CC BY
54
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VI 197 5
№ 6
УДК 629.78.0) 5.076.6:521.3.002.23
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ С ОРБИТ ИСЗ НА ОРБИТЫ ИСЛ И ОБРАТНО В СЛУЧАЕ ФИКСИРОВАННОЙ ПЛОСКОСТИ ОРБИТ ИСЛ
Л. И. Гусев
Рассматривается способ вычисления характеристических скоростей двухимпульсных перелетов между круговыми орбитами ИСЗ и ИСЛ для случая фиксированной плоскости орбиты ИСЛ и определяется ориентация плоскости селеноцентрической гиперболы, образующей минимальный угол ^тщ с заданной орбитой ИСЛ как при полете от Земли к Луне, так и при возвращении от Луны к Земле. Предлагаемый способ использует результаты [3], полученные при решении задачи в точной постановке, и обеспечивает вычисление суммарной характеристической скорости с погрешностью менее ± 15 м/с без решения краевой задачи.
Рассматриваемые траектории перелета между орбитами ИСЗ и ИСЛ с временем перелета от 2 до 10 суток реализуются с помощью двухимпульсных переходов. Поскольку плоскость круговой орбиты ИСЛ фиксирована, то у Луны имеет место пространственный одноимпульсный маневр перехода с круговой орбиты на гиперболическую, подробно исследованный в [1, 2]. Однако решение задачи [1, 2] проводилось при заданных векторе скорости „на бесконечности"
^00 и Угле Ф между плоскостью круговой орбиты ИСЛ и плоскостью гиперболы.
Вычисление угла 41 связано с определенными трудностями и, как показано далее, оптимальные переходы [1, 2] следует искать при минимальных ф = 'Кшт значения которых для каждой фиксированной плоскости орбиты ИСЛ зависят
от Удо или от времени перелета /п между орбитами ИСЗ и ИСЛ и от угла между плоскостью орбиты Луны и плоскостью невозмущенной геоцентрической орбиты а.
В этой связи оптимум, получаемый согласно [1, 2], является локальным. Для выявления глобального оптимума необходимо вычислить фпиш значение которого определит и аргумент широты нос на орбите ИСЛ, в котором нужно прикладывать импульс. Далее оптимизация может быть проведена как в [1, 2].
1. Постановка задачи. Пусть вблизи Земли и Луны имеется множество круговых геоцентрических орбит у и селеноцентрических -орбит уи оскулирующие элементы которых й, /, р, е, (о, и обозначаются индексами ,0“ и „0с“ соответственно. Здесь £2 — долгота восходящего узла, / — наклонение, р — фокальный параметр, е — эксцентриситет, <о— аргумент широты перицентра, и — текущий аргумент широты.
Множество у содержит траектории с е0 = 0; Ро — 6422 6700 км; г0 = 40° —
— 160°. Долгота узла 20 орбит множества у произвольна. Множество уг содержит траектории с £ос = 0; Рос — 1800 — 2500 км; /ос = 0— 180° и с фиксированной долготой узлов 20с.
Рассматривается множество № траекторий перелета с орбит у на орбиты у1 и обратно при временах перелета от 1 до 10 суток. При этом переход с траекторией из у на траекторию из IV осуществляется с помощью импульса скорости Д У1, а переход с траектории из № на траекторию из уг производится с помощью импульса скорости ДУ2. Тогда суммарная характеристическая скорость перелета с орбит из_у на орбиты из уи как и с орбит из уг на орбиты из у, (в силу обратимости движений, см., например [3])
. ДИ = ДУ'1 + ДУ8. (1)
Метод вычисления величины импульса изложен в [3]. Рассмотрим способ вычисления импульса Д1/2.
Введем в рассмотрение множество селеноцентрических гипербол у$, расположенных внутри сферы влияния Луны и являющихся участками траекторий множества №.
Результаты численных расчетов траекторий перелета космического аппарата (КА) между орбитами у и У] с учетом притяжения Луны, Солнца и несфе-ричности Земли и результаты [4, 5] показывают, что скорость КА Ус относительно Луны на траектории из у2 после приложения импульса не зависит от
Фиг. 1
ориентации плоскости орбиты ИСЛ и постоянна, если траектории из УР имеют равные значения времени перелета tп, угла о, радиуса условного перигея и произведения У1 вш Здесь углом о, как и в [3], обозначается наклонение плоскости траектории из УР к плоскости орбиты Луны, а ^ и есть скорость и истинная аномалия Луны. Тогда, обозначая скорость на орбите ИСЛ И0 с
и угол между векторами, пульса (фиг. 1).
Vc и Ц)с через фг» можно определить величину им-
ДУ2=|д^+4Уос(УОС
- ДУс) Sin2-±2 12 ' 2
(2>
где ДУС — минимальный импульс скорости, определяемый, по методу [3].
Из формулы (2) видно, что минимальный импульс (ДУ2)Шт = ДУС при = т. е. когда в результате; маневра ориентация плоскости орбиты не изменяется.
Величина угла фг в оптимальном случае [1] зависит от 1/^ и ф- При известном угле ф определение <р2 проводится по формуле
COS = Sin Tic cos Ip,
(3)
где i)c—угол между радиусом — вектором р и вектором скорости Vc в точке приложения импульса ДК2 "(см. фиг. 1).
В [I] показано, что для одноимпульсного оптимального перехода с круговой орбиты на гиперболическую и обратно не представляется возможным получить конечное аналитическое выражение для i)c. Численные оценки с использованием результатов [1] показали, что для всего многообразия траекторий № sin *]с = 1,0-5-0,95, если угол i изменяется от 0 до 70°. Значит для всех практически важных случаев, когда ^<90°, уменьшение ф при прочих равных условиях всегда приводит к уменьшению импульса ДУ2.
Ю—Ученые записки ЦАГИ № 6
125
2. Определение угла между плоскостью орбиты ИСЛ и плоскостью гиперболы. Для определения угла ф воспользуемся результатами [5], где показано, что всякая траектория из \У пересекает границу сферы влияния Луны вблизи оси пучка траекторий. Отклонение траекторий из IУ от оси пучка для граничных условий у и у1 не превышает +1,5°. Направление оси пучка, задаваемое в селеноцентрической системе координат углами а0 и 30, зависит от времени перелета £п, от угла о и от положения Луны на орбите, задаваемого как и в [3]
произведением V'1sin&1. Угол а0 отсчитывается в плоскости орбиты Луны от вектора, направленного из центра Луны в центр Земли. Положительным направлением считается движение против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора кинетического момента Луны. Угол 80 отсчитывается от плоскости орбиты Луны и принимается положительным, если поворот осуществляется в сторону вектора кинетического момента Луны. Фактически ocq и В0 представляет собой селеноцентрическую долготу и широту точки на сфере влияния Луны, через которую проходит попадающая в центр Луны траектория.
Зависимость а0; Ь0 от tn, а и Vj sin не может быть выражена аналитически, поэтому она получена численным путем и представлена на фиг. 2 и 3. Ввиду симметрии движений на фиг. 2 по оси ординат дано два масштаба, соответствующие перелетам из у в у! и из yt в у, а на фиг. 3 дано двойное обозначение каждой кривой 50=/(з), соответствующее без скобок перелету из у в у1} а со скобками — перелету из У] в у.
Поскольку на фиг. 2 изображено изменение параметров а40, где а40 — селеноцентрическая долгота оси пучка траекторий для угла а = 40° и дс^/да в зависимости от времени полета tn Сф между Землей и сферой влияния Луны, то для текущего значения угла а величину oq приближенно можно определить по формуле
ао = а4О + -$М*-40°). (4)
(73
Связь между временами tn Сф и t„ осуществляется с помощью зависимости времени движения в сфере влияния Луны tc от fn и 0 (фиг. 4), полученного в результате точного решения задачи.
Таким образом, для любого положения Луны, времени перелета ta и угла а с помощью графиков фиг. 2, 3 и 4 вычисляются направляющие косинусы оси пучка траекторий.
Далее полагаем, что всякая траектория из у2 проходит как через точку орбиты из у! с аргументом широты и0с, так и через точку с координатами а0,
т
МИф
Є -аиф
50 на сфере влияния Луны. Тогда плоскость траектории из у3 с оскулирующими элементами Йс, гс, рс, ес, о>с, ис, содержит селеноцентрические радиусы-векторы точки перехода на орбите ИСЛ р0с и точки на сфере влияния Луны рс, компоненты которых в селеноцентрической системе координат определяются выра-
жениями
(РО c)f; = C0S “О с C0S Q0 с — sin “О с sin Q0 с C0S г0 с'> ]
(pSc)1 = cosa0csinS0c + sinM0ccos Q0cCOS«0c; I (5>
(Poc>c = sin aocsin ‘ос; I
(p°)E = cos s0 COS a0; (p^ = COS 80 sin o0; (pj!)c = sin B0; (6)
здесь орты селеноцентрической системы координат Sir,С соответствуют
|0 = _ Л со„= . ^0 = 10 (7)
i V, rtj
где гь — радиус-вектор и вектор скорости Луны относительно центра Земли.
Следовательно, нормаль к плоскости траектории из у2 в селеноцентрической системе координат ЭД определена следующим соотношением:
pS С Рс
1ЙСЙ
(8)
Для каждой пары фиксированных Й0 с, i0 с минимальное значение угла ф = фш!п определяется по формуле
s*n ^min “ с Рс • (9)
Аргумент широты мос, соответствующий углу фш!п, вычисляется с помощью сле-
дующих соотношений:
«о с = к ± 90°; cos и= d° a; sin и = d° Ь°;
J (10)
а° = (cos й0 с; sin й0 с; 0);
9° = (—cos <о с sin Q0 с; cos «Occos Soc; sinr0c);
здесь компоненты вектора р^ определяются с помощью (6), а направляющие
косинусы вектора с° с в той же системе координат '
(Сц с )£ = sin i0 с sin 20 с;
(®0 с )т] == — Sin г0 с COS Q0 с'> (11>
(? с \ = C0S /о С"
В случае заданного из каких-либо соображений аргумента широты ц0с величина угла ф определяется однозначно
cos 4< = cgc с®,
(12)
где с0 вычисляется с помощью (8).
3. Определение оптимального импульса. Теперь ясно, что задача вычисления импульса АУ2 подразделяется на два варианта в зависимости от способа определения аргумента широты иос точки на орбите ИСЛ, в которой прикладывается импульс скорости ЛУ2.
Если аргумент широты и0с не задан, то, учитывая (2), (3), целесообразно определить его по формулам (10) из условия реализации 4<mjn (9). Далее согласно [1] по заданному времени перелета tn и углу фш!п вычисляется величина sin т)с, соответствующая оптимальной ориентации оси абсид гиперболы из _у2 относительно точки приложения импульса. Последовательное вычисление по соотношениям (3) и (2) дает минимально возможную величину импульса ДУз = Д1/2 в данной постановке задачи.
Если аргумент широты иОс— и0с задан, то угол ф определяется однозначно по формуле (12), а величина импульса ДК2, определяемая из (2) и (3) с учетом оптимизации по [1], будучи оптимальной для заданного иос, всегда будет больше импульса ДК2.
Расчет примеров для различных дат и траекторий по формулам (2) — (12) с использованием графиков фиг. 2 и 3 и результатов работ [1, 3] показал, что погрешность вычисления суммарной характеристической скорости ДК составляет не более ± 15 м/с по сравнению с точным решением. При этом получение результата возможно при малых затратах времени, так как не связано с численным интегрированием и решением краевых задач. Метод может быть использован как в графоаналитическом варианте, так и в варианте, использующем ЭЦВМ.
В процессе вычисления импульса ДК2 и углов ф и ф2 из плана скоростей (см. фиг. 1) определяется и угол ф) между векторами ДК2 и Voc.
I n с "Ь AVc ■ ■ ■ ■ Фа
sin 4*1 = - ду ---Г Sin [arc COS (sin ф2)] Sin ~2~ . (13)
Использование значений ДК2 и полученных по формулам (2) и (13), в качестве начальных значений свободных аргументов при решении краевых задач обеспечивает устойчивую-сходимость решения.
Заметим, что для вычисления угла ф можно воспользоваться и результатами [6], где определяются компоненты вектора скорости „на бесконечности* ,
использование которых вместо компонент вектора р® (5) позволяет приближенно построить ПЛОСКОСТЬ гиперболы ИЗ множества У2■
В предлагаемом методе высокая точность определения суммарного импульса ДК достигается за счет точного вычисления направления оси пучка траекторий на сфере влияния Луны для всего исследуемого многообразия движений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивашкин В. В., Скороходов А. П. Оптимальный пространственный одноимпульсный переход гиперболической орбиты на круговую. Космические исследования, т. IX, вып. 4, 1971.
2. И л ь и н В. А., И с т о м и н Н. А. Приближенный синтез оптимальных траекторий Земля-Луна-Земля с выходом на орбиту ИСЛ. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.
3. Гу сев Л. И. Метод определения характеристических скоростей при перелетах космического аппарата с орбит ИСЗ на орбиты ИСЛ и обратно. Космические исследования, т. XII, вып. 5, 1974.
4. Е г о р о в В. А. Пространственная задача достижения Луны. М., „Наука", 1965.
5. Г у с е в Л. И. Исследование формирования траекторий на сфере действия Луны. Доклад на IX чтениях, посвященных разработке научного наследия К. Э. Циолковского. М., 1974.
6. Е г о р о в В. А;, Золотухина Н. И., Тесленко Н. А. Выбор траекторий возвращения к Земле с орбиты искусственного спутника Луны. Космические исследования, т. XI, вып. 3, 1973.
Рукопись поступила ЗЦН 1975 г.
