... х ((Ьг), /Г). Стало быть, теорема 9 гласит, что своими инвариантами п-арпая группа (С, /) определяется с точностью до изоморфизма. В частности имеет место

Следствие 4. Если р не делит п — 1, то число неизоморфных абелевых п-арных групп порядка ра равно числу Р(а) разбиений

а = аі + а2 + ■ ■ ■ + аг, 1 ^ а^ ^ а.

6 Строение конечных абелевых п-арных групп

Опираясь на теоремы 2 и 8, мы непосредственно приходим к следующему утверждению.

п

п

Из теорем 3 и 9 следует

п

п — 1

п

по одинаковому числу множителей каждого порядка.

Следствие 5. Если n — 1 и m = p^1.. .Pfcfe — взаимно простые числа, то число абелевых n-арных групп (G, f) порядка m равно Пг=1 P(аг), где P(аг) — число различных представлений числа аг в виде суммы положительных слагаемых (i = 1,..., k).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Курош А, Г, Общая алгебра. Лекции 1969-1970 уч. года. М.: Наука, 1974,

[2] Post Е, L, Poluadie groups // Trans, Amer, Math, Soe, 48 (1940), P. 208-350,

[3] Глуекии Л, M, Позиционные оперативы // Мат, сборник, T,68(110), .Y"3. 1965, С. 444-472.

[4] Hosszu M, On the explicit form of n-group operacions // Publ, Math, 1963, V.10, №1-4. P. 88-92.

[5] Dudek W, A. Remarks to Glazek’s results on n-arv groups // Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 27 (2007), P. 199-233,

n

1992.

n

ситет им. Ф. Скорины, 2003.

[8] Glazek К., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polvadie groups // Contributions to general algebra 3: Verlag Holder-Pichler-Tempsky. Wiena, 1985. P. 157-171.

[9] Dudek W, A. and Michalski J. On retrakts of polvadie groups // Demonstratio Math. 17 (1984). P. 281-301.

n

Ф. Скорины. 2009. №3(54). С. 186-194.

Волгоградский государственный социально-педагогический университет. Поступило 17.10.2011