CC BY
353. Кусов В. М. Щучкин Н. А. Свободные абелевы полуциклические n-арные группы // Чебышевский сборник. 2011. Т. XII, вып. 2(38).
4. Артамонов В. А. Свободные n-группы // Матем. заметки. 1970. Т. 8, № 4.
5. Щучкин Н. А. Взаимосвязь n—групп и групп // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, вып. 1(5).
6. Щучкин Н. А. Подгруппы свободной абелевой n-арной группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2013. Т. 6(81).
7. Shchuchkin N. A. Free semiabelian n-ary groups // Quasigroups and Related Systems. 2015. Vol. 23.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА К. М. Эминян (г. Владимир) E-mail: eminyan@mail.ru
Пусть No - множество натуральных чисел, двоичные разложения которых имеют четное число единиц, N1 = N\N0. В работе получены асимптотические формулы для количества простых чисел p, не превосходящих X и таких,что p Е Ni, p + 1 Е Nj, где i и j независимо друг от друга принимают значения 0, 1.
то
Пусть n = £k2к - представление натурального числа n в двоичной k=o
системе счисления, ек = 0,1.
Разобьем множество натуральных чисел на два непересекающихся класса следующим образом:
N0 = <j n : n Е N; ек = 0(mod2)l и
к=0
N1 = I n : n Е N; ^ ек = 1 (mod2)
I k=o
В 1967 году А. О. Гельфонд в работе [1] получил в частности теорему: для числа целых n, n ^ X, удовлетворяющих условиям n = l (modm) , n Е N0, справедлива асимптотическая формула
X
T0(X ) = 2m+O (X A),
где I и т - произвольные взаимно простые натуральные числа, Л = = 3 = 0, 792....
В статье [2] автор получил асимптотическую формулу со степенным понижением в проблеме делителей для случая, когда суммирование распространяется на множество N0.
В статье [3] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть (X) — число решений уравнения п — т = 1 в натуральных числах п, т таких, что т ^ X, п € т € N (г,3 = = 0,1).
Тогда справедливы асимптотические формулы
X X
Ео,о (X) = - + 0(1п X), ) = - + 0(1п X),
X X
Еод^) = - + 0(1п X), ) = - + 0(1п X).
В 2010 К. Маудюит и Дж. Риват [4] доказали, что плотности множеств простых чисел из классов N и N1 совпадают. Другое доказательство этого факта дал Б. Грин [5]. Указанные работы основаны на оценках специального вида тригонометрических сумм, которые как по своей силе, так и по доказательствам, представляют собой варианты принадлежащей автору оценки интеграла от модуля тригонометрической суммы специального вида из работы автора [2].
В работах [4, 5] получена асимптотическая формула для суммы
Е 1, г = 0,1. (1)
В [6] автор решил тернарную проблему Гольбаха в простых числах из класса
В настоящей статье выводится асимптотическая формула для суммы
^(X)= Е 1, г = 0,1; 3 = 0,1. (2)
Сумма (2) отличается от (1) тем, что в ней суммирование ведется по простым числам р не только принадлежащим классу но и таким, что р + 1 принадлежит классу N7.
Основным результатом статьи, продолжающей работы автора [2, 3, 6-12] является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть i,j независимо друг от друга принимают значения 0, 1.
Тогда для любого фиксированного A > 0 справедливы асимптотические формулы
Ti X Ti X
Go,o(X) = — + O(X ln-A X), Gi,i(X) = — + O(X ln-A X),
Ti X Ti X
Go,i (X ) = — + O(X ln-A X ), Gi,o(X ) = — + O(X ln-A X ),
где Li X = [2X П-.
J 2 in x
Заметим, что, как и в теореме 1, главные члены формул из теоремы 2 зависят от того, каким именно классам принадлежат p и p +1.
Библиографический список
1. Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives donnees // Acta Arith. 1968. Vol. XII.
2. Эминян К. М. О проблеме делителей Дирихле в некоторых последовательностях натуральных чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, вып. 3.
3. Эминян К. М. Об одной бинарной задаче // Матем. заметки. 1996. Т. 60, вып. 4.
4. Mauduit C, Rivat J. Sur un probleme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers // Annals of Mathematics. Second Series. 2010. Vol. 171, № 3.
5. Green B. Three topics in additive prime number theory // Current Developments in Mathematics. 2009. Vol. 207.
6. Эминян К. М. Проблема Гольдбаха в простых числах с двоичными разложениями специального вида // Изв. РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78, вып. 1.
7. Эминян К. М. О представлении чисел с заданными свойствами двоичного разложения суммами двух квадратов // Тр. Матем. Ин-та им. В.А. Стеклова. 1994. Т. 207.
8. Эминян К. М. Ь1-норма одной тригонометрической суммы // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 1.
9. Эминян К. М. Оценка дробного момента одной тригонометрической суммы // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 2.
10. Эминян К. М. Аддитивные задачи в натуральных числах с двоичными разложениями специального вида // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, вып. 1.
11. Эминян К. М. О средних значениях функции Тк (n) в некоторых последовательностях натуральных чисел // Матем. заметки. 2011. Т. 90, вып. 3.
12. Эминян К. М. Обобщенная проблема делителей с натуральными числами специального вида // Матем. сб. 2015. Т. 206, вып. 7.
ОБ АВТОМАТИЧЕСКОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫПОЛНИМОСТИ ТОЖДЕСТВ В КЛАССАХ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ Д. Г. Явкаев, Д. А. Бредихин (г. Саратов) E-mail: bredikhin@mail.ru
Алгеброй отношений называется упорядоченная пара (Ф, П), где Ф -множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними. Одним из основных направлений теории алгебр отношений является изучение их свойств, выразимых с помощью тождеств, то есть рассмотрение соответствующих многообразий порожденных различными классами алгебр отношений [1, 2].
Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул исчисления предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операций является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой [3, 4] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования.
Эквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в работах [3, 4] одного из авторов. Из этого описания, в частности, следует, что указанные теории являются разрешимыми. Однако проверка выполнимости тождеств для заданного класса алгебр отношений может представлять значительные вычислительные сложности. Это приводит к идеи реализации этой проверки с помощью компьютерной программы.
Алгебра отношений с одной бинарной операцией образует группоид отношений. Авторами предложен алгоритм, реализованный с помощью
