CC BY
3110. Эминян К. М. Аддитивные задачи в натуральных числах с двоичными разложениями специального вида // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, вып. 1.
11. Эминян К. М. О средних значениях функции Тк (n) в некоторых последовательностях натуральных чисел // Матем. заметки. 2011. Т. 90, вып. 3.
12. Эминян К. М. Обобщенная проблема делителей с натуральными числами специального вида // Матем. сб. 2015. Т. 206, вып. 7.
ОБ АВТОМАТИЧЕСКОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫПОЛНИМОСТИ ТОЖДЕСТВ В КЛАССАХ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ Д. Г. Явкаев, Д. А. Бредихин (г. Саратов) E-mail: [email protected]
Алгеброй отношений называется упорядоченная пара (Ф, Q), где Ф -множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними. Одним из основных направлений теории алгебр отношений является изучение их свойств, выразимых с помощью тождеств, то есть рассмотрение соответствующих многообразий порожденных различными классами алгебр отношений [1, 2].
Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул исчисления предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операций является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой [3, 4] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования.
Эквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в работах [3, 4] одного из авторов. Из этого описания, в частности, следует, что указанные теории являются разрешимыми. Однако проверка выполнимости тождеств для заданного класса алгебр отношений может представлять значительные вычислительные сложности. Это приводит к идеи реализации этой проверки с помощью компьютерной программы.
Алгебра отношений с одной бинарной операцией образует группоид отношений. Авторами предложен алгоритм, реализованный с помощью
компьютерной программы по автоматической проверки выполнимости тождеств в классе группоидов отношений с заданной диофантовой операцией. Исходными данными для работы программы является вид формулы, задающий эту операцию и термы, являющиеся левыми и правыми частями проверяемого тождества. С помощью этой программы, в частности, удалось получить автоматическое доказательство необходимых условий результатов работ [6-9].
Библиографический список
1. Tarski A. On the calculus of relations //J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4.
2. Jonsson B. Varieties of relation algebras // Algebra universalis. 1982. Vol. 54.
3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360.
4. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофанто-выми операциями // Сибирский матем. журн. 1997. № 1.
5. Boner F., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7.
6. Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids assosiated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44, № 1.
7. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1.
8. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений с диофан-товыми операциями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2.
9. Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrification // Algebra universalis. 2015. Vol. 73.
ON HOMOMORPHISMS OF ORDERED RINGS E. E. Shirshova (Moscow) E-mail: [email protected]
Suppose G is an additive partial ordered (po-) group [1], and a > 0 in G. An element b £ G is said to be infinitesimal with respect to a (b << a) if nb < a is correct for each integer n > 0.
A ring R =< R, +, •, <> is called a right (left) K-ring if < R, +, <> is
