CC BY
47
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2009, том 52, №11________________________________
ФИЗИКА
УДК 532.7 + 532.133
Академик АН Республики Таджикистан С.Одинаев, Х.Мирзоаминов ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Исследование явлений переноса, упругих и акустических свойств жидкостей тесно связано с изменением структуры и природы протекания внутренних релаксационных процессов в них. Теоретические исследования явлений переноса в жидкостях проводятся на основе двух различных методов: применяется подход, основанный на твёрдоподобной структуре жидкостей, или используется более фундаментальный подход, основанный на кинетической теории.
В первом случае основным механизмом переноса является перемещение атомов (молекул) в соседние вакансии квазирешётки, что связано с преодолением некоторого потенциального барьера [1-3]. Тогда поток массы определяется концентрацией вакансии и скоростью преодоления барьера, а для потока импульса приложенные к жидкости сдвиговые напряжения вызывают несимметричные искажения барьера, что приводит к появлению преимущественного направления потока. Следовательно, потоки диффузии и импульса тесно связаны; эти связи приводят к экспоненциальной зависимости коэффициентов диффузии Б и вязкости ц от температуры, однако не дают возможности связать величину свободной энергии возбуждения с основными молекулярными характеристиками жидкости. В то же время данная теория довольно хорошо описывает свойства жидкостей из сложных молекул [2,3]. Следует отметить, что процесс перескока атомов в узлах и междоузлиях (то есть положение вакансий) является необратимым, если время релаксации возбужденного состояния сравнимо с длительностью перескока. В противоположном случае вероятно, что атомы перескочат в свои первоначальные положения. Следовательно, для оценки вклада процессов перескока атомов в коэффициенты переноса необходимо рассчитать времена релаксации, чтобы связать параметры теории с основными молекулярными характеристиками жидкости. В свою очередь, определение времён релаксации требует знания коэффициента трения жидкости, который выражается посредством коэффициента диффузии и других молекулярных параметров жидкостей [1-3].
Во втором случае явления переноса в жидкостях исследуются на основе кинетических уравнений для неравновесных функций распределения и, исходя из соответствующих определений плотности массы, импульса и энергии, выводятся уравнения, подобные уравнениям гидродинамики. Эти уравнения являются механически обратимыми. Однако входящие в них тензор напряжений и вектор потока тепла определяются микроскопически и являются необратимыми. Усредняя эти выражения посредством соответствующих неравновесных функций распределения, получают аналитические выражения коэффициентов переноса. Для опреде-
ления этих коэффициентов в качестве исходных данных берут такие известные молекулярные параметры жидкости, как, например, масса, глубина потенциальной ямы, потенциал межмолекулярного взаимодействия и равновесная радиальная функция распределения. Однако следует отметить, что существует величина, которая как в первом, так и во втором случае теоретических исследований не определяется в рамках рассмотренных теорий - это коэффициент трения р.
Согласно [1,3], коэффициент вязкости жидкостей как функция температуры определятся формулой:
Т = А exp (W /кТ), (1)
где А - считается приблизительно постоянным коэффициентом. Формула (1) хорошо описывает зависимость вязкостей не только простых, но и более сложных жидкостей от температуры при постоянном внешнем давлении. Экспериментальное значение коэффициента А ока-
2 3
зывается, однако, примерно в 10 - 10 раз меньше теоретического значения. Для приведения к согласию между теоретическими и экспериментальными значениями А в [1] учитывается зависимость “энергии разрыхления” W от температуры T и давления P, и для коэффициента А = А (T, P) получено эффективное значение, выражающееся посредственном учёта изменения температуры и давления в виде
л кТт0 ,
А =-------V ехр
ж ад
( рЛ
7
/ Р
V Ро у
(2)
(ху Т V х V
где Р0 =---------------, у = —— Р, а - коэффициент теплового расширения жидкости, V =— -
у к N
удельный объём, в - коэффициент сжимаемости, у - модуль сжимаемости, к - постоянная
Больцмана, т0 - период колебания атома около исходного положения равновесия, а - размер
частицы, 8 - среднее расстояние перемещения атомов. Формула (1), с учётом (2), находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, более подробный анализ которой в различных приближениях приведен в [1]. Из вышеизложенного следует принимать во внимание то, что зависимость предэкспоненциального коэффициента А от температуры и давления косвенным образом приводит к зависимости коэффициента трения жидкостей в от параметров состояния, которые надо определить.
При исследовании явлений переноса на основе кинетических уравнений аналогичные трудности встречаются и с коэффициентом трения жидкостей в. Правые части кинетических уравнений для соответствующих функций распределения (то есть интегралы столкновения), которые обеспечивают необратимость этих уравнений во времени и описывают диссипативные явления в жидкостях, содержат коэффициент трения в. Согласно [2], эта величина, вхо-
дящая в оператор столкновений Фоккера-Планка, характеризует процесс, благодаря которому последовательные соударения твёрдых сфер оказываются независимыми за счёт влияния быстро меняющихся сил Ван-дер-Ваальса со стороны окружающих молекул. Там же приведено, что в силу указанных причин коэффициент трения нельзя рассчитать с помощью использованных до сих пор простых статистических допущений; необходимо детальное рассмотрение молекулярной динамики. Также отмечено, что хотя проблема определения в не была решена точно, однако в [4] было предложено несколько моделей. Путём вычисления автокорреляционной функции импульсов и путём нахождения средней силы, действующей на пробную частицу, движущуюся с постоянной скоростью, были получены выражения для коэффициента трения в в виде:
потенциал Леннард-Джонса с сильным отталкивательным членом как потенциал твёрдых сфер, т - масса частицы, п - числовая плотность.
Следует отметить, что в [2] ещё приведено выражение для коэффициента трения в, предложенного Россом, которое является следствием флуктуационно-диссипационой теоремы, связывающей диссипативный коэффициент в с интегралом от автокорреляционной функции сил, действующих на молекулу со стороны окружающих молекул
Формула (4) получена в приближении, в котором действие сил учитывается для молекул, движущихся по прямолинейным траекториям. Согласно [2], данное приближение слишком грубо аппроксимирует движение молекул и формула (4) приводит к заниженному почти на 50% значению коэффициента трения. Следует отметить, что аналогичные теоретические и экспериментальные рассмотрения вопроса об определении и анализе коэффициента трения приведены в [3,5-8]. В этих исследованиях используют соотношение связи между коэффициентами трения и диффузии (самодиффузии), последний из которых определяют экспериментально. Следовательно, вопросы изучения природы и определения зависимости коэффициента трения от параметров состояния (плотности, температуры и давления) по настоящее время остаются открытыми. Целью настоящей работы является выбор модельного потенциала и радиальной функции распределения для простых жидкостей, на основе которых производится численный расчёт коэффициента трения в в зависимости от термодинамических параметров состояния.
(3)
- радиальная часть оператора Лапласса, Ф(г) -“модифицированный”
(4)
В качестве исходного выражения для определения коэффициента трения принимаем выражение (3). Заметим, что в [2] коэффициент трения в представляется в виде суммы двух слагаемых, обусловленной сильным отталкиванием потенциала твердых сфер (h и притяжением (s, то есть ( = J3h + (. При этом (3h вычисляется на основе формулы (3), (s - определяется на основе экспериментальных данных коэффициента самодиффузии для четырех значений температуры, плотности и давления (см.таблицу). Отмечено, что приведенное вычисление всего для четырех значений в связано не с малочисленностью данных, а с трудностью получения соответствующих значений радиальной фукции распределения. Попытаемся с помощью формулы (3) вычислить в для этих же четырех значений параметров состояния жидкого аргона на основе модифицированных потенциалов (6 - ехр) Букингейма и Леннард-Джонса, а также выбора радиальной функции распределения, затем сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными.
Согласно [9], для реальных жидкостей при низких температурах потенциал Леннард-Джонса является слишком мелким вблизи минимума и слишком глубоким при больших расстояниях по сравнению с истинным парным потенциалом. Поэтому для вычислений вязкости жидкого аргона потенциал притяжения брался почти в два раза меньше коэффициента r — в потенциале Леннард-Джонса. Воспользуемся модифицированным потенциалом Леннард-Джонса, который имеет вид:
ф(ги )= As
С V2 а
r
V и
- 0,5
с У
а
r
V V У
(5)
Таким образом, с учетом вышеприведенного для вычисления коэффициента трения в воспользуемся модифицированными потенциалами Леннард-Джонса ф (г), Ф2 (гу) и (6-
ехр) Букингейма Ф3 (гу), а также радиальную функцию распределения g0 (г) принимаем в
следующем виде:
ф1 (r,j
да
4s
( V2
а
r
V V
- 0,5
( У а
при r <а , при r <а
(6)
Ф 2 (r,j )=^
да
4s
С V2 а
r
V v У
r
V у
при r <а , при r <а
(7)
да
1 -
а
а
ехр
а
С г V
1 —^ г
V т У
Г V
г
V У у
ПРи Г„ > Гт
(8)
go(ГlJ ) = У\ Р | ЄХР
Ф(г-/)
V ЬТ у
(9)
где Ту = д. — qj - расстояние между двумя структурными единицами, е - глубина потенциальной ямы, а - диаметр молекулы жидкости, гт - значение т в минимуме кривой потенци-
альной энергии, а - крутизна экспоненциального отталкивания, у| р \ =
2-Р
*
2(1 -Р)3
- контакт-
ная функция Карнахана-Старлинга, р =
л N а
р - приведённая плотность, N - число Аво-
6 М
гадро, М - масса одного моля вещества, р - плотность жидкости, к -постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура.
Воспользуясь уравнением (3), на основе формул (6) - (9) для вычисления коэффициента трения в получим следующие выражения: а) на основе формулы (6):
„2 192 М є * да 6 ( 6 5 1
А= 1 2 р{ г I22 г - 1І 1(г) 0 >
(10)
б) на основе формулы (7):
РІ =
192 М є * да
* да
,0 |Г-6 (22 г-6 - 5) ^0(г) ,
(11)
в) на основе формулы (8):
0з =
48 М є
Р
да
| г - [ 2
г 7 еа(1 г) Г1 а г-11- 5 ] £о (г) ^г,
(12)
г
ч
а
г
11 11 где г = — или г = — - приведенная расстояния.
На основе формул (10-12) произведём численный расчет коэффициента трения в жидкого Аг для четырех значений температуры, плотности и давления, приведенных в [2], где величина в определяется на основе данных коэффициентов самодиффузии Б. Все получен-
6
є
т
>
6
*
*
*
*
*
0
Г
т
ные данные для в, как экспериментальных Д, так и вычисленных на основе теоретических выражений (10-12), то есть Д , Д и Д соответственно, приведены в таблице. При этом значения молекулярных параметров е, а, гт, и а для жидкого аргона заимствованы из [10].
Таблица
т, к P, кг/м 3 Р, ат м в, 10-13 кг/с вы 10-13 кг/с вз, 10-13 кг/с
вэ, [21 В1 в2 в3 ДэЬ [21 Аь в 2Ь в 3Ь вэз, т в1н в2з в3з
90 138 0 1.3 5.11 2.661 2.95 8.748 0.64 0.887 0.984 2.916 4.47 1.774 1.967 5.832
128 112 0 50 2.94 1.896 1.79 5.561 0.94 0.632 0.597 1.854 2.00 1.264 1.195 3.707
135 112 0 10 0 3.13 1.882 1.74 5.467 1.00 0.627 0.581 1.822 2.13 1.254 1.163 3.645
186 112 0 50 0 3.20 1.750 1.36 4.894 1.52 0.583 0.495 1.631 1.68 1.167 0.909 3.263
Как видно из таблицы, зависимость вычисленных теоретических значений коэффициентов трения Д, Д и Д на основе трех модельных потенциалов от термодинамических параметров состояний температуры, плотности и давления жидкого аргона соответствует этим зависимостям как и в случае экспериментальных значений Д. Следует отметить, что
порядок этих коэффициентов одинаков (~10 13 кг/сек), однако отличаются численные значения этих коэффициентов, где данные, полученные на основе потенциала Букингейма ( Д ), немного завышены, а результаты, вычисленные на основе потенциала Леннард - Джонса ( Д, Д), немного ниже, чем значения Д, вычисленные на основе экспериментальных данных коэффициента самодиффузии (см. [2]). Видимо, завышенное значение Д обусловлено большой крутизной потенциальной кривой экспоненциального отталкивания.
Следовательно, чтобы улучшить согласие теоретических и экспериментальных значений коэффициента трения, следует ещё точнее выбирать реалистичные потенциалы и радиальную функцию распределения, как было отмечено выше. Однако решение такой задачи не является очень легким. Полученное согласие между теоретически вычисленными значениями коэффициентов трения с экспериментальными позволяет нам в дальнейшем на основе предложенных моделей определить коэффициент трения, времена релаксации в широком интервале изменения параметров состояния и исследовать явления переноса, а также упругие свойства простых жидкостей.
Таджикский технический университет Поступило 12.09.2009 г.
им. акад. М.С.Осими
ЛИТЕРАТУРА
1. Френкель Я.И. - Кинетическая теория жидкостей. Собрание избранных трудов. т.3, - М.-Л., 1959, 460 с.
2. Грэй П. Физика простых жидкостей, т.1 /Под ред. Г.Темперли и др. - М.: Мир, 1971, с.136-192.
3. Михайлов И.Г., Соловьев В.А, Сырников Ю.П. - Основы молекулярной акустики. - М.: Наука, 1964, 514 с.
4. Rice S.A., Gray P. Statistical mechanics of simpk liquids. - New York, 1965.
5. Фишер И.З. Статистическая теория жидкостей. - М.: Физматгиз,1961, 280 с.
6. Физическая акустика: Свойства газов, жидкостей и растворов. /Под ред. У.Мэзона, т.2, ч. А. - М.: Мир, 1968, 487 с.
7. Ali Musharaf Sk., Samanta A., Ghosh S.K. - J. Chem. Phys., 2001, v.114, №23, pp.10419-10429.
8. Тюрин В.А. Маклаков А.И. - Структура и динамика молекулярных систем, 2003, в.10, ч.3, с.105-109.
9. Роулинсон Дж. - Физика простых жидкостей./ Под ред.Г.Темперли и др. т.1. - М.: Мир, 1971, с.63-80.
10. 10. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. - М.: ИЛ, 1961, 929 с.
С.Одинаев, Х.Мирзоаминов ОИДИ МУАЙЯН НАМУДАНИ КОЭФФИТСИЕНТИ СОИШИ ДОХИЛИИ МОЕЪ^ОИ СОДДА
Бо ёрии интихоби потенсиали мутакобилаи байни вох,идх,ои сохтории моеъх,ои содда, дар намуди Леннард-Ч,онс ва Букингейм, коэффитсиенти соиши дохилй вобаста аз температура, зичй ва фишор барои Ar х,исоб карда шудааст.
S.Odinaev, Kh.Mirzoaminov ABOUT OF THE DETERMINATION OF COEFFICIENT FRICTION OF SIMPLE LIQUIDS
At certain of a choice of potential of interaction between structural units of simple liquids, as the modified potentials Lennard-Jones and Bukingeyma, are calculated factor of friction for liquid Ar depending on density, temperature and pressure.
