Об опыте применения теории графов в решении прикладных задач геодезии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОПЫТЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ В РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ГЕОДЕЗИИ

Светлана Александровна Егорова

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доцент кафедры прикладной информатики, тел. (923)109-05-15, e-mail: EgorovaS. A@yandex.ru

Рассматриваются вопросы формирования матрицы коэффициентов параметрических уравнений поправок.

Ключевые слова: теория графов, геодезическая сеть, матрица коэффициентов.

GRAPH THEORY FOR SOLVING APPLIED PROBLEMS OF GEODESY

Svetlana A. Yegorova

Assist. Prof., Department of Applied Informatics, Siberian, State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St, phone: 923 1090515, e-mail: EgorovaS.A@yandex.ru

The problems of developing the coefficient matrix for parametric equations of corrections are considered.

Key words: theory off earls, geodetic network, matrix of factors.

Теория графов естественным образом применима к рассмотрению топологии геодезических сетей. Среди разнообразия видов графов (смешанные, изоморфные, связные, взвешенные, планарные, хордальные и т.д.), для решения прикладных задач в геодезии целесообразно применение

ориентированных графов (рис. 1) G:= (V, M), для которых выполнены следующие условия:

Рис. 1. Пример | V| - непустое множество вершин или узлов;

ориентированного |м| - множество (упорядоченных) пар различных

графа вершин, называемых дугами или ориентированными

рёбрами.

Если, например, упорядоченная пара вершин vk и vk+1 определяет дугу m1 = {vk, vk+1}, то вершину vk называют началом, а vk+1 - концом дуги. Можно отметить, что дуга m1 ведёт от вершины vk к вершине vk+1 , т.е. V, ^ vk+1.

Элементы графа | V| и |M| определяют порядок и размер графа соответственно.

Язык теории графов хорошо приспособлен для анализа разного рода структур и передачи состояний. В соответствии с этим можно отметить, что и некоторые задачи геодезии также можно решать с помощью теории графов, например можно выполнить формализацию и построение общей структурной модели объекта на разных уровнях его сложности.

При уравнивании сетей приходится создавать матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок, в которой необходимо ставить в соответствие связи между узлами. Если сеть большая, то сформировать такую матрицу достаточно трудоемко.

В помощь можно взять некоторые элементы из теории графов. Все задачи теории графов могут решаться как в графической, так и в матричной форме. В случае записи в матричной форме возможность передачи сообщения из данной вершины в другую обозначается единицей, а ее отсутствие - нулем, т.е. каждая строка матрицы соответствует определённой вершине графа, а столбцы ее соответствуют связям графа. Такую матрицу называют матрицей инцидентности, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Например, в матрице N(1, у) в ячейку на пересечении /-ой строки с у-м столбцом записывается: 1, в случае, если связь у «выходит» из вершины /; -1, если связь «входит» в вершину; 0 - во всех остальных случаях (то есть если связь не инцидентна вершине).

Пусть имеется свободная нивелирная сеть с равноточно измеренными превышениями (рис. 2). Для построения псевдообратной матрицы по рекурсивному алгоритму [1, 2] необходимо сформировать матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок.

Следуя теории графов, каждая компонента сети может быть представлена в виде графа, поэтому для формирования такой матрицы в ЫМЬаЬ 6.5 была создана программа, обеспечивающая ввод количества реперов (узлов) и установление связей между узлами.

При традиционном приеме программирования, создать матрицу

коэффициентов достаточно трудоемко, т.к. приходится использовать большое количество проверок и циклов, и флагов.

Предлагается следующий алгоритм создания матрицы коэффициентов.

В программе матрица N(1, у), состоящая из трех столбцов и трех строк, заполняется нулями и единицами в соответствии с правилами

ориентированного графа. В такой матрице строки и столбцы определяют номера узлов, а элементы главной диагонали равны нулю.

N =

0 -1 -1

1 0 -1

1 1 0

(1)

В предложенном алгоритме обрабатывается только нижняя треугольная часть матрицы N, а верхняя треугольная часть матрицы N заполняется автоматически, т.к. она является симметричным отражением нижней треугольной матрицы.

Данный способ является самым ёмким (размер пропорционален | V||M|) для хранения, что облегчает нахождение циклов в графе.

Далее из матрицы N (1) выбираются две треугольные матрицы: N1 -нижняя (2), используя функцию tril и N2 - верхняя, используя функцию triu (3):

N1 =

0 0 0 1 0 0

1 1 0

(2)

N 2:

0 -1 -1 0 0 -1

0 0 0

(3)

После обработки каждой из них, формируется матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок для свободной нивелирной сети (рис.1):

Л'-

1 1 0

0 -1 1

-1 0 1

(4)

Фрагмент программы, созданной в Ыа1ЬаЬ 6.5, формирования матрицы коэффициентов представлен на рис. 3.

if h==k'za^=i;break; end; end;

Рис. 3. Фрагмент программы создания матрицы коэффициентов Таким образом, инцидентная матрица A(i, j), состоящая из трех столбцов и трех строк (4), заполняется нулями и единицами в соответствии с правилами

ориентированного графа, где столбцы соответствуют номерам узлов, а строки -номерам связей между узлами.

Таким же способом можно создавать матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок любых свободных нивелирных сетей [3], что значительно сокращает время разработчика на ее формирование.

Зарождение теории графов в XVIII в. связано с математическими головоломками, но особенно сильный толчок ее развитию был дан в XX веке, когда обнаружились возможности ее практических приложений, в том числе для решения геодезических задач прикладного характера.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А.Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). -Новосибирск: СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 271-273.

2. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕ0-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.

3. Барлиани А.Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография. -Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

4. Модифицированный алгоритм Тихонова для решения вырожденных систем уравнений // ГЕ0-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск,

20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. Т. 1, ч. 1. - С. 120-122.

5. Барлиани А.Г., Егорова С.А. Единый рекурсивный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических наблюдений // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. -С. 85-89.

6. Барлиани А.Г., Егорова С.А. Исследование рекурсивного алгоритма псевдообращения на возмущение исходных данных // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 90-94.

© С.А. Егорова, 2013