Оптимальный метод отбора факторов-признаков в эконометрических моделях на основе рекурсивного алгоритма псевдообращения матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.43

ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕТОД ОТБОРА ФАКТОРОВ-ПРИЗНАКОВ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ НА ОСНОВЕ РЕКУРСИВНОГО АЛГОРИТМА ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики

и информационных систем, тел. (383)319-99-31 Ираида Яковлевна Барлиани

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры управления и предпринимательства, тел. (383)319-99-31

В статье предлагается новый подход к процедуре подбора факторов-признаков для эконометрических моделей на основе рекурсивного алгоритма псевдообращения матриц.

Ключевые слова: псевдообратная матрица, псевдонормальное решение, критерия Стьюдента, признаки-факторы. рекурсивный алгоритм, эконометрическая модель.

OPTIMAL METHOD FOR FACTOR-SIGNS SELECTION IN ECONOMETRIC MODELS BASED ON RECURSIVE ALGORITHM OF PSEUDOINVERSE MATRIX

Amridon G. Barliani

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assoc Prof, Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (383)319-99-31

Iraida Iа. Barliani

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assoc Prof, Department of Management and Business, tel. (383)319-99-31

A mew approach to the factor-signs selection procedure is offered. It is to be used for econometric modeling based on the recursive algorithm of pseudoinverse matrix.

Key words: pseudoinverse matrix, pseudonormal decision, Student criterion, factor-signs, recursive algorithm, econometric model.

Проблема выбора «оптимальных» факторов обычно решается на основе содержательного и статистического анализа тенденций процессов. На этапе содержательного анализа решается вопрос о целесообразности включения в модель тех или иных факторов, исходя из «здравого» смысла на основании допущений экономической теории. Далее переходят к статистическому анализу отобранной модели, суть которой состоит в следующем. При статистическом подходе уточнение состава факторов эконометрической модели осуществляется на основе анализа качественных характеристик модели с использованием критерия Стьюдента. Для этого на первом этапе определяется расчетное значение критерия Стьюдента [6]:

где |Ь; | —абсолютное значение оценки коэффициента в модели, характеризующее степень влияния у —го фактора на у; 8Ъ. — среднеквадратическая ошибка оценки этого коэффициента, определяемая на этапе его расчета.

Если имеет место соотношение ^ > Ь*(к), то влияние фактора на у можно признать значимым, где £*(к) — табличное значение критерия Стьюдента. Если же < Ь*(к), то влияние фактора ху на у можно признать незначимым. И этот фактор удаляется из модели.

Рассмотрим общую схему процедуры оценки параметров линейной эконометрической модели. Для этого запишем матричную форму модели:

У = X • 0 + £,

(2)

где = (^1,^2>'">Рк) —вектор - столбец «истинных» значении параметров модели; параметр выражает степень влияния фактора лу на переменную у; £т = (е1, е2, ••■, £п) — вектор значений случайных ошибок модели;

У = (У1 У2 •Уп)Т— измеренные (наблюдаемые) значения зависимой переменной;

Х11 х12 х1к Х21 х22 "' х2к

X = ............ —матрица наблюдаемых независимых факторов.

Хп1 хп2 "' хпк

Матричный вариант модели, в котором вместо истинных параметров Д и ошибок е используются их оценки, т.е. вектора Ь и е, запишем в виде:

у = X •Ъ + е.

(3)

Решим эту систему на основе псевдонормальной оптимизации [1,3] и получим:

Ь=^У , (4)

где Х£ —псевдообратная матрица Мура - Пенроуза [1, 2]. С целью дальнейших выводов введем обозначение:

X = |а1,а2, — ,аЛ|, (5)

где а? = (х1;-, х2], ••■ хп;) —столбец значений неизвестных факторов.

Для вычисления псевдообратной матрицы воспользуемся рекурсивным алгоритмом [1,2.3]. Псевдообратная матрица в (4) строится путем рекурсивной процедуры псевдообращения матриц:

X] = \а1,а2, — (6)

Процедура начинается с псевдообращения первого столбца матрицы аг. На каждом шаге процесса рекурсии к псевдообратной матрице приписывается очередная строка, так что матрицу (6) можно записать в виде:

Ху — |Л)_!: ау|, у — 1,2

(7)

Следующее выражение связывает Х^ с

х)

а-

(8)

+ _ с] где dj — Х;_ ^ • ; су — Яу Х^_ ^ • dj; Яу — ^ .

Су "Су

Для начала рекурсии воспользуемся формулой:

т

— 1

т ш

Таким образом, осуществляется последовательное присоединение столбцов матрицы (6) и после (к — 1)-кратного обращения к алгоритму (8) получается псевдообратная матрица Х£, которую можно представить в виде [4,5]:

Х11 х12,' • т+

Х21 х22> ' ', х2п — Х2

Хк1 хк2'' ■ г+ хк

(9)

где Ху —

Х_/2'

I 1 ^С{9 , ,

]П\

] — ая строка псевдообратной матрицы Х£.

Далее по формуле (4) получим оценки неизвестных параметров эконометрической модели. После чего составляется эконометрическая модель процесса:

Ух — Ь1х1 + Ь2х2+ - + Ькхкш (10)

Пусть в результате статистического анализа оказалось, что последний параметр Ьк незначимо отличается от нуля. Это значит, что из модели необходимо удалить последний фактор хк. Для этого из

псевдообратной матрицы необходимо удалить последнюю строку и перейти к псевдообратной матрице Х£_г. Приведем без доказательства новый удобный алгоритм пошагового исключения из модели незначимых факторов:

Хк+_х=Хк+(/ —хк+х~). (14)

Здесь — псевдообратный вектор-столбец из вектора строки который вычисляется по формуле:

= (15)

хк\хк)

Необходимо заметить, что из матрицы та строка, которая

удаляется, будет нулевой (в нашем случае последняя).

Приведем пример. Пусть на основе содержательного анализа установлено, что между результативным признаком у и факторными признаками х1,х2,х3,х4 имеется линейная связь (4) с исходными статистическими данными:

0,40 0,26 0,40 0,50 0,40 0,19 0,25 хт = 1,23 1,04 1,80 0,43 0,88 0,57 1,72 ; А = 0,23 0,39 0,43 0,18 0,15 0,34 0,38 ;

1,45 1,30 1,37 1,65 1,91 1,68 1,94 ут = 19,26 9,38 12,11 10,81 9,35 9,87 8,17|.

Чтобы найти неизвестные параметры модели предварительно по алгоритму (8) определим псевдообратную матрицу Х£, которая равна:

*4+ =

0,7655 0,3540 1,2384 1,9239 — 0,3623 — 1,1418 — 1,9747 0,2911 — 0,3034 0,2509 — 0,4732 0,2028 — 0,5561 0,4930 — 1,0138 2,3332 1,0637 0,5913 — 2,3287 1,8486 — 1,3680 . —0,0920 — 0,2195 — 0,5382 — 0,1034 0,4591 0,3650 0,4320

Далее по формуле (7) определим оценку вектора параметров и далее на основании (10) составим модель:

ух = 15,4128*! — 1, 7928*2 + 1?,0671х3 + 0,8695х4.

Для оценки значимости полученных параметров модели вышеизложенным образом для каждого параметра определим расчетные значения критерия Стьюдента:

-ЬЛ 15,4128 |Ь2| 1,7928

^ = — = 0 = 5,798; = — = ——- = 2,203; 1 бЬ1 2,6582 , ; 2 БЬ2 0,8137 , ;

|Ь3| 17,0671 |Ь4| 0,8695

*™1»=4,991; ^ "ау^ 1,1665.

По таблицам Ь —распределения Стьюдента для значений а = 0,05 и V = 4; Ь*(к) = 2,776. Расчетные значения 2-го и 4-го параметров меньше табличного. Так как табличное значение 4-го меньше, поэтому по алгоритму (14) из матрицы удалим четвертую строку и получим:

0,4286 — 0,2857 0,1428 — 0,1428 0,1428 0,1428 — 0,2857 0,1428 0,2381 0,3810 — 0,3810 0,0476 0,0476 — 0,0952 0,1428 — 0,0952 0,0476 — 0,0476 0,3810 0,3810 0,2381

На основании этой матрицы аналогичным образом получим модель:

ух = 17,8141*! — 1,8490*2 + 19,0655*3. Для этой модели параметры Стьюдента составляют:

^ , |Ь31

^ =-= 9,141; Ь2 =-= 1,9663; £3 =-= 5,5667.

8ЬХ 5Ь2

Значение 2-го параметра меньше табличного, поэтому удалим его:

х3+ =

0,7196 — 0,4545 — 0,0473 1,3118 1,0264 — 0,5431 — 0,4562 —0,3629 0,9887 0,6554 — 1,0010 — 0,7702 1,0025 0,9761

На основании этой матрицы окончательно получим модель со значимыми параметрами, которая имеет вид:

ух = 16,5179*! + 13,6982*з.

Таким образом, выполняется оптимальный выбор факторов в модели.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск: СГГА, 2008. Т.1 , ч. 1. - С. 271 - 273.

2. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск: СГГА, 2008. Т.1 , ч. 1. - С. 160 - 163.

3. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения : монография / А. Г. Барлиани. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

4. Барлиани А. Г. Корреляционная версия уравнивания и оценки точности геодезических сетей по методу псевдонормального решения уравнений // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 202-206.

5. Барлиани А. Г., Егорова С. А. Исследование рекурсивного алгоритма псевдообращения на возмущения исходных данных // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 90-94.

6. Карпик А. П. Разработка критериев оценки качества кадастровых данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 133-136.

© А. Г. Барлиани, И. Я. Барлиани, 2014