Оптимальные одноимпульсные перелеты между сферой влияния планеты и орбитой ее искусственного спутника Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ТомI 1970

№ 5

УДК 629.78.015:531.55:523.3

ОПТИМАЛЬНЫЕ ОДНОИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ СФЕРОЙ ВЛИЯНИЯ ПЛАНЕТЫ И ОРБИТОЙ ЕЕ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА

В. А. Ильин, Н. А. Истомин

Рассмотрена задача определения одноимпульсных перелетов между сферой влияния планеты и эллиптической орбитой ее искусственного спутника (поле тяготения планеты принимается ньютоновским), обеспечивающих минимальную величину импульса перехода. Получено приближенное решение задачи в виде разложения параметра, характеризующего оптимальную точку перехода на орбите ИС, по степеням эксцентриситета орбиты ИС с точностью до членов второго порядка малости. Показано, что приближенное решение хорошо согласуется с точным до значений эксцентриситета 0,4—0,6.

При расчете оптимальных траекторий космических аппаратов (КА) по методике сфер влияния [1] во многих случаях траектория КА в поле основного тела (Земли или Солнца) может быть определена независимо от траектории в поле меньшего тела (Луны или планеты). Задача определения движения КА в поле меньшего тела сводится к построению его траектории, имеющей на сфере влияния

заданный вектор скорости УСф. Вектор Vcф свободно перемещается по сфере; положение его на сфере влияния фиксируется после определения планетоцентрического движения. Примеры, решения такого рода задач приведены в [2] — [4]. С другой стороны, достаточно простые решения задач о планетоцентрическом движении КА могут быть использованы для оптимизации траектории в целом.

Пусть на сфере влияния планеты, поле тяготения которой считается ньютоновским, задан свободный вектор КСф. Требуется построить гиперболическую траекторию одноимпульсного перехода КА на заданную орбиту ИС планеты или траекторию схода с нее, обеспечивающую минимальную величину импульса

скорости Д\Л Общий метод решения этой задачи изложен в [3]. Там же с его

помощью дано точное решение для круговой орбиты ИС. Для эллиптической

орбиты ИС Луны получено приближенное решение при условии, что вектор VcФ составляет малый угол с плоскостью орбиты ИС. Ниже получено приближенное

решение при произвольной ориентации вектора Vcф относительно плоскости эллиптической орбиты ИС.

Импульс перехода ДК на эллиптическую орбиту ИС или схода с нее [3]

Д V = |^3 -j- 4 е0 cos ft + х + — 2 е0 sin be sin r, j/~—

- f- ( Vх + p (1'^ cos P) + ^ - cos2 p] • (i>

Здесь К — гравитационная постоянная планеты; р, е — фокальный параметр и эксцентриситет конического сечения, индекс 0 относится к орбите ИС; &, т;— истинные аномалии точки перехода в плоскостях орбит ИС и гиперболы соот-Ро

ветственно; % = —; а — действительная полуось переходной гиперболы); а =

= sin2 (Т^сфУя); Ул —орт, нормальный к орбите ИС; со стороны орта jn движение по орбите происходит против часовой стрелки; cosfi=cos(p 1/Сф)(0<р<я), где р — планетоцентрический радиус-вектор точки перехода на орбите ИС. Входящие в (I) величины связаны соотношениями

~ = 1 + е0 cos 0; (2)

Vf-VfVf- <з>

причем

= yr~Tir sin2 ? + 1 ± cos р + -7=г sin Р;

(4>

е sin Y) = + У Л — (^-у- — 1 J , (5)

Р

2

где

(6)

р а

Истинная аномалия & однозначно связана с cosр:

„ m I ,-----------

sin & = —у cos р — ~уУз — cos2 р, (7.1)

„ m _ .------------/

cos 0 = —у у а — cos2 р -f- —у cos р, (7.2)

, ^=Ф

где / и m — проекции единичного вектора —z;— на орт j„, направленный в пе-

- -* 1 Ксф 1 рицентр орбиты ИС, и орт jy—\jn, jp] соответственно.

Приведенные соотношения описывают переход по дуге гиперболы без перицентра (маршрут А) или с перицентром (маршрут В+) [3]. Для этих маршрутов поворот от popt к КСф на угол р происходит в направлении движения по гиперболе [3]. При оптимизации такого перехода реализуется minminAV. В (1) и (4) верхний знак перед cos р соответствует выходу на орбиту, нижний — сходу с орбиты. В (5) знак соответствует маршрутам А (сход) и В+ (выход),

знак “ маршрутам А (выход) и (сход).

При заданных параметрах х, е0, а, I и m точка перехода на орбите ИС находится путем решения относительно cos р соотношения

^sl-о (8)

д cos р “

После определения точки перехода на орбите ИС по векторам popt и Vcф переходная гипербола определяется в соответствии с изложенной в [3] методикой.

Выражение (8) настолько сложно, что определение cos popt из него возможно только в случае круговой орбиты. В случае эллиптической орбиты ИС при условии е0 « 1 полагаем

COS Popt = cos popt 1 go=0 + Acos p (9)

и Acosji ищем в виде ряда по степеням е0. Поскольку коэффициенты получающегося разложения достаточно громоздки и могут быть найдены лишь численно,

ограничимся в этом ряду лишь первым членом. Подставляя (9) в (8) с учетом (2) — (7), получим с точностью до членов порядка :

Д COS р = j ft (х, a) yj ± fm (х, а) “г j е0. (10)

При переходе от выхода на орбиту к сходу с нее УСф заменяется на — Ксф, при этом cos p0pt и I меняют знаки, а т не меняет [3]. Этим объясняется двойной знак перед о) в (10).

Заметим, что при ей = 0 оптимальный переход между сферой влияния и орбитой ИС происходит по маршруту А. В случае же эллиптической орбиты ИС оптимальный переход может происходить по маршрутам А, В+ .

При з=1, полагая а=1 —Да, Да < 1, аналогично (10) получим:

д cos р = + /„ Да + [ ft (х) + fm (*)] е0, (11)

где

/« =

з X (1 *) ’

fl =

fm ('■) :

(1 +*)3

/'(2 + *)* (1+х)з

1-2 (^4"- (/2+х-О

х + 2 ■

(к 2 + х- 1)

(12)

(13)

(14)

Функции fi (х), /т (х) являются предельными для /j(x, о), /ш (х, а):

fl (х) = litll /г (х, а).; fm (х) = llm fm (х, а).

, U-*. 1 3-*- 1

Двойные знаки в (11) объясняются так же, как и в (10).

Структура соотношения (10) позволяет вместо пятипараметрических зависимостей cos jiopt(■*•> е0,а,1,.т) использовать двухпараметрические зависимости для cos 30pt (х, a) I e _Q, fl (х, и), fm (х, а). Графики функций /г(х, а) и /т(х, а) приведены на фиг. 1.

---п?ачнае значение

' .----праОлименнае значение по (10)

---лраЯмженнаезначение па (Л)

- 'тачное значений

> _----лраОлиженнее

значение по (/О)

----ппаВлаженное значение по (И)

Фиг. 2

Фиг. 3

Для оценки точности приближенных зависимостей (10) и (11) было проведено

о

сравнение точных оптимальных значении cos р и-------------, полученных численно

У KlPo

из (1), с приближенными значениями, полученными с использованием (10) или (11).

А ^ТОЧН Д ^прибл

Расчеты показали, что при относительной точности -------------гг,-------<!1%

а Vточн

формулой (10) можно пользоваться до значений е0 = 0,4 ч-0,6 при х> 1,5-^2,0 и любых а. При той же точности формулой (11) можно пользоваться для хг1 до » = 0,8-МЗ,6 и е0 = 0,2-f-0,25, для х > 1 — до с = 0,4 и е0 = 0,4ч-0,6. На фиг. 2 и 3 сравниваются точные и приближенные значения cos р (для выхода на орбиту) AV

И VKlPo '

Результаты исследования показывают, что линеаризованными соотношениями (10) и (11) можно пользоваться и при немалых е0. При оптимальных переходах между сферой влияния и орбитой ИС импульс перехода для семейства орбит с фиксированным фокальным параметром р0 очень слабо зависит от е0. Как показал анализ численных расчетов, это в значительной степени обусловлено

взаимной компенсацией при изменении е0 второго и последнего члена в (1). Отмеченная особенность позволяет при оценках потребной энергетики переходов сфера влияния — орбита ИС использовать приведенное в [3] простое аналитическое решение для круговых орбит ИС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бэтти н Р. Наведение в космосе. М., „Машиностроение",

1966.

2. И л ь и н В. А. К расчету траекторий перелета космических аппаратов между компланарными круговыми орбитами в ньютониан-ском гравитационном поле. .Космические исследования", т. 2, вып. 5, 1964.

3. И л ь и н. В. А., Истомин Н. А. Приближенный синтез оптимальных траекторий Земля — Луна — Земля с выходом на орбиту искусственного спутника Луны. .Ученые записки ЦАГИ*, т. I, № 1, 1970.

4. Ильин В. А„ Д е м е ш к и н а В. В. Исследование траекто-

рий космического аппарата, стартующего с поверхности Луны и возвращающегося в атмосферу Земли. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 3, 1970. '

Рукопись поступила 26\1 1970 г.