О распределении чисел с двоичным разложением специального вида в арифметических прогрессиях с произвольными простыми разностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЕЛ С ДВОИЧНЫМ РАЗЛОЖЕНИЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПРОСТЫМИ РАЗНОСТЯМИ 1

А. П. НАУМЕНКО

Белгородский государственный университет e-mail [email protected]

Пусть Na - множество натуральных чисел, двоичное разложение которых содержит четное число 1. Пусть р - нечетное простое число, а - целое число. В статье получена асимптотическая формула для суммы

níX

n=a(modp)

n£Nfl

остаточный член которой в некоторых случаях уточняет остаточный член известной формулы А.О. Гельфонда.

Ключевые слова: натуральные числа, асимптотическая формула, преобразование Абеля.

Введение

В 1968 г. А.О. Гельфонд доказал следующую теорему [1]:

. .. : ' ■ (11) tt=í(modm) nEJV.

о

где Я = |^ = 0.792...

1п4

В случае, когда 2 является первообразным корнем по модулю р и т = р в работе [2] для суммы в левой части (1.1) получена асимптотическая формула с остаточным членом

log2 Р л

где rj = ——, постоянная в знаке О зависит только от р, которая в данном частном

случае уточняет остаточный член формулы Г ельфонда.

Целью настоящей работы является перенос результата [2] на случай произвольных простых разностей арифметических прогрессий. Здесь мы допускаем, что 2 не является первообразным корнем по модулю р.

В статье будут использованы следующие обозначения.

No - множество натуральных чисел, двоичное разложение которых содержит четное число 1.

1Работа выполнена при поддержке БелГУ, грант ВКАС-26-08

если к Є N0 если к В N0

Пусть п - нечетное натуральное число. Пусть 2 принадлежит показателю S(n~) по модулю п. I огда к[п —

' 5(л)

Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема, которая уточняет (1.1) для частного случая.

Теорема 1 Пусть р - нечетное простое число. Пусть а - произвольное гіелое число аз отрезка [0; р — 1]. Тогда справедлива асимптотическая формула

I 1 =

п=а(тос1р)

пеыа

где

- ■ ЗК(р)\,р1пр+1

(р-1)1п2 '

постоянная в знаке О зависит только от р.

г ✓ ч Гр-1)1пЗ-1

В случае кур) < -——---------- и при достаточно больших X остаточный член

•' 6ч'р1пр г

нашей асимптотической формулы точнее, чем в (1.1).

1. Леммы

Справедливо тождество

г, 1 - ■ п~а

У П сґмї — Y2Q-l 2JZIC г _

^ Osns2q-1 b\flJ — ¿-¡n=0 bbc=l e 0 —

n=a(modb)

1 cn n . cn

= (1.2)

Лемма 1

Доказательство.

Применим метод математической индукции по .

При ф = 1 имеем

1о£„<2 £(п)е2™» = П?=о (1 - е2пШ2Г).

Пусть при некотором <? > 1 лемма справедлива. Проверим ее справедливость для <? +1:

и £(

,їпіагі

Заметим, что

Хо«;п<2<г с(л)е2,п'ап +12<г5„<2<г*1 г(п)е

¿піаи

так как п <

Далее,

Іо,,.«« £(п)е™«» + 22«„<2<г« еЫе™«" =

£«»<2« «00«"" -е2я“2'ФО«2*“* =

Но, по предположению индукции,

Таким образом,

е(п)е2*ап = ПС-1 _ е2тпа2г)

105Я<2»., £(П)е2''“"! = П?=о (X - Є2т"2Г).

Лемма доказана.

Из нее следует равенство

|1о5п<2« сЫеш°п\ = П?:„‘ |1 - ег"'“2Г| = П?Го к2“'“2' - 1| = (14)

„ . . _ /ата2г_--та2г\ _ ,

= П?=0 21ета2 (---------—------) =2<?Пг=о |5>п?га2г|-

Лемма 2 Пусть п-натуралъное число, х,у комплексные числа. Тогда

хп - Уп = П2=0 (хе2тп -уе*2тп|

Доказательство см. [3],с.78.

Лемма 3 Пусть с - г(елое число такое, что (с, р) = 1. Справедливо тождество

1

-1 . . пехЪ<Р) ,\Ш)

Пі5(р)—1 , . 7тс2 . /пр-1 , . псх*УР> Л

П,.=о = (П£=1 |81П—— I]

Доказательство.

Отметим, что |sin — | зависит только от остатка а при делении на р.

Пусть д - первообразный корень по модулю р. Пусть 2 = s, то есть

с/* =2(modp) Так как 2 принадлежит показателю 5 (р) по модулю р, то

р-i

Имеем

откуда s = fe(p)sl5 где - натуральное число. Известно(см. [4, с. 92]) , что

ind 2r = г ind 2(moc

Поэтому при любом целом г > 0 справедливо Так как р — 1 = А.!:,- приходим к равенству

Таким образом, ввиду — 1) = при любом целом г > 0 сравнение

д:*(р) = 2г(пюс1р) имеет ровно к(р) решений (см. [4, с. 94]).

Лемма доказана.

Лемма 4 Пусть р - нечетное простое число и п - некоторое натуральное число, а - целое число такое, что (се, р) = 1.

Т

огда справедлива оценка

си'1

v-n-l 2т-------

¿Z=iе р

Доказательство.

Пусть у < р. Тогда справедливо тождество

2т-

Далее имеем

Из неравенства треугольника следует оценка

- и-1 "7=1

ayrijtn

zEi* "

Обозначив через /(Я) число решений сравнения уп = Я (mod р) имеем

< —у^:1

р-1 Л-1

У?-1 p2ni

£*х= 1

Є р

Воспользовавшись неравенством Коши, приходим к оценке

S2 <

(Р-0

yp-i i(T\2 Vp_i !"A=1 ^,1 = 1

vfJ-l 2rri

"Д’=1 е

.аЛ*11

р

Заметим, что /(Я) < п. Таким образом

р-i

Также справедливо тождество

yp-i „2rri Av=l е

йЛлп

аЛдг? аЛхИ

\-p-l 2тг£--------27ГІ-----------------

2x1=i р Zi2=1 р ■

Приходим к неравенству

у Р-

А*=

(„ .еглгг1\і

SK« - ) £ 2£=\ zCi z;=i

OlfxP—яй)

2 ЛІ---------— —

Є ff <:

Таким образом

откуда имеем необходимую оценку

Лемма доказана.

52 < л2р,

Лемма 5 Пусть р - нечетное простое число, к - произвольное натуральное число, с - 1(елое число такое, что (с, р) = 1.

Тогда

пеі (і— е2Я1 р) — ерзк'р.

Доказательство.

Справедливо тождество

ТР-1

2.ТІ-

схк

2т--------х

Є Р ),

тт 2л(----

Пусть г = е р

Разложим 1п(1 — г) в ряд Тейлора

Докажем, что этот ряд сходится.

Действительно,

к.» *‘1 5 3

так как (схк,р) = 1.

Теперь сходимость ряда следует из признака Дирихле (см. [5], с.336) которым мы пользуемся после разделения действительной и мнимой частей.

Пользуясь преобразованием Абеля в интегральной форме, имеем

<і<03

*1\ _ I г“ /"V Лйи1 1 ^ 1

і I - IV К^<ыи 2 )и21 - - р

Приходим к равенству

1пЛ ¿*=1 111^.

Теперь достаточно оценить сумму

к ■> 1ех , .схК , 2ігі—=-

р Ї ^"_1 *______________________—

¡гг* ЇТІ—-ур-1 ур-1 £_________

¿■Л = 1 ¿*1=1

Сделаем суммирование по I внешним, тогда

і(їг*

ур-1 ур2-1 I_____________ ур2-1 1ур-1 е2ПІ~Г

Ах = 1 ¿4 = 1 I — ¿>1=1 . ¿>л = 1 *

Пусть / = ¿1 р.

В этом случае

.¡сдт*

х*.:} е2лі р = їрхі\ е2Ш'схк = р -1.

Таким образом, справедлива оценка

ур -1 АуР-1 агпі О _1уР-1 і_уР-1 02пИ,схк _ р 1 уР~1 І. ¡ = 1 ; л = 1 Є Р - рЬі1 = і ^¿х=1 е - р ¿*1 = 1^

(¿■Р)=Р

Заметим, что для любого ж справедливо

где у = 0.57... - постоянная Эйлера.

Таким образом, приходим к оценке

Асх

Р2-1 1 ур-1 2пі^Г

р <

(1Р:=Р

+ Г +~ Р

Пусть теперь (7,р) = 1.

В этом случае, пользуясь леммой 4, имеем

р-1 2ГГЇ-

.(га1'

Ж*

Справедлива оценка

„ іеж^ 1схк

уГ-1 ХуР-1 р2Яг^Г ¿> (=1 ( ¿>х=1 е * (І.р)= 1 <У^-Х І 1=1 I ([.р)=1 тгр-1 2т 5£=іе р ІЛ я- Д1 пр + Г + ^)

Г ^

Поэтому

уР?-1 Іур-1 2™

¿1=1 ; ¿Х = 1

е р

III р.

Лемма доказана.

Лемма 6 Пусть р - нечетное простое число. Пусть с - целое число и = ... Тогда справедлива оценка

2л1сгг 1

П^Г* |1-в » \<етР*р.

Доказательство.

Из тождества (1.4) и леммы 3 имеем

= (іС

гпюг \fccp)

\1-Є Р |

= (ії:ї

гігісл^'Р1 \/с(р)

|1 - в Р | ^

Лемма доказана.

Лемма 7

2

'■«ірк+і&Я-і Фк + о)| < Л3 . г»*'®.

где

, - _ 3*:(р)ур1пр+1 (р-1)1п2 '

Доказательство.

На основании (1.2) и (1.3) имеем

*0<р!<+а

Оценим сумму 5д при любом с Е [1, р — 1]. По лемме 1

<2^-1 *(Рк + «)| = 5<?(°) +“£с=1 е 27Г р5'

_ .¡ЯГ 2т—ч — Є Р }.

Имеем

_ егг 2л[—, Є Р )

п

, |«1І1

5-і г л _ „2т „ л _ п ад^ п5^-1 (Л — і е } — її _ нг=0 V*

г=0

, с2

2т—„ .-г^- і

« ") гг ы “ 16(Р,:

(

[5іі1

_ С2Г \ ІвГоуІ

гї<5~* а - • »)) п*“

з . _ Л

I р

“ =

0-1-¡¡(р Iі

, С2

2т—, ,1 - Є Р ).

Используя тот факт, что 5Іп.х5Іп2л < - при зіпх > — (см. [1]), получаем и=[й^;]ад

¿лі—-

е р )

о., ад Л-1,

2 (— }5ґр) ҐЗ\~Ї~{іЇї) 2 ад < — 2 Ь-Р' [ - ) Р < — 3 г

чЗ \4/ чЗ

Используя лемму 3 и лемму 6, приходим к оценке

„ с!г /

ени-' 7і = (іЕ!

из которой следует, что

2

'■с*рк*а<21>-1 фк + о)| < -»3 . 2»*ад,

где

г - _ Зк(р)ур\пр+1 (р-1)1п2 '

Лемма доказана.

2. Доказательство теоремы 1

Рассмотрим сумму

£ к*Х 1. К=а(тос1р)

Для нее справедливо равенство

2 к$Х 1 _ 2 ^Р*(+а5^

*с=а(то<1р) к£Яо

+ а) +

Таким образом, достаточно оценить сумму

5(Х,я) Хрк+а5Х *(рк ®)'

Определим натуральное число £ неравенствами 2£ < X < 2Б+1. Тогда имеем ^(Х, а) = Хр<(+а52*-1 ¿(рк + а) + ^12*5рк+а$Х Рк а)-Так как 2£ < X < 23 + 1, справедливо тождество

%2*<рк+а<Х £(рк + я) = ~Т,о<рк+1<Х-2к + 0 = ~^(,Х — 25, ¿),

где 1= а — 2* (тос! р), I 6 [0; р — 1].

Получено равенство

Применяя то же рассуждение, что к 5(Х, а), к сумме 5(А’ — 25,1) и так далее, приходим к неравенству

5 > Я} > ■■■

Применяя к каждой сумме в правой части последнего неравенства лемму 7, получаем

,а)| 2ÍP°82Jf]-OM(p) <_L3^е(р)^м(р)^

!-2-.4W

Теорема доказана.

Список литературы

1. Gelfond A.O. Sur les nombres qui ont des proprietes additives et multiplicatives donnies// Acta Arith.i968.V.Xnip.259-265.

2. Науменко А.П. Известия СГУ. Серия Математика. Механика. Информатика, в печати.

3. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел// М.: Мир, 1987.

4. Виноградов И.М. Основы теории чисел// М.: Наука, 1965.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2// М.: Физмат-лит, 2006.

ON THE DISTRIBUTION OF NATURAL NUMBERS WITH BINARY EXPANSIONS OF A SPECIAL TYPE IN ARITHMETIC PROGRESSIONS WITH PRIME DIFFERENCES

A.P. NAUMENKO

Belgorod State University e-mail [email protected]

Let iS'c be a set of natural numbers whose binary expansions contain even number of l-s. Let -j be an odd prime and a be a natural number. The asymptotic formula for the sum

£ Tisx 1 nEa(modp)

nENe

got in our paper. The remainder ferm of this formula in several cases refines the remainder ferm of a well known formula due to A.O. Gelfond.

Key words: natural numbers, asymptotic formula, Abelian transform.