Аддитивные задачи в натуральных числах с двоичным разложениями специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина

Том 12 Выпуск 1 (2011)

УДК 511

АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ С ДВОИЧНЫМИ РАЗЛОЖЕНИЯМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

К. М. Эминян (г. Москва)

E-mail: [email protected]

Посвящаю памяти незабвенного Сергея, Михайловича Воронина

1 Введение

Пусть п = е0 + бі2 + ... + ек 2к - представление натурально го числа п в виде двоичной системе счисление (е^ = 0,1). Пусть N - множество натуральных чисел, чьи двоичные разложения имеют четное число 1, N = N \ М0, Пусть

, , Г 1, если п Є N0

є(п) = < Т^Т

4 ' [ — 1, если п Є М1.

В 1968 году А,О, Гельфонд [1] доказал, что числа классов М0 и N регуляр-

но распределены в арифметических прогрессиях. Более того, А,О, Гельфонд получил для любого вещественного а оценку

n<X

где А = |П| = 0, 79 ...

Эту оценку мы в дальнейшем будем называть оценкой Гельфонда,

В 1991 году автор решил задачу, поставленную перед ним С.М. Ворониным, и получил [2] асимптотическую формулу для суммы

^ т(п).

n^x, nENo

В 1996 году автор доказал следующую теорему. Пусть Fj,k (X) — число решений уравнений n — m = 1 в натуральных числах n ^ X, n G Nj, m G Nk, j, k = 0, 1,

Тогда справедливы асимптотические формулы

XX

Fo,o(X) = - + O(log X), Fi,i(X) = - + O(log X),

6 6

XX F0,1(X) = -3 + O(log X), F1,0(X) = -3 + O(log X).

jk

В настоящей статье рассматриваются две задачи, в которых указанный эффект отсутствует.

Сформулируем основные теоремы статьи.

Теорема 1. Пусть h — целое число такое, что 0 ^ h ^ 2. Пусть Ijk (X, h) - число решений уравнения n — 3m = h в натуральных числах n ^ X, n G Nj m G Nfc, гдe j, k - произвольные целые числа из отрезка [0,1]. Тогда, справедлива, асимптотическая формула

X

Ijík(X,h) = — + O(Xл), Л = 0, 79 ...

Теорема 2. Пусть l — целое число такое, что 0 ^ l ^ А. Пусть Jj,k(X) — число решений уравнения n — 5m = l в натуральных числах n ^ X, n G Nj, m G Nk, где j, k — произвольные целые числа из отрезка [0,1]. Тогда, справедлива, асимптотическая формула

X

Jj,k (X ) = — + O(Xл), Л = 0, 79 ...

Определим суммы

S3(X, h) = ^ e(n)e(3n + h), S5(X, l) = ^ e(n)e(5n + l),

n<X n<X

где Ни/ — неотрицательные целые числа.

Доказательства теорем 1 и 2 основаны соответственно на леммах 1 и 2 (см, ниже), а также на оценке Гельфонда,

2 Леммы

Лемма 1. Пусть Н — целое число такое, что 0 ^ Н ^ 2. Тогда справедлива, оценка

5з(Х, Н) = 0(^Х).

Доказательство. Группируя слагаемые, отвечающие четным и нечетным п соответственно и пользуясь очевидными равенствами е(2п) = е(п), е(2п +1) = —е(п), приходим к следующим соотношениям

5з(Х, 0) = йз (X, <>) + 5з (X• 0 + 0(1), (1)

ад,1) = — >% ( ^ — 5з ( •2^ + (2)

ад, 2) = йз (-, Л + йз ( -, 2\ + 0(1), (3)

Рассмотрим линейную комбинацию

аойз(X, 0) + войз(Х, 1) + 7ойз(Х, 2),

где ао, 70 _ константы, которые будут выбраны позже.

Пользуясь (1) - (3), имеем

аойз(Х, 0) + войз(Х, 1) + 7ойз(Х, 2) =

= ао (5з (Х,°) + 5 (Х2,1)) + А (—5з (X,0) — 5з (Х,2)) + + 1о(йз (, 1) + 5з (, 2) ) + 0( | ао | ) + 0( | во | ) + 0(| 7о | ) = = а15з (, 0^ + в15з (, ^ + 715з (, 2^ +

+ 0(|ао|) + 0(|во|) + ^То^

где

{«1 = ао — во, в1 = ао + 7о,

71 = То — во.

Повторяя это рассуждение, приходим к равенству ао5з(Х,0) + 1) + То^^^ 2) = а75з ^~, 0^ + в75з ^27, ^ +

ъ5з ^ 27, 2) + 0(|ао| +... + |а7-1|)+

+ 0(|во| + ... + |в7-1|) + 0(|7о| + ... + |7j-l|),

в котором последовательности а7-, в^ 7? связаны соотношениями

аі ві

аі+і ві+і Ті+і = 7? - ві

а,-

7?,

для любого ^ 0 ^ ^ 1о§2 X — 10,

Запишем равенства (4) в матричной форме

аі+і

ві+і

Ті+і

1 -1 0

1 0 1

0 -1 1

аі

ві

Ті

Тогда

аі

в,

Ті

= А?

а?

А І віТі

(4)

где 1 ^ ^ ^ 1og2 X — 10,

Вычислим А7 Для этого найдем собственные значения и собственные векторы матрицы А и получим равенство А = СВ С-1, где

С

1

0

1

-1

і-і/7

2

1

1

ШУ7

2

1

В

1 0 0 0 А2 0 0 0 Аз

где А2

і+гУ7 2 ’

Аз

і-г^7

2

Из этого равенства следует, что

а7-

в і I = СВ3 С Ті

і

ао

во

То

Пусть

1

0

0

или

0

1

0

или

Поскольку |А2| = |Аз| = л/2, имеем неравенства

К1 = 0(27/2), |в71 = 0(27/2), |Ъ1 = 0(27/2),

0

0

1

0

Выберем Т наименьшим натуральным числом таким, что

2J < — X.

10

Пусть, например,

ао 1

во I = I 0

. То / \ 0

тогда

5з(Х, 0) = аJX, 0^ + вJ5з(X, ^ + 7J5з (X, ^ + 0(^2 J). Теперь, оценивая суммы

5з ( Х,0) ,5з (Х, 1) ,5з (Х, 2

тривиально и пользуясь тем, что

|aJ| + |вJ| + Ь| = 0(^2 J) = 0(7Х),

получим оценку

" " 5з(Х, 0) = 0(7Х).

Аналогично получаем, что

5з(Х, 1) = 0(7Х), 5з(Х,2) = 0(7Х).

□

Лемма 2. Пусть I — целое число такое, что 0 ^ I ^ 4. Тогда справедлива, оценка

5б(Х,/) = 0(Х "),

где ^ = 0, 605 ...

Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию

ао5з(Х,0) + во5з(Х 1) + 7оSз(X, 2) + ^о^^^ 3) + во^ 4)

где ао, в^ Т^ ^о> £о _ постоянные, которые будут выбраны позже.

Подобно тому, как это сделано в доказательстве леммы 1, получаем, что

ао5з(Х, 0) + во5з(Х, 1) + 7о»(з(Х, 2) + $о5з(Х, 3) +

+ £о5з(Х, 4) = а7 5з 27, 0) + в727 , ^ ^27 , ^ +

+ ^ 5з ( 27, 3) + е75з ( 27, 4 ' +

+ 0 | ^ (|ак| + |в& | + |Тй| + ^ | + |е& 0 ) , (5)

\й=о

где 1 ^ ^ ^2 X — 10; последователи ости а7-, в7'; 7л 7 е7 связаны соотноше-

ниями:

а7+1 = а7 — в7, в7+1 = 77 — ^7,

77+1 = а7 + е7,

^7+1 = 77 — в7, е7+1 = е7 — ^7,

1 ^ ^ 1og2 X — 10.

Запишем их в матричной форме:

( аі+і \ ( 1 -10 0 0 аі

ві+і 001 -1 0 ві

7і+і = 1 0 0 0 1 7і

^7+і 0 -1 1 0 0

V %+і 000 -1 1 V % !

Компьютерные вычисления показывают, что собственные

1 -1 0 0 0 >

0 0 1 -1 0

А = 100 0 1

0 -1 1 0 0

000 -1 1

имеют вид;

Аі = А2 = 1, Аз =

(27 + 3/78)2/3 + 3

Ад = —

А5

3(27 + 3/78)і/3 ’

-(27 + 3/3/26)2/3 - 3 + /3(27 + 3/3/26)2/3 і - 3/3 і 6(27 +3/3/26)і/3 ;

(27 + 3/3/2б)2/3 + 3 + /3(27 + 3/3/2б)2/3 і - 3/3 і 6(27 + 3/3/26)і/3 '

Заметим, что с точностью до пропорциональности существует лишь один

А1 = А2 = 1

Воспользуемся известной теоремой о том, что существует базис, в котором

А

В нашем случае существует матрица С: А = СВС-1, где

В

( 1 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 А3 0 0

0 0 0 А4 0

0 0 0 0 А5 )

Поэтому

а7 \ 1 1 0 0 0 \ 7 ао

в7 0 1 0 0 0 во

77 = С 0 0 Лз 0 0 С -1 7о

¿7 0 0 0 Л4 0 ¿о

% / 0 0 0 0 Л5 / V £о )

Заметим, что матрицы С, С 1 те зависят от Поэтому, если в столбце

( ао \

во 7о ¿о

V £о )

положить однин из элементов равные 1, а остальные нулю, то в столбце

/ ао \

во

СВ7 С -1 7о

¿о

V £о )

все элементы оцениваются как О(; + |Лз|7 + |Л4|7 + |Л5|7),

Так как |Лз| = 1.521379707..., |Лд| = |Лб| < |Лз| то |а7|, |в7|, 1т?1> ^71>

|е7| = О(|Лз|7 )-

Полагая в равенстве (??) ] = 7 = [к^2 X] — 10, получаем, что для любого 0 ^ к ^ 4 справедливы неравенства

|^(Х,/)| = О (X") ,

где ^ ^ = 0.605 ... □

3 Доказательства теорем 1 и 2

Докажем теорему 1, Для любого целого к, 0 ^ к ^ 2, и для любых ^, к = 0, 1 имеем

'1 + (—1)7 е(п) \/1 + (—1)*е(3п + к)'

2

2

4

4

га<Х

га<Х

4

X (—1)j X—л , , (—l)k X—л 2nich X—/ Ч 2nicn

= т + £(») + ^Ее-~ Е ^(n)e—+

n^X c=1 n^—X+h

+ (-1)^ S— (X,h) + O(1).

Теперь теорема 1 сразу следует из очевидного равенства

^ ф) = °(1), n^X

неравенства Гельфонда и леммы 1, Любопытно отметить, что, поскольку оценка Гельфонда при а =1/3 неулучшаема, оценка остаточного члена в теореме 1 неулучшаема.

Доказательство теоремы 2 по существу совпадает с доказательством теоремы 1, Единственное различие — использование леммы 2 вместо леммы 1,

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Gelfond А,О., «Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données», Acta Arith., 13 (1968), 259-265,

[2] Эминян К,М., «О проблеме делителей Дирихле в некоторых последовательностях натуральных чисел», Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:3 (1991), 680-686.

[3] Эминян К,М., «Об одной бинарной задаче», Мат, заметки,, 60:4 (1996), 634637.

[4] Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971,

Финансовый Университет при Правительстве РФ,

Московский государственный технический университет им, Н.Э. Баумана, Поступило 15.08.2011