Приближенный синтез оптимальных траекторий Земля-Луна-Земля с выходом на орбиту искусственного спутника Луны Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ І970

№ 1

УДК 629.78.015 : 531.55 : 523.3

ПРИБЛИЖЕННЫЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЗЕМЛЯ—ЛУНА—ЗЕМЛЯ С ВЫХОДОМ НА ОРБИТУ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЛУНЫ

В. А. Ильин, Н. А. Истомин

Рассматривается приближенный метод синтеза оптимальных траекторий орбита ИСЗ — орбита ИСЛ — атмосфера Земли.

Показано, что расчет геоцентрических участков движения проводится независимо от расчета селеносферического участка движения с помощью методики, разработанной ранее для расчета траекторий облета Луны. Определение параметров селеносферического участка сводится к решению задачи о построении гиперболы, проходящей через заданную точку на орбите ИСЛ и имеющей на сфере действия Луны заданный вектор скорости.

Для случая круговой орбиты ИСЛ получено аналитическое решение задачи об оптимальном одноимпульсном выходе на орбиту ИСЛ или сходе с нее. Для эллиптической орбиты ИСЛ малого эксцентриситета получено приближенное решение той же задачи в виде первого члена разложения решения по степеням эксцентриситета. Для круговой орбиты ИСЛ решена задача оптимизации ее высоты.

Установлены правила пересчета ориентации в пространстве орбиты ИСЛ и селеносферической гиперболы, которые обеспечивают инвариантность движения аппарата по новой оптимальной гиперболе относительно новой орбиты ИСЛ при замене геоцентрического маршрута перелета с без-апогейного на апогейный и, наоборот, при отображении геоцентрической траектории относительно плоскости орбиты Луны и при обращении направления движения по траектории.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И СХЕМА ЕЕ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим следующую задачу. При старте с заданной орбиты ИСЗ (точка 0) космический аппарат выходит на заданную орбиту ИСЛ (от точки 1 до точки 2) с минимальным импульсным приращением скорости в точке 2 (фиг. 1). После пребывания на орбите ИСЛ в течение заданного времени 4з аппарат сходит с нее (от точки 3 до точки 4) с минимальным импульсным приращением скорости и совершает перелет к Земле с входом в ее атмосферу (точка 5) и последующей посадкой в заданном районе поверхности Земли.

Конечную орбиту ИСЛ, с которой аппарат стартует к Земле, можно считать заданной, например, при непродолжительном пребывании аппарата на орбите ИСЛ, при отсутствии управления эволюцией орбиты ИСЛ в случае длительного пребывания аппарата на орбите ИСЛ, при наложении ограничений на конечную орбиту ИСЛ, обусловленных условиями возврата к Земле. Полагая в дальнейшем, что конечная орбита ИСЛ задана, будем рассматривать траектории выхода на орбиту ИСЛ 012 и схода с орбиты ИСЛ 345 независимо друг от друга. Поставленная задача может быть решена с помощью методики сфер действия [1], [2];

при этом задача сводится к численному решению достаточно сложной системы конечных трансцендентных соотношений при наличии ограничений.

Сделаем следующие предположения:

1) воздействие Луны на аппарат ограничивается пределами ее сферы действия;

2) при расчете геоцентрических участков радиус сферы действия Луны рСф полагается нулевым;

3) при расчете селеносферических участков движения 12 и 34 орбита Луны заменяется круговой орбитой с постоянными элементами; соот-

ветствующие векторы орбитальной скорости Луны Ул считаются неизменными;

4) активные участки при старте с орбит ИСЗ и ИСЛ и при выходе на орбиту ИСЛ заменяются импульсным приращением скорости.

Первые три предположения позволяют для приближенного решения указанных задач воспользоваться общей схемой синтеза траекторий облета Луны, изложенной в [3]. Расчет геоцентрических участков перелетов Земля—Луна и Луна—Земля проводится независимо от расчета селеносферического участка движения и в соответствии с методикой работы [3] сводится к выполняемым независимо друг от друга построению плоскостей перелетов Земля—Луна и Луна—Земля и расчету параметров дуг конических сечений перелетов в найденных плоскостях.

Геоцентрические радиус-векторы Луны и аппарата задаем с помощью обычной системы элементов; модуля радиус-вектора г, наклонения плоскости орбиты к плоскости экватора I, долготы восходящего узла 2 и аргумента широты и. Имеем для Луны

гл (гл> *л> %1> ил)> Для аппарата в момент старта с орбиты ИСЗ

г0(г0, /„1, 2,1, и0), в момент подлета к сфере действия Луны г\ (гь *01» 2ои и1)> в момент вылета из сферы действия г4(г4, г45,245, иА), в момент прохождения условного перигея гъ = гп(гт /46, 245, и5). Обозначим через а угол между плоскостью орбиты Луны и плоскостью перелета; а равен углу между Ул и трансверсальной компонентой вектора геоцентрической скорости аппарата и( в точках 1 или 4; а>0, если кратчайший поворот от и( к Уд виден в направлении от Земли к Луне происходящим против часовой стрелки.

Задавая /л, ил, ¿45, направление движения аппарата по отношению к полюсам Земли, характеризуемое величиной вёл сое и4, и угловую дальность перелета Луна—Земля Дт)45, можно, исходя из

равенства г4 = гл, найти и4, иь, а4 и географическую широту условного перигея срп. Аналогично, задавая ¿л, «л, ¿01> sgncosИlI найдем

и <*!, исходя из равенства г1 = гл. Величина м0 и широта точки старта с орбиты. ИСЗ % находятся после определения параметров кеплеровой дуги перелета Земля—Луна.

Траектория перелета Луна—Земля представляет собой дугу конического сечения в определенной выше плоскости с перигей-

ным радиус-вектором гп, проходящую через радиус-вектор гл ;

гл)==^7!«- Фокальный параметр р15 и эксцентриситет е45 этого перелета определяются по формулам

Задавая Дт)45, г5 и гл, можно определить все динамические параметры перелета Луна—Земля.

Траекторию перелета Земля—Луна рассматриваем как дугу конического сечения в соответствующей плоскости, соединяющую

точки с радиус-векторами г0 и гл. Считаем, что старт в сторону Луны происходит с круговой орбиты ИСЗ радиусом г0 с заданной величиной импульса скорости Д£/0. Тогда

где 1/0, ий{ — геоцентрическая скорость аппарата и ее трансверсаль-

ческая скорость на расстоянии г0 от центра Земли, К® — гравитационная постоянная Земли. Соотношение (1.1) вследствие интегралов энергии, момента количества движения и равенства и2 — Щ + (Я, где и, и,— геоцентрическая скорость аппарата и ее радиальная компонента, задает связь между двумя из трех величин и, иг и Для определения дуги перелета Земля—Луна необходимо задать еще одно условие, например, задать продолжительность этого перелета. В дальнейшем считаем, что задачи опреде-

(1.1)

ная компонента в начальной точке;

У

к®

—— — первая косми-Гп

о

ления перелетов Земля—Луна и Луна—Земля решены, в результате чего определены векторы геоцентрической скорости аппарата

в точках входа их и выхода V4 на селеносфере.

2. ДВИЖЕНИЕ АППАРАТА В СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ ЛУНЫ

В качестве основной селеноцентрической системы координат рассматриваем правую прямоугольную систему хсусгс (см. фиг. 1): ось + хс является продолжением геоцентрического радиус-вектора

центра Луны гЛ) ось-}-.ус направлена по вектору 1/л. Введем также систему сферических координат: долготу 0<Д.<360о, отсчитываемую от вектора — хс в плоскости хсус против часовой стрелки, если смотреть с оси -4- 2С; широту —90° -<90°, отсчитываемую от

плоскости хсус, sgn<p = sgnzc и радиальное расстояние р.

В проекциях на оси хс, ус, гс векторы селеноцентрической скорости аппарата в точках 1 и 4 УСф — 1/ — Ул имеют компоненты

Усф — {УГ> и{СО%<х—Уп, С^па}; (2.1)

здесь всегда 0, а и1г> 0, ¿/4г< 0 для геоцентрического маршрута А, не содержащего апогея, и1г<0, £/4,>0 для геоцентрического маршрута С, содержащего апогей.

Орбиту ИСЛ задаем фокальным параметром рс, эксцентриситетом ес и правой тройкой ортогональных ортов /п, ¡у, /„; /п направлен в перицентр орбиты, у'„ направлен по нормали к орбите так, что с его конца движение по орбите видно происходящим против часовой стрелки.

Рассмотрим для определенности выход на орбиту ИСЛ (фиг. 2).

Обозначим через р радиус-вектор, направленный в точку выхода на орбите ИСЛ, и через р — угол между векторами р и Ксф,

Орт, нормальный к плоскости гиперболы, зададим в виде

Г = + [р ’ ^сф1 (2 2)

± sinp ’ [¿-Z)

где р° = , Кф = К°Ф • Вектор i„ направим так, чтобы с его

|р| !^сф1

конца движение по гиперболе было видно происходящим против часовой стрелки. Для бесперицентрического маршрута А выхода на орбиту ИСЛ в (2.2) всегда берется „4-“, для перицентрических

же маршрутов В возможен поворот от р к 1/Сф на угол р как в направлении движения по гиперболе, так и против него. В первом

случае в (2.2) берем „ + “ и соответствующий маршрут обозначаем через В+, во втором случае в (2.2) берем „—“ и соответствующий маршрут обозначаем через В~.

Орт in, направленный в перицентр гиперболы, представим в виде

Гп = !*р°+уй;ф, (2.3)

где •

COS Tj — COS ¡3 COS (y¡ + P)

Sin2P

COS (-rj + P) — COS P COS Tj

sin2 p

(2.4)

(2.5)

В (2.4) и (2.5) через ^ обозначена истинная аномалия вектора р в плоскости гиперболы, знак перед р соответствует маршрутам А и В+, знак „ — “ — маршруту В~. Орт 1у, дополняющий систему-до правой, равен гп].

Аналогично поступаем в случае схода с орбиты ИСЛ. Поскольку сход с орбиты ИСЛ можно рассматривать как результат обращения движения для выхода, имеем 1^Сф4=— УСф 1 и

Р84==«-Р12- (2-6)

В этом случае р. не меняет, а V меняет знак, что компенсирует изменение знака УСф в (2.3), поскольку *п в обоих случаях один и тот же.

Как следует из второго и третьего предположений (см. разд. 1), задача определения селеносферического движения аппарата сводится к построению гиперболы по заданному свободному —► *—►

вектору УСф на сфере действия Луны и вектору р. Учитывая, что для всех практически интересных орбит ИСЛ -^->1, можно положить = оо, т. е. приближенно считать, что в окрестности

сферы действия движение аппарата происходит по асимптоте гиперболы. Решение задачи о построении планетоцентрической гиперболы по векторам р и Ксф (рСф = °о) приведено в [4].

При указанном предположении гиперболу можно также рассматривать как перелет между, векторами р! и р2 (выход на орбиту ИСЛ) с заданной угловой дальностью я + р или р3 и р4 (сход с орбиты ИСЛ) с угловой дальностью ¡3 или 2тс — р. В этом случае имеем связь между фокальным параметром р и эксцентриситетом е

гиперболы, даваемую соотношением (21) из [5] при я=^ = оо:

„2 о 1 иЬ СОБ Р 0 1+СР8р Р , 1 [ РУ Г97

эт2 р вт2 р р в1п2 р ^ р у ‘

Поскольку известна большая полуось гиперболы а = К

л где Кл — гравитационная постоянная Луны, имеем

КсФ - 2

. ^ сф

также

«»=-£-+1, (2.8)

Исключая е2 из (2.7) и (2.8), получим

Vу= уЛ1г181п2р+1±со5р±4-'/^81пр- (2-9)

В (2.7) и (2.9) и в дальнейшем верхний знак перед соэр соответствует выходу на орбиту ИСЛ, нижний знак — сходу с орбиты ИСЛ

[см. (2.6)]. Знак перед вторым радикалом соответствует перелетам по маршрутам А, В+, знак » —“ — перелетам по маршруту В~.

Как указал В. С. Вождаев (для случая схода с орбиты), это же соотношение может быть получено и с использованием формулы

81п ь = ~, (2.10)

где 8 — угол между векторами УСф и 1у [6].

В [3] показано, что формула (2.10) справедлива с точностью ( Р V

до величин порядка ( —— ) , откуда следует и весьма высокая точ-

\ Рсф /

ность соотношения (2.9).

Перелеты А и В+ при изменении р непрерывно переходят друг в друга. Граничным между этими перелетами является перелет, пересекающий орбиту ИСЛ в перицентре гиперболы. Обозначая соответствующее граничное значение р через р, имеем

С08Р = +----?-------. (2,11)

- 1 + -Ра

В случае выхода на орбиту ИСЛ при Р<~Р реализуются маршруты В+иВ~, а прир>р — маршруты А и В~. В случае схода с орбиты ИСЛ при Р<Р реализуются маршруты А и В~, а прир>р — маршруты В+ и В~.

Соотношения (2.2) — (2.5), (2.8) и (2.9) полностью решают задачу определения параметров селеносферического движения аппарата. Заметим, что приведенные результаты дают приближенное решение задачи синтеза траекторий орбита ИСЗ — поверхность Луны, поверхность Луны — атмосфера Земли в случае замены активного участка при посадке на поверхность Луны или при старте с нее импульсом тяги.

Обозначим через V вектор скорости аппарата на гиперболе и

через v — вектор скорости аппарата на орбите ИСЛ в точке выхода на орбиту или схода с нее. Вектор импульса скорости в этой

точке равен AV— + (v—V), откуда

Д1/2 = г)Ч^-2 (®, V, -f v, Vt cos -у); (2.12)

здесь v„ Vr— радиальные компоненты векторов v и V; vt, Vt — трансверсальные компоненты этих же векторов (в соответствующих плоскостях); 7 —угол между плоскостями орбиты ИСЛ и гиперболы (т>0, если кратчайший поворот от Vt к vt в направлении вектора р виден происходящим против часовой стрелки).

Чтобы исключить траектории с чрезмерно большими импульсами скорости, ограничимся рассмотрением только случая cost>0. На основании (2.2) имеем

—> —► о

со8-г = + -(р°’-^с^ /я- • (2-13)

* — sm р v '

Используя (2.12), (2.13), (2.9), интеграл энергии и соотношения

/W т/ _ло1_УХл в,пЛуГКл >

V — JL."“!' Vг = е sin ч, v = v==esin

‘ p ’ r ‘ p * p ’ ' V Pe

где 0 — истинная аномалия в плоскости орбиты ИСЛ, получим ДИ2

Knlp,

= 3 -{- х -f- е\ -f- 4ес cos S — 2ес sin be sin 1¡ ~ —

[ (P°, ^сф, /„) I, (2.14)

Pe

где x== ^ •

При фиксированных параметрах орбиты ИСЛ и векторе УСф

Д V является функцией радиус-вектора р точки на орбите ИСЛ и как периодическая функция & достигает минимума. При решении задачи определения оптимальной точки на орбите ИСЛ, доставляющей тШД1/, в качестве независимой переменной вместо & удобно взять ¡3 (см. ниже разд. 3).

Обозначим направляющие косинусы УСф относительно осей

/п) }у, Зп через I, т., п. Тогда cosfü — (р°, У°Сф) = I cos & + т sin &,

7—Ученые записки № 1

97

(p°> Vot>, /„) = т cos ö — /sind. Обозначим /2-f/ге2=1 — п2=<з, 0-<а<;1

I tn

и введем угол т; sinx = -—, cos'c = —=. Тогда

w v о

COSÖ=]/° sin(ö-f-t),

- -о - _ (2.15)

(p°, ^Сф, y„) = Vo COS(ö + x),

откуда

|(Р°. 'У«*, Л) I-V"«-cos» р. (2.16)

При заданном значении р переход к 0 производится с по-

/cos2 3

1-------, где, сог-

ласно (2.2), знак „ + “ берется для маршрутов А, В+, знак ,—“—для маршрута В~.

3. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫХОД НА ОРБИТУ ИСЛ И СХОД С ОРБИТЫ ИСЛ

В случае круговой орбиты ИСЛ ес = 0, р — рс и из (2.14) и (2.16) получаем

--- ДУ2

д V2 = —!—==

Кл

а

1 ' '

.3 + '-2(УЧ +

(3.1)

При заданных а, р или х = и а найдем на орбите ИСЛ точку, в которой достигается min Д V. Освобождаясь в получаемом из (3.1) равенстве ~ 0 от иррациональностей, приведем его

к виду

(cos2 Р + 2 cos р 4- о)2

+ cos р (о + cos Р) (1 + cos Р)2'

(3.2)

Заметим, что (3.2) является относительно cosp алгебраическим уравнением четвертой степени. Из (3.2) и численных расчетов делаем следующий вывод (фиг. 3):

1) поскольку х>0 только в промежутках 0<cosp<> для выхода на орбиту ИСЛ и o<cosp<0 для схода с орбиты ИСЛ, то значения cosPopt заключены в этих промежутках, меньших допустимого диапазона cosp [см. (2.16)]:

0<|cospopt|<o<y7;

2) х ->• -j- оо при cos Р -> 0 и | cos Р | —► о;

3) х =0 при + cosP = l—'Kl — о<а, (3.3)

причем каждое из этих значений cosp является двукратным корнем числителя (3.2);

4) непосредственно анализируя (3.1) при х -» 4- оо и *->0, можно показать, что значения 0<|cospopt |<С 1 — V1— 0 характеризуют

оптимальный перелет по маршрутам А, В+ , а значения 1 — yf 1—

< I cos ßopt I < <з характеризуют оптимальный перелет по маршруту В~;

5) для ветви А, В+ при любом х (см. ниже)

I COS ß (х, о) I < I COS ß (х, о = 1) | .

Отсюда и из сказанного в разд. 2 следует, что в составе оптимальных перелетов нет перелетов В+. Поскольку, как это видно из (3.1), min Д V(A, В+) < min Д V) (В~), то глобальный minAl^ достигается на дуге гиперболы А, не содержащей перицентра. Дуга гиперболы В~, содержащая перицентр, дает локальный т!пД1/.

-в -0'3-1<\/ТЪ-0,1 О 0J !-\/ТёО,3 в casfi

Фиг. 3

Результаты расчета зависимостей x = x(cos{3, а) по (3.2) и минимального импульса Д1/ = Д1/ I |/Г*^(х> °) по (3-1) с учетом (3.2)

приведены на фиг. 4 и 5.

При перелете в плоскости орбиты ИСЛ а=1, и из (3.2) получаем cos p0pt = cos р = ± ^. Таким образом, в плоском случае

оптимальным является выход на орбиту ИСЛ или сход с нее в перицентре гиперболы.

Хотя решение уравнения (3.2) относительно cos (J при заданных <з и х может быть получено одним из регулярных методов, например, методом Феррари, вследствие громоздкости выражений для корней практический интерес представляет получение простых приближенных решений этого уравнения.

Поскольку COS Popt (i4) -» 0, COS Popt (B~) -* а при х -* -Г ОО и любом о, имеем из (3.2) приближенное решение при *»1:

cos ßopt (А) = ± — cos ßopt (В~) = + О

1-т+0

(3.4)

Фиг. 4

Полагая в (3.2) cos popt = cos Popt 4- Д cos p, где | cos PoPt | равен (3.3), получим с точностью до членов второго порядка малости приближенное решение при х<с: 1:

+ Дсозр=4:^-/х [(1 — УПГ1) [уу^Ъ- 1 + о)р\

В правой части знак соответствует маршруту А, знак маршруту В~. Поскольку

Усф

V“

и отсюда «min ~ 0,24, прак-

тическое значение этого случая невелико.

Для эллиптической орбиты ИСЛ найдем при заданных а, рс

или •*.= —, а, ес и х точку на орбите ИСЛ, доставляющую тШДV.

а dkV*

В этом случае соотношение = 0, получаемое из (2.14), на-

столько сложно, что делает практически невозможным получение для cos p0pt соотношений, аналогичных найденным для круговой орбиты ИСЛ. Что касается численного определения cospopt, то здесь

предпочтительнее искать пИпДУ2, используя (2.14). Поэтому огра-

{созР}

ничимся рассмотрением орбит малой эллиптичности ес<^\. Считая известным решением СОБ^ор! при ес = 0, можно получить приближенное решение для эллиптической орбиты в виде ряда по степеням ес, в котором вследствие чрезвычайной громоздкости коэффициентов этого ряда практически можно вычислить лишь второй член.

Если дополнительно предположить, что плоскость гиперболы близка к плоскости орбиты ИСЛ, и положить 0=1 — До, До = П3, cos popt — cos р 4- Д cos р, то с точностью до малых второго порядка для маршрута А получаем

A cos р = +/„ Да + (/' I +/» т) «с,

где /2 + от2 = 1;

А

л =

2 + * *(1+х);

(1 + х)8

п

1-2(4±^(|/2+^-1)'

/(2+ *)* L | о2 + */ /о-у; 1\

(1+х)» *+2Гр*[ + j

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8) 101:

В (3.5) верхние знаки относятся к случаю выхода на орбиту, а нижние — к случаю схода с орбиты (см. разд. 5). Графики функций /„ /1ес, /Гс приведены на фиг. 6. Как показывает сравнение с точными расчетами, (3.5) дает достаточно хорошие результаты до значений Дз^ъОД ес^0,3 (при х>1,5). При этом совр определяется, с ошибкой —10%, а Д V—на порядок точнее.

4. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ ИСЛ

Рассмотрим выражение AV (■*., а) [см. (3.1)] при cos fi = cos popt (x, о).

Считаем, что x = изменяется при изменении р. Можно показать, что в случае маршрута А существует x0pt. при котором достигается тшДК; в случае

_ {*} же маршрута В~ величина bV монотонно уменьшается с ростом г. (см. фиг. 5).

д№ ,

Раскладывая с помощью (3.4) в ряд при х > 1 и приравнивая в этом

разложении сумму первых трех членов нулю, получим для приближенного определения х соотношение

д№

дх

‘0.

(4. Г)

которое определяет %opt только при о < заменим (4.1) соотношением

3- y'xyi(l+4-) = °-

. Чтобы избавиться от этого дефекта,

(4.2)

где А определим из условия, чтобы зависимость о (хор4) достигала максимума 0=1.

В этом случае А = -j- и

+ (4.3,

Формула (4.3) дает хорошую сходимость xopt с точным значением (ошибка

не превышает 20%) и очень хорошее совпадение соответствующих величин AV

(что следует из фиг. 5).

Суммируя выражения (3.1) для случаев выхода на орбиту и схода с нее при неизменной высоте орбиты, получим для суммарной характеристической скорости AV выражение

/*л- /Ял -

Т/ — ДКв(хв> св, cos рв)+ 1/ — ДКСхС*сх, °сх, cosjex), (4.4)

р

где индексы „в* и „сх“ означают выход и сход соответственно; хв = — ;

(*в

р

Хсх = > cos Рв = COS ßoptCx-B, ов); cos ßcx = cos ß0pt (xcx, ®cx)- Требуется при заданных

“cx

ав, acx, ав, асх определить оптимальную высоту круговой орбиты popt или xBOpt, доставляющую miniV (4.4). Можно показать, что для маршрутов А выхода и схода существует xBOpt, а для маршрутов В~ значение AV монотонно убывает с ростом хв. Далее рассматривается селеносферическое движение только по маршрутам А, доставляющим глобальный тШДК.

Чтобы получить приближенное выражение для xBOpt, воспользуемся для д(ДКв2) d(ÄV2cx)

—--------- и —-------- п0 аналогии с (4,2) приближенным соотношением

*сх

+4

(4.5)

где В — одна и та же постоянная для выхода и схода.

Пользуясь тем, что ДУ(х, а = const) ss const в широком диапазоне значе-

dAV

ний х (см. фиг. 5), и учитывая (4.5), получим из-^—= 0

з(5 + УТ)+У9(е + l/g)2-4B(S + Угасх)(б У^+яУЧ»)

(4.6)

^ В0Р‘~ 2(6/^+^) где

— асх г А Усх (хсх> асх)

а = — , 5 = —¿=—--------------------------------— . (4.7)

“в ДУв(*в, ®в)

Величину В определим по аналогии с А: потребуем, чтобы при о„ = ссх = 1 подкоренное выражение в (4.6) обращалось в нуль. Тогда

9 (6 + Уа)

°--------—— (4.8)

4 (1+6) (6 +в) '

Соотношения (4.6) — (4.8) удобно использовать для итерационного определения Хворь причем в начале итерационного процесса целесообразно положить Е = 1 (см. фиг. 5). Сравнение значений xBopt, определенных по формуле (4.6), с точными значениями xBOpt и соответствующих им значений AV показывает, что практически при всех а, яв и асх достаточно двух—трех итераций. Ввиду крайней пологости функции ДУ(хв)для определения AV(xBopt)c тремя первыми значащими цифрами достаточно посчитать эту функцию для значения xBOpt, вычисленного по (4.6) при 1=1; в этом случае наибольшее различие между xBOpt и х„($ = 1) не превышает —20%.

Рассмотрим некоторые задачи оптимизации ориентации круговой орбиты ИСЛ в пространстве и продолжительности пребывания на ней. В (3.1) и (4.4) полагаем cos ¡3 = cosPopt (х, о). Величину х считаем либо заданной, либо оптимальной.

Считаем заданными Ксф1, Vrc*4, ав и ас. При указанных условиях в (3.1) dAV dAV dAV Л dAV ^ Л ,

в (4.4) и "^"<0, т. e. ДК уменьшается с ростом

и. Ясх-

Пусть продолжительность пребывания на орбите ИСЛ ¿23 мала. В этом случае можно полагать i2S=0 и считать орбиту ИСЛ в момент выхода на нее и схода с нее одной и той же. Если выбрать

= L, (4.9)

I [ ^сф 1> Усф i] I

то для такой орбиты имеем выход и сход в плоскости орбиты, <7В = ССХ=1, и реализуется min min AV.

{V асх}

Если продолжительность пребывания на орбите ИСЛ достаточно велика, то за счет перемещения Луны по орбите и эволюции орбиты ИСЛ ее расположение относительно мгновенной системы осей хсусгс и форма существенно меняются. Предположим, что эволюцией орбиты можно пренебречь, т. е. орбита остается круговой, высота орбиты не меняется, расположение орбиты относительно системы осей xcyczc меняется только за счет перемещения Луны по

орбите на угол ф (см. фиг. 1). Если *гз задана, то, зная Ксф! и Vcф4, в соответствии с (4.9) для любой ¿23 можно выбрать ориентацию орбиты ИСЛ, обеспечивающую плоский выход и сход.

Пусть задана ориентация орбиты ИСЛ в момент выхода на нее в системе

координат Хс1ус1гС\ ортом jn{jnx, jny, Jnz] (см. фиг. 1). Определим продолжительность пребывания на орбите ИСЛ t23, обеспечивающую min UV. Пусть

i>}

вектор VСф 4 в системе координат xc4ycizc4 имеет компоненты Ксф4 {/, ¿Г, А} . Тогда в момент схода

оСх = 1 — п\ ,

ni = (У°сф 4- Jn) = ь + с cos ф + d sin ф,

(4.10)

где b—У„гЛ, с—jnx / + Jny g> d—Jny f JnxS-

Из (4.10) следует, что max acx-> min | л41. Если У^г + А2< 1, то min | я4 | = 0 и существуют два оптимальных угла форь определяемых из соотношения

йп(фор* + х) = -р^==,

где

с d

sin х = r „ i , cos x =

/с2 + ’ *■ у с2 + ¿2 *

2 3

Если же У„г + Л25& 1, то min | 1 достигается для Ь > 0 при фор4 = ^-тс —

TZ ,

для 6<0 при ^opt = -у — х-

Аналогично может быть решена задача об оптимальной продолжительности пребывания на орбите ИСЛ при заданной ориентации орбиты в момент схода с нее.

5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЛЕНОСФЕРИЧЕСКОГО

ДВИЖЕНИЯ АППАРАТА

При переходе с безапогейного маршрута А на апогейный С (или наоборот) в (2.1) меняет знак только первая компонента Ur. Изменим ориентацию орбиты ИСЛ и селеносферической гиперболы так, чтобы относительно новой орбиты ИСЛ движение аппарата по оптимальной гиперболе оставалось неизменным. Из (2.9) следует, что для неизменности параметров гиперболы не должен меняться

cosß; для этого первая компонента р° должна изменить знак. Но тогда из (2.3) — (2.5), вследствие неизменности и v, следует, что

направляющие косинусы ортов гп, iy, in относительно системы

» ^ —►

осей xcyczc меняются следующим образом: г'п (-----Ь+)> fy (---Ь +)>

in(-\----). Здесь и в дальнейшем знаком „ + “ обозначены неиз-

менные элементы векторов, а знаком „—“ — элементы, меняющие знак.

Из неизменности cosk [см. (2.13)] и Д1/ [см. (2.14)] следует, что

векторы Jn, уу, у„ в осях xcyczc должны иметь ВИД /п (--------(- +),

/,(---(-+). УяН------)• Новый вектор 1^сф в ОСЯХ у'п.Уу, /„имеет

при этом следующие компоненты: Усф(~Ы—)•

При указанной замене ортов г'п iy in и Jnjyjn все параметры, характеризующие движение аппарата в плоскости селеносферической гиперболы, и углы Ь и т остаются неизменными. У векторов

in, iy, jn, ]у и р! или р4 селеноцентрическая долгота X заменяется

на я — X. У векторов in, /„ селеноцентрические долгота X и широта <р заменяются соответственно на 2 те — X и —ср.

Отметим, что указанное свойство следует из снесения векторов Uu Ut со сферы действия Луны в центр Луны, поэтому при учете конечности размеров сферы действия Луны [1], [2] оно выполняется лишь приближенно.

При отображении геоцентрической траектории относительно

плоскости орбиты Луны у УСф (2.1) меняет знак только третья компонента ¿/¿sinа. Решением поставленной выше задачи является следующий выбор ортов ориентации гиперболы и орбиты ИСЛ

и векторов рь р4 в системе xcyczc: in(Н—[---Му(+Н------),г„(-----|-)>

Уп(+ + —), 7У(+ + —), /«(--------Ь), Pi или р4(-Н- —). У векторов /п,

iy, iy и Р заменяется <р на — <р; у векторов in, jn заменяется X на ■те + X. Новый вектор Усф В ОСЯХ /п, /у, у„ имеет компоненты 1^сф(+Ч----)•

При изменении направления движения по орбите ИСЛ или

при переходе от выхода к сходу (или наоборот) Vcф и cos ß меняют знаки. Для неизменности параметров оптимальной гиперболы необходимо следующее изменение ортов ее ориентации и орбиты ИСЛ

в системе Хеуеге: Тп(+++), iy(--------—), г„(-------), /п(+ + +),

]у(------), /„(- —). Радиус-вектор р точки выхода или схода

остается неизменным; 0 и т заменяются соответственно на — О и —т. При изменении знака селеноцентрического вектора параметры X и ср заменяются соответственно на те-j-X и —<?. Новый

ВеКТОр l/сф В ОСЯХ jnjyj„ Имеет КОМПОНеНТЫ Усф(-----1—!-)•

В заключение заметим, что соотношения (2.14) или (3.1) при подстановке в них cos ßopt дают явную зависимость тШД1/(а, о, т)

от 1/Сф, что может быть использовано для определения дуги перелета Земля — Луна или Луна — Земля из условия тШД1/. В част-

Рсф}

ности, из этого условия совместно с (1.1) можно определить оптимальный перелет Земля — Луна.

Результаты настоящей работы, касающиеся оптимизации движения аппарата в пределах сферы действия, могут быть использованы для расчета оптимального планетоцентрического движения при условии, что движение на гелиоцентрических участках определено независимо от планетоцентрического. Соотношения (2.14) и (3.1) при сое |3 = сое р0ре могут быть использованы для оптимизации межпланетных перелетов с выходом на произвольно ориентированные орбиты ИС планет аналогично тому, как это сделано в [5] для случая совпадения плоскости орбиты ИС с плоскостью, содержащей планетоцентрические скорости аппарата на сфере действия планеты.

* *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров В. А. О траекториях возврата от Луны к Земле. «Космические исследования», т. V, вып. 4, 484—493, 1967.

2. Егоров В. А. О влиянии разброса начальных данных на траектории возврата от Луны к Земле. «Космические исследования», т. VII, вып. 1, 3—17, 1969.

3. Ильин В. А. Синтез траекторий близкого облета Луны с возвращением в атмосферу Земли. Журнал вычислительной математики и мате-матич. физики, т. 7, № 2, 367—388, 1967.

4. Бэтти н Р. Наведение в космосе. М., «Машиностроение», 1966.

5. Ильин В. А. К расчету траекторий перелета космических аппаратов между компланарными круговыми орбитами в ньютонианском гравитационном поле. «Космические исследования», т. II, вып. 5, 698—712, 1964.

6. Вождаев В. С. Доклад на III Чтениях, посвященных разработке научного наследия К- Э. Циолковского. Калуга, сентябрь 1968 г.

Рукопись поступила 1/УП 1969 г,