Представления абелевых полуциклических n-арных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4 (2013)

УДК501.548

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ПОЛУЦИКЛИЧЕСКИХ п-АРНЫХ ГРУПП

В. М. Кусов (г. Волгоград)

Аннотация

В статье изучается взаимосвязь между представлениями абелевых групп и представлениями абелевых n-арных групп. Опираясь на эту взаимосвязь, описаны все представления абелевых полуциклических n-арных групп.

Ключевые слова: n-арная группа, гомоморфизм, представление

REPRESENTATIONS OF ABELIAN SEMICYCLIC N-ARY GROUPS

V. M. Kusov (c. Volgograd)

Abstract

In this paper we study the relationship between representations of abelian groups and representations of abelian n-ary groups. Based on this relationship, described all the representations of abelian semicyclic n-ary groups.

Keywords: n-ary group, homonorphism, representation.

Алгебра (G, [ ]) с п-арной операцией [ ] : Gn ^ G, п ^ 2, называется п-арной группой,если

1) операция [ ] ассоциативна, т. е. верны тождества

[[a1, . . . , an], an+1 , ■ ■ ■ , a2n_1] [a1, ■ ■ ■ , ai, [ai+1 , • • • j ai+n] , ai+n+1 , ■ ■ ■ , a2n_1]

для всех i = 1, ■ ■ ■ ,п — 1, и

2) каждое из уравнений

[a1,a2, ■ ■ ■ ,ai_1,Xi,ai+1, ■ ■ ■ ,a,n] = b, i = 1, ■ ■ ■ ,п,

разрешимо для любых a1,a2, ■ ■ ■, ai-1, ai+1, ■ ■ ■ ,an и b из G.

Очевидно, при п = 2 алгебра (G, [ ]) является обычной (бинарной) группой.

Если, кроме того, в {О, [ ]) верны тождества

\Х1, х2, ■ ■ ■ , Хп] \Ха'(1), Ха(2), ■ ■ ■ , Х<г(п)]

для любой подстановки а £ Sn, то и-арная группа {О, [ ]) называется абелевой. Для фиксированного элемента а и-арной группы {О, [ ]) решение уравнения

В [1] показано, что на любой абелевой и-арной группе {О, \ ]) можно определить абелеву группу {О, +) = гейсО (называемую редуктом), в которой бинарная операция + действует по правилу

Верно и обратное: в любой абелевой группе {О, +) для произвольного фиксированного элемента й задается абелева и-арная группа {О, [ ]) = аЬ^О, где и-арная операция [ ] действует по правилу (2). Если {О, +) = (а) - циклическая группа, то аЫаО называется абелевой полуциклической и-арной группой [2].

В любой группе {О, о) (не обязательно абелевой) задается и-арная группа {О, [ ]) = тейпО, где и-арная операция [ ] действует по правилу

Эта и-арная группа {О, [ ]) = тейпО называется производной от группы {О, о). В частности, используемая далее и-арная группа тейпОЬт(С) является производной от полной линейной группы ОЬт(С).

Имеется тесная связь между и-арными группами и обычными группами, и, в частности, между гомоморфизмами этих алгебр.

Теорема 1. Пусть ф - гомоморфизм абелевой и-арной группы {О, [ ]) в производную и-арную группу {О', [ ]) = тейпО'. Тогда для любого фиксированного с £ О существует гомоморфизм ф абелевой группы тейсО в группу О', действующий по правилу ф(х) = ф(х) о ф-1(с).

Доказательство. Из определения косого элемента следует, что для ф(с), ф(с) € О' справедливо равенство ф(с) = [ф(с),... , ф(с), ф(с)]. В производной

4-----V-----'

п-1

и-арной группе тейпО' и-арная операция [ ] связана с групповой операцией о правилом (3), поэтому

а + Ь = \а,с, ■ ■ ■ ,с,с,Ь],

(1)

п-3

где с - фиксированный элемент из О. Тогда

\аі, ■ ■ ■, ап] — аі + ■ ■ ■ + ап + й,

(2)

где й = , а элемент с является нулем в группе гейсО.

п

[а-\^, ■ ■ ■ ,аП] = а1 о ■ ■ ■ о ап

(3)

ф(с) = [<р(с),ф(с), ф(с)] = ф(с) О ... ◦ ф(с) Оф{с) = фп 1(с) О ф(с),

'------V------' 4------V-------'

п—1 п—1

откуда ф(с) = ф(с)—(п—2).

В редукте твйсО групповая операция + связана с п-арной операцией [) правилом (1), поэтому для произвольно выбранных элементов а,Ь £ С имеем

ф(а + Ь) = ф(а + Ь) о ф—1(с) = ф([а, с,... ,с,с, Ь)) о ф—1(с) =

п—3

= .., ф(с),ф(с),ф(Ь)) ◦ ф—1(с) = ф(а) ◦ ф(с)п—3 ◦ ф(с) ◦ ф(ь) ◦ ф—1(с) =

4------V-----'

п—3

= ф(а) о ф(с)п—3 о ф(с)—(п—2) о ф(Ь) о ф—1(с) = ф(а) о ф(с)-1 о ф(Ь) о ф(с)-1 =

= ф(а) о ф(Ь).

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть ф — гомоморфизм абелевой группы (С, +) в группу (С', о) и для некоторых элементов d из С и Ь из С' выполнено условие

ф(в) = ¡> о о Ьу = Ьп—1. (4)

п— 1

Тогда отображение ф : С ^ О, действующее по правилу ф(х) = ф(х) о Ь, является гомоморфизмом абелевой п-арной группы (С, [ )) = аЫа в п-арную группу (С', [)) = rednС'.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть посылка теоремы выполнена. Тогда для произвольно выбранных элементов а1,... ,ап £ С имеем

ф([а1,..., ап)) = ф([а1,..., а^) ◦ Ь = ф(а1 + ... + ап + d) о Ь =

= ф(а1) о ... оф(ап) оф(д) о Ь = ф(а1) о ... оф(ап) о Ьп—1 о Ь = ф(а1) о ... оф(ап) о Ьп = = (ф(а{) о Ь) о ... о (ф(ап) о Ь) = ф(а1) о ... о ф(ап) = [ф(а1),..., ф(ап)). Теорема доказана.

Определение 1. Гомоморфизм ф : (С, [)) ^ rednСLm(C,) называется (линейным) представлением п-арной группы (С, [ ))

(см. например [3],[4]).

Доказанные выше теоремы 1 и 2 позволяют устанановить связь между представлениями абелевых групп и представлениями абелевых п-арных групп. Так, из теоремы 1 имеем

Следствие 1. Пусть ф - представление абелевой n-арной группы (G, [ ]). Тогда найдется представление ф группы redc(G, [ ) действующее по правилу ф(х) = ф(х) ■ ф(с)-1.

Из теоремы 2 имеем

Следствие 2. Пусть ф - представление абелевой группы (G, +) и для некоторых элемента d из (G, +) и матрицы U из GLm(C) выполнено условие

ф(d) = Un-1. (5)

Тогда отображение ф : G ^ GLm(C), действующее по правилу ф(х) = ф(х) ■ U, является представлением абелевой n-арной группы (G, [ ]) = abldG.

С помощью следствий 1 и 2 изучим представления абелевых полуцикличе-ских n-арных групп.

Для конечных абелевых полуциклических n-арных групп верна

Теорема 3. Пусть конечная циклическая группа (а) порядка к имеет, представление фг(sa) = £rs, где £ - корень к-й степени из 1, r = 0,1,... ,к — 1 [5, стр. 94]. Тогда абелева полуциклическая n-арная группа ablia(a) имеет, представление

фг , t(sa) = £rs+t, (6)

где t - решение сравнения

x(n — 1) = lr mod к. (7)

Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено. Тогда для фг, la и £t имеют место равенства

фг (la) = £lr = £t(n-1) = (£t)n-1,

т. е. выполнено условие (5) следствия 2. Следовательно, отображение

фг,t : ablia(a) ^ rednGLm(C),

действующее по правилу

фг,t(sa) = фг(sa) ■ £t = £rs ■ £t = £rs+t,

является представлением n-арной группы ablia(a). Теорема доказана.

Замечание 1. В том случае, когда сравнение (7) не разрешимо, абелева полуциклическая n-арная группа ablla(a) не имеет представлений, описываемых формулой (6).

Известно (Лемма 1, [6]), что любые две абелевы полуциклические n-арные группы ablsa(a) и ablta(a) изоморфны тогда и только тогда, когда НОД (s,n — 1,к) = НОД (t, n—1, к), где к = |(a)|. Отсюда следует, что количество различных (с точностью до изоморфизма) конечных абелевых полуциклических n-арных групп одного и того же порядка к равно количеству натуральных делителей числа НОД (n — 1,к).

В частности, когда делитель НОД (n — 1,к) равен 1, получаем циклическую n-арную группу abla(a), порождаемую элементом a. Если же делитель НОД (n — 1,к) равен ему самому, получаем n-арную группу abl0(a) = redn(a), являющуюся производной от циклической группы (a).

Из теоремы 3 для конечных циклических n-арных групп имеем

Следствие 3. Пусть конечная циклическая группа (a) порядка к имеет, представление фг(sa) = £rs, где £ - корень к-й степени из 1, r = 0,1,... ,к — 1. Тогда для каждого r, кратного НОД (n — 1,к), циклическая n-арная группа abla(a) имеет НОД (n — 1,к) представлений, построенных по правилу (6), где t - решение сравнения x(n — 1) = r mod к.

Из теоремы 3 для производных n-арных групп от конечных циклических групп имеем

Следствие 4. Пусть конечная циклическая группа (a) порядка к имеет, представление фг(sa) = £rs, где £ - корень к-й степени из 1, r = 0,1,... ,к —

1. Тогда производная n-арная группа abl0 (a) = redn(a) для каждого r имеет, НОД (n — 1,к) представлений, построенных по правилу (6), где t - решение сравнения x(n — 1) = 0 mod к.

Для бесконечных абелевых полуциклических n-арных групп верна

Теорема 4. Пусть бесконечная циклическая группа (a) имеет представление ip(sa) = Xs, где X Е C и X = 0 [5, стр. 93]. Тогда бесконечная абелева полуциклическая n-арная группа ablla(a) имеет представление

ф(sa) = Xs ■ ¡1, (8)

где 1 удовлетворяет условию X1 = ¡in-1.

Доказательство. Пусть условие теоремы выполнено. Тогда для ф, la и i выполнено также условие (5) следствия 2, поскольку ф(Ш) = X1 = ¡in-1. Следовательно, отображение ф : ablla(a) ^ rednGLm(C), действующее по правилу

ф(sa) = ip(sa) ■ i = Xs ■ i, является представлением n-арной группы ablla(a). Теорема доказана.

Замечание 2. Так как уравнение X1 = xn-1 имеет n — 1 решений при X = 0, то с помощью одного представления ip(sa) = Xs бесконечной циклической группы (a) в теореме 4 строятся n — 1 не эквивалентных представлений бесконечной абелевой полуциклической n-арной группы ablla(a).

Известно (Предложение 7, [7]), что любые две бесконечные абелевы полуцик-лические n-арные группы ablsa(a) и ablta(a) изоморфны тогда и только тогда, когда s = t mod (n — 1) либо s = —t mod (n — 1). Отсюда следует, что количество различных (с точностью до изоморфизма) бесконечных абелевых полуцикли-ческих n-арных групп равно [п-1] + 1, и каждая из них имеет вид ablia(a), где l = 0,1,..., [п-1].

В частности, для l = 1 получим бесконечную циклическую n-арную группу abla(a), порождаемую элементом a. Если же l = 0, получим n-арную группу abl0 (a) = redn(a), являющуюся производной от бесконечной циклической группы (a).

Из теоремы 4 для бесконечных циклических n-арных групп имеем

Следствие 5. Пусть бесконечная циклическая группа (a) имеет представление ÿ(sa) = Xs, где X Е C и X = 0. Тогда бесконечная циклическая n—арная группа abla(a) имеет представление

p(sa) = /is{n~1)+1,

где ц удовлетворяет условию X = цп~1.

Из теоремы 4 для производных n— арных групп от бесконечных циклических групп имеем

Следствие 6. Пусть бесконечная циклическая группа (a) имеет представление ÿ(sa) = Xs, где X Е C и X = 0. Тогда производная n-арная группа abl0(a) от бесконечной циклической группы (a) имеет представление по правилу (8), где ц является корнем (n — 1)-й степени из 1.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Timm J. Kommutative n-Gruppen. Diss. Hamburg, 1967.

2. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. 1 // Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.

3. Dudec W., Shahruari M. Représentation theory of polyadic groups // Algebras and Representation Theory, 2010. DOI: 1007/S10468-010-9231-9.

4. Shahruari M. Representations of finite polyadic groups // arXiv.org e-Print archive, 2010. arXiv:1011.0954v1 [math.RT].

5. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры //М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. 272 с.

6. Glazek K., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polyadic groups // Contribution to General Algebra 3, 1985, p. 159-171.

7. Щучкин Н. А. Полуциклические n-арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. №3(54). С. 186-194.

REFERENCES

1. Timm J. Kommutative n-Gruppen. Diss. Hamburg, 1967.

2. Gal’mak A. M. п-Ary groups. Part I. Gomel: GGU imeni F. Skoriny, 2003. 196 p. (in Russian).

3. Dudec W., Shahruari M. Representation theory of polyadic groups. Algebras and Representation Theory, 2010. DOI: 1007/S10468-010-9231-9.

4. Shahruari M. Representations of finite polyadic groups. arXiv.org e-Print archive, 2010. arXiv:1011.0954v1 [math.RT].

5. Kostrikin A. I. Introduction to algebra. Part III. Basic structure. Moskva: FIZMATLIT, 2004. 272 p. (in Russian).

6. Glazek K., Michalski J. and Sierocki I. On evaluation of some polyadic groups. Contribution to General Algebra 3, 1985, p. 159-171.

7. Shchuchkin A. M. Semicyclic п-ary groups. Izvestiya GGU imeni F. Skoriny, 2009. 3(54). p.186-194. (in Russian).

Волгоградский государственный социально-педагогический университет. Поступило 14.09.2013