CC BY
34
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №12_________________________________
ФИЗИКА
УДК 532.7+532.133
Академик АН Республики Таджикистан С.Одинаев, Х.Мирзоаминов
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИИ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Академия наук Республики Таджикистан,
Таджикский технический университет им. академика М.Осими
Исследована частотная зависимость объемного К(ю) и сдвигового р.(ю) модулей упругости простых жидкостей, которые содержат вклады трансляционной и структурной релаксации. При определенном выборе модифицированного потенциала Леннард-Джонса Ф(г) и радиальной функции распределения g(r) проведены численные расчеты этих модулей упругости для жидкого Ar в широком интервале изменений термодинамических параметров состояния.
Ключевые слова: трансляционная и структурная релаксация - объемный и сдвиговой модули упругости - модифицированная потенциальная энергия - радиальная функция распределения - плотность и температура.
Исследование природы релаксационных процессов и явлений переноса в жидкостях возможно на основе системы уравнений обобщённой гидродинамики, которые содержат релаксирующие потоки импульса и тепла. Если известны последние, то, подставляя их в уравнения движения и температуры, получим систему акустических уравнений, которые содержат уравнения реологии, связывающие напряжения с относительной деформацией среды.
При высоких скоростях деформации в жидкостях, наряду с вязким течением, появляется упругость и каждому виду переноса соответствуют определённые упругие свойства. В этом случае в акустических уравнениях содержится комплексный эффективный модуль упругости. Следовательно, в случае жидкостей [1] напряжение складывается из упругого напряжения, пропорционального деформации среды, и вязкого напряжения, пропорционального скорости деформации, а уравнение реологии является уравнением Кельвина (Фогта) или уравнением Максвелла, которое описывает деформацию среды, состоящую из упругой деформации, пропорциональной напряжению, и из вязкого течения.
Когда имеется несколько внутренних релаксационных процессов, обобщённый модуль упругости будет зависеть от частоты процесса и является комплексным, реальная часть которого является динамическим модулем упругости E (ю), а мнимая - динамическим коэффициентом вязкости г](р), например формулой (VI.30) работы [1]. Последняя получена на основе феноменологической релаксационной теории, независимо от какой-либо молекулярной модели. Эта формула выражает свойства среды в самом общем случае для произвольной комбинации упругих и вязких напряжений и дефор-
Адрес для корреспонденции: Одинаев Саидмухамад. 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Академиков Раджабовых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: odsb@tarena.tj
маций, однако не определяет природы и механизмы внутренних релаксационных процессов, протекающих в жидкостях, связанных со структурными единицами среды. В связи с этим представляет интерес исследование как упругих свойств, так и динамических коэффициентов вязкости на основе единой микроскопической теории с учётом релаксационных процессов. Следует отметить, что хотя для жидкостей измерения частотной дисперсии коэффициентов вязкости возможно в ограниченном диапазоне частот, однако определение динамических модулей сдвиговой и объёмной упругости, тер-мо- и электроупругости прямыми экспериментальными измерениями невозможно. Иногда их определяют косвенным образом, с помощью определения других физических параметров (например, акустических) или же математическим моделированием методом молекулярной динамики. Например, в [2,3] методом молекулярной динамики исследовано неньютоновское поведение простых жидкостей и получены низкочастотные поведения модулей упругости и коэффициентов вязкости, которые соответствуют дальневременным асимптотикам автокорреляционных функций [3-6].
Теоретическому исследованию явлений переноса и упругих свойств жидкостей на основе как модельной, так и молекулярно-кинетической теории посвящено много работ [1,7,8]. В различных приближениях для модулей упругости получены аналитические выражения, которые выражаются посредством потенциала межмолекулярного взаимодействия, радиальной функции распределения и другими молекулярными параметрами среды. Однако существует величина, которая как в первом, так и во втором случае теоретических исследований не определяется в рамках рассмотренной теории, это коэффициент трения [, с помощью которого определяют времена релаксации потоков в жидкостях. Коэффициент [ является функцией термодинамических параметров состояния, учет которой при проведений численных расчётов коэффициентов переноса и модулей упругости является обязательным. В настоящей работе мы попытаемся провести численные расчеты динамических модулей объемного K(ю) и сдвигового ц(ю) упругости простых жидкостей, полученные на основе кинетических уравнений для одночастичной f (*1 , t) и двухчастичной / (*1 , х2,1) функций распределения в широком интервале изменения плотности, температуры и частот.
В качестве исходного, воспользуемся аналитическими выражениями динамических модулей объёмной К(ю) и сдвиговой ¡л(р) упругости жидкостей, полученными [8]. Ранее в [9] были исследованы частотные зависимости этих модулей упругости для жидкого Лг в широком интервале изменения плотности, температуры и частот. Однако все расчеты были проведены при постоянном значении [ = 2.85 -10 13 кг/с и в аналитическом выражении радиальной функции распределения g(г) пре-небрегалось плотностной зависимостью.
В работе [10] на основе аналитического выражения для коэффициента трения [, при определенном выборе двух модифицированных потенциалов (Леннард-Джонса и потенциала Букингейма-Ф (г)), а также радиальной функции распределения g (г) попытались проводить численные расчеты [ для жидкого Аг в зависимости от плотности р и температуры Т. Полученные результаты были использованы в [11] для теоретического определения динамического коэффициента сдвиговой вязкости % (ю) и при сравнении их с экспериментальными литературными данными был сделан выбор
походящей модели, на основе которой в [12] исследованы частотная дисперсия коэффициентов объёмной г/у (ю ) и сдвиговой Т]5 (ю ) вязкости жидкого Аг. В настоящей работе в рамках этой модели для Ф (г^ g (г ) и [ попытаемся исследовать частотную дисперсию модулей объёмной К(ю) и сдвиговой ц(р) упругости.
В качестве исходных, воспользуемся аналитическими выражениями для динамических модулей сдвигового ¡л((о) и объёмного К(ю) упругости [8] в следующем виде:
/л(ю) =
п
кТ(ют~) 2жп2кТо3ю “
д Е ( г1)
1+ (ют)
15
дг
дг
(1)
3
дг
(2)
/ \ Т (2ют0) р -ф , . .
где: ^ (г, г ,ю) =----- ------ ---\е ( 8тф + 008 ф ) — е ф (8тф2 + 008ф2)];
4жгг
(3)
Фо (г )=г ^
3 дг
п
дЕ(г)^ т(дЕ(г)
. дп ,
V ут
+ уТ
V дТ у
; т = -
пе„
г 6Р_Л
VдT Ур
ф1,2 =ф1,2 (г> г1,ю) =
ют
о I —1/2
/ ч т [о2
(г+г1); Т=^ъ; То = '
2[
2кТ
т, о, п = N/ V, г12 = д2 —^, г = г12 / о - масса, диаметр, числовая плотность, взаимное и приведенное взаимное расстояния частиц жидкости, соответственно; к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура; [ - коэффициент трения; ю = 2жу - циклическая частота;
( дР I Т ( дР I2
К = п\-----I Н------1---I - адиабатический объёмный модуль упругости.
VдnУт псу VдTУп
Для определения частотной дисперсии ¿и(ю) и К (ю), согласно выражениям (1) - (3), необходимо знание таких молекулярных параметров жидкости, как масса т, диаметр о, а также глубина потенциальной ямы е. В то же время для определения [, Ф (г) и g(г) принимаем оптимальный вариант модели, использованной в [12], в следующем виде:
[2 =(4^/3)ро|У2 Ф(|г|)g(|г\)г2йг
(4)
Ф(|Г\) :
при г <о,
|4е(г 12 — 0.5г 6), при г >о,
(5)
о
о
о
8 (IА ) = У К) ЄХР ( -Ф (I А\)/ кТ) ’ (6)
р2 1 д ( 2 д |
где: р = тп - плотность жидкости; V = —------------------1 г — I - радиальная часть оператора Лапласа;
г дг I дг
* *
у (р) = (2 — р)/2(1 — р) - функция Карнахана-Старлинга; р = (ж /6) Ы0 о р/М - приведенная плотность; - число Авогадро; М- молярная масса.
Подставляя формулы (5) и (6) в (1)-(4), для К (ю) и ц(ю) получим следующие аналитические выражения:
* X
[2 = (192М £ / N о2) р | г-6 (22г~б -2.5) е(г) ёг, (7)
^(ю) = бєрТ ю2/ж<т3(1 + ю2) -1 7 0
(24)3 є г0 /г р2 ю 5ж ^ ~
ад
X
0
Т (8)
|ёг г~5 (2 г- - 0.5)|02 (г, г ,ю) г5 (2 г- - 0.5) g(г ) ёгх
* * *
К(ю) = К + (48є р2 Тт0 ю/жо2г)(/[ + /2), (9)
* 1
где: С2 (г, г ,ю)=-[е~и (вій ^ + сов^)-е~Р2 (вій <р2 + сов^2)];
а
I * ~ * * * * * 1У~ -О
^1,2 =^1,2(г,г1,ю) = -(г + г1); а = Л2ю—; У2 (р) = р(5 -2р)/(1 -р)(2-р); г = —т = ;
2 V г — -у
г\/' ад г *
/, =-Гёгг5 (2 г~б - 0.5) Г О, (г, г, ,ю)г 5 (2 гГб - 0.5) g(т) ёг,
12 ад / \ ад * , ч
І2 = — Iёг г 5 (2г~б -0.5)| О2 (г,г15ю)
** ^2(р) + УФ(гі)
g(г1) г1
Т 0
*
Т = кТ/£ - приведенная температура; е - значение потенциала Ф(г ) в точке г = г^п;
*
ю = ют = ют /2[ - приведенная частота.
Формулы (7)-(9) позволяют производить численные расчеты динамических модулей объёмного К (ю), релаксационного объёмного Кг(ю)= К(ю) — К5 и сдвигового ¡л(р) упругости в широком
* *
диапазоне частот в зависимости от плотности р температуры Т . Для примера, значения температу-
*
*
0
*
*
* *
X
ры Т(86^140 К) и плотности р для жидкого Лг берем из работы [13]. При вычислении г, г0, K(ю), Kr (ю) и /л(ю) коэффициент трения ( определялся по формуле (7) в приближении твердых шаров [10].
Теоретически вычисленные нами результаты релаксационного объёмного Kr (v) и сдвигово-
*
го Ц-(ю) модулей упругости в диапазоне приведенных частот 10 2 <v< 1 (10 ^ 10 Гц), температур Т=86, 100, 120 К, при различных плотностях, для случаев ( = 2.85-10 13 кг / с и
* *
( = ((р,Т) Фconst приведены в таблицах 1 и 2.
В связи с отсутствием экспериментальных данных по динамическим модулям упругости жидкостей для сравнения там же приведены вычисленные значения адиабатического модуля объёмной упругости Ks, определяемые посредством экспериментальных значений скорости звука [13]. Согласно полученным результатам, порядок значения Ks, K (v) и ju(v) при высоких частотах одинаков. Значения этих модулей Krl(v), . (v) при ( = 2.85 -10 13кг/с и Kr2(v), [л2(v) при ( = ((р, Т) Ф const отличаются. Следует отметить, что заметное изменение значений Kr2 (v), /л2 (v) во всем диапазоне приведенных частот обусловлено изменением температуры и плотности, когда для Ki(v) и ¡их (v) такие изменения наблюдаются реже.
Таблица 1
Вычисленные значения /Ll(v) при ( = 2.85-10 13кг/с и ( = ((р,Т) Ф const
T, °K ft кг/м3 Cs, м/сек [12] Ks=p- Cs 2, 108 Па v*=10-2 v*=10-1 v*=1
M(vX 108 Па ^2(vX 108 Па MvX 108 Па ^ С 4-^ 00 20 =3. - .1(vX 108 Па .2(vX 108 Па
86 1402 847 10.058 0.239 0.116 0.927 1.110 1.395 3.646
1407 855 10.286 0.241 0.119 0.934 1.133 1.405 3.714
1413 862 10.499 0.243 0.123 0.941 1.160 1.417 3.798
1419 869 10.716 0.245 0.126 0.949 1.188 1.428 3.883
100 1312 717 6.745 0.209 0.067 0.839 0.759 1.344 2.552
1319 759 7.599 0.211 0.069 0.847 0.780 1.358 2.621
1327 772 7.909 0.214 0.071 0.856 0.805 1.374 2.702
1334 785 8.220 0.216 0.074 0.865 0.827 1.388 2.776
1347 809 8.816 0.220 0.078 0.881 0.870 1.415 2.916
1362 830 9.383 0.225 0.084 0.899 0.922 1.446 3.088
120 1160 585 3.970 0.171 0.035 0.705 0.430 1.191 1.392
1164 591 4.066 0.172 0.036 0.709 0.437 1.199 1.414
1181 619 4.525 0.177 0.038 0.728 0.465 1.234 1.514
1195 640 4.895 0.181 0.040 0.744 0.490 1.263 1.601
1219 677 5.587 0.186 0.043 0.767 0.528 1.305 1.734
1241 707 6.203 0.194 0.048 0.797 0.582 1.360 1.922
Таблица 2
Вычисленные значения Kr (у) при /3 = 2.85 -10 13лт/с и 3 = 3(р,Т) Ф const
T, °к Р, кг/м3 Cs, м/сек [12] Ks=p- Cs 2, 108 Па v*=10-2 v*=10-1 v*=1
Kri(v), 108 Па Kr2(v), 108 Па Kri(v), 108 Па Kr2(v), 108 Па Kri(v), 108 Па Kr2(v), 108 Па
86 1402 847 10.058 0.173 0.096 0.966 1.443 1.656 5.563
1407 855 10.286 0.174 0.100 0.973 1.477 1.667 5.671
1413 862 10.499 0.176 0.104 0.982 1.519 1.682 5.804
1419 869 10.716 0.177 0.109 0.990 1.562 1.696 5.940
100 1312 717 6.745 0.163 0.042 0.859 0.896 1.617 3.811
1319 759 7.599 0.165 0.044 0.868 0.926 1.634 3.919
1327 772 7.909 0.167 0.047 0.879 0.963 1.654 4.047
1334 785 8.220 0.169 0.050 0.888 0.995 1.671 4.161
1347 809 8.816 0.172 0.055 0.905 1.059 1.703 4.382
1362 830 9.383 0.176 0.062 0.925 1.137 1.741 4.650
120 1160 585 3.970 0.142 0.012 0.699 0.399 1.450 1.989
1164 591 4.066 0.143 0.013 0.704 0.407 1.460 2.024
1181 619 4.525 0.147 0.015 0.725 0.446 1.502 2.176
1195 640 4.895 0.151 0.016 0.742 0.480 1.538 2.309
1219 677 5.587 0.156 0.019 0.767 0.532 1.589 2.512
1241 707 6.203 0.162 0.024 0.799 0.608 1.657 2.800
При всех вычислениях значения динамического объёмного модуля упругости К (у) определяется как сумма К и Кг (у). Кроме того, рост релаксационного объёмного Кг (у) и сдвигового р(у) модулей упругости во всем диапазоне частот одинаков.
2 4 6 8 10
Рис. 1. Зависимость изотермических динамических модулей упругости
*
/л{у)-\, К У) _2, К “3, К (у)-4 от приведенной частоты у, при Г=100 К.
Рис.2. а) Частотная зависимость /л(у) -1;3 и К У) - 2;4, при 71=120 К и Т2=86 К. б) Частотная зависимость Кг(у)//л(у) при температурах Т1=120 К и Т2=86 К.
На рис. 1 приведены зависимости изотермических динамических модулей K(v), Ks, Kr (v), и ju{v) упругости от приведенной частоты при 7=100 К. Видно, что с ростом частоты эти модули монотонно растут и при высоких частотах стремятся к постоянному значению. На рис. 2 (а, б) построены частотные зависимости Kr (v), ju{v) и величина Kr (v)/ ju(v) при двух
температурах 7j=86 К и 72=120 К. Видно, что во всем диапазоне частот величины Kr (v)//л(у) соответствуют значению 0.2^1.4. Это обусловлено учетом вкладов структурной релаксации, так как, согласно [1], данный интервал составляет величины порядка 0.5^10.
Таким образом, согласно результатам, приведенным в таблице и на рисунках, область частот-
*
ной дисперсии K(v), Kr (v), и ß(v) имеет место при v « 10 3 ^ 10 (v ~ 109 ^ 1013 Гц), то есть в
, ,3/2
широком диапазоне частот, когда эти величины при низких частотах имеют асимптотику ~ v , а при высоких частотах остаются постоянными, что согласуется с результатами, полученными методом молекулярной динамики [2] и общей релаксационной теории [1].
Поступило 22.09.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. - М.: Наука, 1964, 514 с.
2. Эванс Д.Дж., Хэнли Г.Дж., Гесс З. - Сб. Физика за рубежом. Серия А. Исследования. - М.: Мир,1986, с. 7-28.
3. Evans D.J., Morris G.P. Statistical mechanics of none equilibrium liquids. - London: Academic Press, 1990, 342 p.
4. Pomeau Y. - Phys. Rev. A.: Gen. Phys., 1972, v. 5, №6, pp. 2569-2589;
5. Pomeau Y. - Phys. Rev. A.: Gen. Phys., 1973, v.7, №3, pp. 1134-1147.
6. Аджемен Л.Ц., Гринин А.П., Куни Ф.М. - Теоретическая и математическая физика, 1975, т.24, №2, с. 255-264.
7. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. - М.: ИЛ, 1961, 929 с.
8. Одинаев С., Адхамов А.А. Молекулярная теория структурной релаксации и явлений переноса в жидкостях. - Душанбе: Дониш, 1998, 230 с.
9. Адхамов А.А., Одинаев С. - УФЖ, 1985, т.30, №12, с. 1809-1814.
10. Одинаев С., Мирзоаминов Х. - ДАН РТ, 2009, т.52, №11, с.854-860.
11. Одинаев С., Акдодов Д., Мирзоаминов Х. - ДАН РТ, 2009, т.52, №12, с. 928-934.
12. Одинаев С., Мирзоаминов Х. - УФЖ, 2010, т.55, №10, с. 1105-1112.
13. Михайленко С.А., Дударь Б.Г., Шмидт В.А. - Физика низких температур, 1975, т.1, вып 2, с. 224-237.
С.Одинаев, Х.Мирзоаминов*
ТАЗДИЦИ ДИСПЕРСИЯИ БАСОМАДИИ МОДУЛ^ОИ ЧАНДИРИИ
МОЕЪ^ОИ СОДДА
Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишго%и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими
Вобастагии басомадии модулх,ои чандирии хдчмй K(rn) ва лаг^ишй ^.(ю)-и моеъх,ои содда тахдик шудаанд, ки онхо сахми релаксатсияхои транслятсионию сохториро дарбар мегиранд. Хднгоми интихоби потенсиали Леннард-Ч,онс Ф(г) ва функсияи таксимоти радиалии g(r), барои аргони моеъ дар фосилаи васеъи тагйирёбии параметрхои холат, кимати ин модулхои чандирй хисоб карда шудаанд.
Калима^ои калиди: релаксатсияхои транслятсионию сохторй - модул%ои чандирии %ацмй ва лагцишй - энергияи потенсиалии интихобй - функсияи тацсимоти радиалй - зичй ва %арорат.
S.Odinaev, Kh.Mirzoaminov*
THE INVESTIGATION OF THE FREQUENCY DISPERSION ELASTICITY MODULES OF THE SIMPLE LIQUIDS
Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
M.Osimi Tajik Technical University*
The frequency dependence bulk K(a>) and shear ¡л(ш) elasticity modules of the simple liquids is investigated, which to contain the contributions translational and structural relaxations. At the certain choice of modified potential Lennard-Jones Ф(г) and radial function of distribution g(r) are carried out numerical account of these elasticity modules for liquid Ar in a wide interval of change of thermodynamic parameters of the state.
Key words: translational and structural relaxation - bulk and shear elasticity modules - modified potential energy - radial distribution function - density and temperature.
