Об оптимальных по быстродействию переходах с эллиптической орбиты на параболическую материальной точки переменной массы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том II

197 1

УДК 629.78.015.036.7

а629.78.015.076.6:521.3.002.23

ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПЕРЕХОДАХ С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ НА ПАРАБОЛИЧЕСКУЮ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

М. В. Рейн

Рассматриваются оптимальные по быстродействию перелеты материальной точки переменной массы под действием постоянной управляющей силы с орбит заданной энергии на параболическую орбиту в ньютоновском гравитационном поле. В качестве управления выбирается направление управляющей силы, и с помощью принципа максимума поставленная задача оптимизации сводится к краевой задаче второго порядка, которая решается на ЭЦВМ. Показано, что каждому экстремальному решению перехода с начальной круговой орбиты соответствуют два экстремальных решения перехода с начальной эллиптической орбиты, причем на одном решении при увеличении начального эксцентриситета функционал изменяется немонотонно и имеется оптимальное значение начального эксцентриситета.

В приложении дается общий способ получения двух экстремальных решений в задаче оптимального перехода с замкнутой поверхности на некоторое многообразие по известному экстремальному решению перехода из точки, внутренней к поверхности, на то же многообразие. С помощью геометрической интерпретации импульсов даются формулы перехода от известного решения в одной системе координат к решению задачи в другой системе координат.

Рассмотрим оптимальные по быстродействию перелеты точки переменной массы под действием постоянной по величине силы с круговой и эллиптических орбит заданной энергии на параболическую орбиту в центральном гравитационном поле.

Введем следующие переменные [1]: р—безразмерный фокальный параметр, х — е сое у = евш 9 (е — эксцентриситет, & = <р — «о — истинная аномалия, <р— полярной угол, и> — угловое расстояние перицентра).

С полярными координатами безразмерный радиус-вектор г, полярный угол 9, переменные р, х, у связаны соотношениями

_1_

1 1 +х а г _ у_

г р ’ йу р '

Безразмерные уравнения движения материальной точки в ньютоновском, гравитационном поле принимают вид

&Р — Ър^асоъи йх_____(1 4- х)2 у о , /■- а С05 и .

(1 + х)(1 -9<); ~М~ '~УГ2 1-9* ’ (1>

йу (1 +х)’гх 'Ур уасоъи ^р а%\пи йу (1 + дг)3

Ж = —^2 + (1 -1-л:) (1—00 + ’ ~Ж ^ •

Здесь размерные величины отнесены к соответствующим элементам круговой орбиты радиусом R = pKp', фокальный параметр — к R; время — к ^1=/?3/2/уГ(л , т. е. времени перемещения точки на один радиан по заданной круговой орбите; начальное возмущающее ускорение а — к местному ускорению силы тяжести g(R), где (х = g(R) R? =fM — постоянная поля тяготения, / —универсальная гравитационная постоянная, М — масса планеты. В уравнениях (1) q — безразмерный расход массы, а^ = а cosh/(1—qt), ar = a sin u/(l—qt) — безразмерные трансвер-сальный и радиальный компоненты возмущающего ускорения; а = const.

Поставим задачу об оптимальном перелете с орбиты заданного эксцентриситета в(, и заданной энергии й0 = —1 на параболическую орбиту. В качестве управления выберем направление возмущающей силы, не ограничивая области его изменения. Эта задача допускает простую геометрическую интерпретацию в пространстве р, х, у [1]. Действительно, орбитам заданной начальной энергии ho— — 1 соответствует параболоид вращения (1 — х8—у^)!р = 1, параболическим орбитам соответствует полуцилиндр х^+у2 — 1; р^> 0. Поставленной нами задаче в пространстве р, х, у соответствует оптимальный переход с окружности х2-$-у2 = е Q, получающейся в сечении параболоида вращения плоскостью р = const, на полуцилиндр.

В соответствии с принципом максимума [2] образуем гамильтониан

Н

(1-(-;с)2.у 2 )//> a cos и

«3/2

+

r 1 —qt Yp a sin м

О — <70

Рх +

(1 -\-х)2х Ур уа cos и

„3/2

+

(1+■*)(! -qt)

+

2р312 a cos и

Py + (l+x)(l—qt) Рр'

где импульсы определены уравнениями

dpx дН <*ру

dt

дх

dt

дН dPp ду ’ dt

дН

др ■

(2)

В выражении для Н отсутствует импульс р , так как уравнение для <р изолированное и ср не входит в краевые условия.

Поставленная задача оптимизации по быстродействию описывается уравнениями (1) и (2), где sin и и cos и определяются из условия максимума Н:

sin и ■-

Ру

V

(2РРР

УРу

cos и =

(3)

Ру + + * + 2Рх + ! + х

2РРР УРу

l-j-X+2px+ 1 +х

1 / 2РРр Г УРу

У />y + (l +Х +2рх+ 1 -(- X

причем 0, где Т—правый конец интервала интегрирования по времени,

определяемый из условия достижения параболической орбиты е2 = хг + У2 = 1 • На правом конце траектории должны выполняться условия трансверсальности

Рр = °. Рх = кх, ру — ky, (4)

где k = const.

Два последних соотношения (4) дают одно краевое условие

(5)

РхУ~РуХ = 0.

Условия трансверсальности на левом конце траектории имеют вид

рх = к1х, ру=^у, рр = 1, (6)

где Л] и /—константы.

Ввиду однородности системы (2) импульсы определены х: точностью до произвольного множителя, что позволяет наложить на рх, ру, рр в начальный момент

дополнительную связь

р1+Р2у + Р2р='- (7)

Таким образом, имеем краевую задачу второго порядка. В качестве недостающих начальных параметров введем два угла х и через которые х, у, рх, Ру, рр определяются по формулам

jc = е0 cos ф; jy == е0 sin ф; рх = sin х cos ф; ру = sin х sin ф; рр — совф. (8)

Выбор углов х. Ф в качестве недостающих начальных значений удобен при проведении расчетов на ЭЦВМ, так как выражения (8) определены при любых X, ф. Кроме того, при этом охватывается случай начальной круговой орбиты

<?о = 0.

В работе [3] показано, что каждому экстремальному решению задачи перехода из точки на многообразие соответствуют по крайней мере два экстремальных решения задачи перехода с замкнутой поверхности на то же многообразие. В приложении дан прием практического построения двух экстремальных решений перехода с замкнутой поверхности на многообразие по известному решению перехода из точки на многообразие.

Фиг. 1

Применительно к данной задаче прием состоит в следующем.

Воспользуемся тем, что в переменных р, х, у начальной круговой орбите соответствует точка (ра, 0, 0); начальной эллиптической орбите — окружность лг2_|_у2 = е2 радИуСОМ е0) расположенная в плоскости р=Ро(е0); параболическим орбитам — круговой полуцилиндр «2: х2 -{-у2 — 1, р > 0. Далее, пусть известно экстремальное решение задачи перехода из точки (р0, 0, 0) на полуцилиндр $2> т. е. при £ = 0 известны х(0) = Хкр> Ф(0) = Фкр- То же решение дают и значения

1 = — Хкр, Ф = Фкр + *-

Пусть рх, ру, Рр — непрерывно дифференцируемые функции начальной точки (р0, х0; у0), тогда согласно теореме о неявных функциях соотношения (8) при достаточно малом е0 можно разрешить относительно х и Ф двумя способами. При достаточно малом е0 для двух экстремальных решений перехода с окружности радиусом е0 на «2 имеем приближенные формулы, определяющие недостающие начальные данные:

к. = Хкр. Ф = фкр; 1 ^

X = — Хкр» Ф = Фкр + |

Краевая задача решалась на ЭЦВМ с применением обобщенного метода Ньютона [4], причем при малых ео>0 в качестве первого приближения для решения краевой задачи брались значения, вычисляемые по формулам (9). Затем проводились параметрические просчеты по е0 и оба экстремальных решения были продолжены в область больших значений ео>0.

Результаты расчетов приведены на фиг. 1—4.

На фиг. 1 и 2 представлена зависимость функционала Т от начального эксцентриситета е0 для безразмерного начального возмущающего ускорения а, равного 0,53-10—1 и 0,1 -10 1 соответственно и 0 = О,ЫО—*. На обоих графиках

наблюдается одна и та же картина: на 1-м решении Т сначала убывает по е0, затем начинает возрастать, на 2-м возрастает. Таким образом, в отличие от случая, рассмотренного в работе [1], в данном случае существует оптимальное значение эксцентриситета. Поскольку обе ветви решения строятся с использованием необходимых условий оптимальности, априори нельзя отбросить ту или иную ветвь решения. В данной задаче оказалось, что вторая ветвь не дает лучшего решения по сравнению с первой. При непосредственном решении краевой задачи можно упустить нуж-ную ветвь решения, как это оказа-лось в работе [5] и отмечалось в до-работе [1] при решении аналогичной задачи.

На фиг.3 представлены оптимальные программы изменения радиального и трансверсального компонентов возмущающей силы для обоих решений при £0 = 0,3, я =

= 0,1 ■ 10 1, <7 = 0,Ы0~3. Особенностью оптимального управления на

/ 10 •

в 77

076

075

0,71

0.73.

гг , /1=0,1-ю'3 ]

/

/

/

г- /

г

У

(

I

/

}

/

У г

/

К

\

Vе !

\

•7 Ч

*

решемае / » г фиг 1 / ✓

л

/ г / г х аг

\Л л л \ /

/\ 1 \

\ V ч Ж ■ ^ / 1

-4... и \4"1 ~ 50 t

/

\ м к

Фиг. 3

-10

«♦ е.

в а

1 0=0,1 10’’, 2-0,1 !0~3, еп= 0,3 1

>,Г 1

< 1

у 1

л // Г—!

л, / / 1»

✓ решемае 1 „ / ■ фаг у А л /

/ у

0 /Г V ,

V е ~~ '

1 -У У 1—^ г

s Г о л * 7 % / /

& 'X ?< О л \ /

г г \ /

Фиг. 2

?5 $0

Фиг. 4

обоих решениях оказывается близость трансверсального компонента управляющего ускорения к постоянной величине на значительной части траектории при старте как с круговой, так и эллиптической орбит.

На фиг. 4 для тех же решений даны зависимости поведения эксцентриситета и радиус-вектора от времени.

Приложение

Предлагается метод* отыскания двух экстремальных решений при оптимальном переходе с замкнутого многообразия на некоторое многообразие s2 по известному решению задачи перехода из некоторой точки, внутренней к su на то же многообразие s2.

В соответствии с принципом максимума Понтрягина [2] задача отыскания управления и (t), доставляющего минимум функционалу

Л

J = J /о (•*> и) dt, (!.п>

при переходе фазовой точки с многообразия Sj на многообразие s2, сводится

к решению краевой задачи п порядка для системы

dx

~at=f{x,u), х^Х, u£U; (2.п)

dpi Л дГ

T = -ІP'P•, г‘ = 0...............»■ <3п>

а=0

а управление определяется из условия максимума по и функции

п

»); (Зап>

а=0

в (1.п) — (З.п) х = (хг....хп) — фазовая точка; / = (/°,.. ., /п); и = (и1,..., иг) —

вектор управления; />0=const<;0; р=(рь рп)~ вектор импульсов; функции f,

др

Y (J = 0......я; k= 1......п) определены на всем пространстве.

Рассмотрим задачу, в которой левый конец траектории свободно перемещается по гладкой замкнутой поверхности Si размерности т^п. Тогда условия трансверсальности на левом конце имеют вид

df \

Pj(xj) = k—j{xl), j—1........т;

дх[ (4.п)

Pm+i = const, i — т-\-\......п, j

где k = const, jtjgSi, f{xx) = 0 — уравнение поверхности sv Условия (4.п) означают, что /n-компонентный вектор р ортогонален к поверхности Sj размерности т j^n.

Пусть известно решение задачи оптимального перехода из некоторой

точки х0, лежащей внутри области, ограниченной поверхностью на многообразие s2. Рассмотрим подобное преобразование поверхности Sj с центром подобия х0 и коэффициентом подобия е:

х = х0 + в (jfj -- х0), x£s. (5.п)

При е=1 из (5.п) получаем хг—точку поверхности su при е = 0 получаем

точку хй, т. е. при этом поверхность стягивается в точку хй. Разрешая (5.п)

относительно Хх и подставляя в уравнение поверхности получим уравнение подобно преобразованной поверхности s:

/(*о+ Х ~ ~*°" j = 0, (б.п)

для которой условия трансверсальности имеют вид

Pj [хо-+■ * (*1 - *о)] = -у- -~j • (7-п)

k = const, j = 1,..., т.

* Основные результаты докладывались на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике {6].

Вводя константу к = ^в и учитывая (5.п), придадим правой части (7.п)

вид (4.п) и будем обозначать ее через

г 1 д/

Р; ко + £ (*1 — -*о)] = к -ц (х}) = Р] (А, хх). (8.п)

j= 1т.

Таким образом, правая часть (8.п), как и (4.п), задает направление нормали к поверхности $1.

Соотношения (8.п) вместе с уравнением /(лг,) = 0 определяют т + 1 неявных функций х\ х™, А от е. При е = 0 левая часть (8.п) равна Pj(x()) и по

условию задана.

Как известно, гладкая замкнутая выпуклая поверхность имеет два прямо противоположных заданных направления нормали. Поэтому при е = О соотношениям (8.п) и /(х1) = 0 удовлетворяют два решения х\,..., х™, к, причем в одном из них 0, в другом £<0. Предполагая, что Р]{х) непрерывно дифференцируемые функции и что

ас/. г,...,рт)

д (к, х\,..., х*)

согласно теореме о неявных функциях можно каждое из полученных при е = 0 решений продолжить для значений е>0. Параметрическими просчетами по е можно Каждое из этих решений продолжить до е = 1, т. е. в конечном итоге найти два экстремальных решения задачи перехода с поверхности в! на многообразие «2- Теорема 1 работы [3] гарантирует существование этих решений.

Итак, независимо от размерности поверхности ^ и порядка краевой задачи, оба решения последней находятся просчетами лишь по одному параметру е. Постепенное увеличение параметра е в этих просчетах означает соответствующее .раздувание* (подобным образом) поверхности а,, первоначально стянутой в точку ради определения двух наборов недостающих начальных значений.

При расчетах на ЭЦВМ оказывается удобным переход от х),.. ., х™ к обобщенным сферическим координатам г, ^............?т-1' так как выражения (8.п)

вместе с уравнением / (х) = 0 определены при любых значениях углов <р),.. ., <?т_1, кроме того, краевая задача формулируется, единым образом как для случая оптимального перехода с поверхности так и для случая оптимального перехода из точки х0 на многообразие в2.

Дадим формулы перехода от известного решения в одной системе координат к решению в другой системе координат.

Пусть известно решение оптимального перехода из точки х0 — (х$, ..., х2) в некоторую точку хк = .....хс начальными импульсами рх =

—(Р 1» Р 2’ ■ ■ • > Р л)и ПУСТЬ надо найти начальные импульсыру =/р р %,•••, Р Л

' *о ло V 0 * уо уо уо

в системе уравнений, записанной в переменных у — (у1, ■ ■ ■, уп), которые связаны с х1 соотношениями

•**=/. (.У1,

В пространстве переменных х1 найденное решение согласно [3] является экстремальным решением задачи оптимального перехода с гиперплоскости, проходящей через точку х0 и имеющей нормалью вектор рх = (р Р 2>•••./' л)>

0 ' хо хо хо'

в точку дг*. Уравнение гиперплоскости имеет вид

Р,1 (х1 ~ хо) +/».3 (■** - -*о) + • • • + Р,я (■*" - *о) - °- (9-п>

х0 *0 о

Так как в переменных .у* известное решение будет экстремальным в задаче оптимального перехода с поверхности (9.п) в соответствующую точку ук, то нормаль к ней в точке _у0 определяет направление вектора ру^ по формулам

д/\ , д/2 ( д/п

д/ь

Здесь -^-г берутся в точке _у0- В случае оптимальной задачи по быстродействию знак константы к определяется из условия //>• 0, абсолютная величина константы может быть произвольной, не равной нулю. В общем случае к определяется из условия Н — 0 и ф0 = соп81<;0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Л а р и ч е в а В. В., Рейн М. В. О решениях задачи оптимального перелета с эллиптической орбиты на параболическую в центральном гравитационном поле. „Космические исследования*, т. 6, № 2, 1968.

2. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1961.

3. Л а р и ч е в а В. В., Р е й н М. В. О многозначности экстремальных решений задач оптимального управления. ДАН СССР, т. 180, № 6, 1968.

4. И с а е в В. К., С о н и н В. В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач. ЖВМ и МФ, т. 3, № 6, 1963.

5. Sherman В. Low thrust escape trajectories. Proc. IAS Symp. on Vehicle Optim., N. Y., 1961.

6. Рейн М. В. Аналитичёский метод исследования многозначности экстремальных решений в задачах оптимального перелета. Сб. аннотаций докладов на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, изд. АН СССР, 1968.

Рукопись поступила 25jIII 1970 г.