CC BY
52
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №8_________________________________
ФИЗИКА
УДК 532.7+532.133
Академик АН Республики Таджикистан С.Одинаев, А.А.Абдурасулов*, Х.М.Мирзоаминов*
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ЖИДКИХ АЗОТА И КИСЛОРОДА
Академия наук Республики Таджикистан,
Таджикский технический университет им. академика М.Осими
Исследована частотная зависимость динамического объёмного K(а) и сдвигового и(а) модулей упругости жидких азота и кислорода, которые содержат вклады трансляционной и структурной релаксации. При определённом выборе модифицированного потенциала Леннард-Джонса Ф(г) и радиальной функции распределения g(r) проведены численные расчёты K(а), /и(а) для жидких N2 и O2 в широком интервале изменений термодинамических параметров состояния.
Ключевые слова: трансляционная и структурная релаксации - объёмная и сдвиговая вязкость - объёмный, сдвиговой и термический модули упругости - модифицированный потенциал взаимодействия - радиальная функция распределения - плотность и температура.
Экспериментальному и теоретическому исследованию упругих свойств жидкостей в зависимости от термодинамических параметров состояния и частоты внешнего воздействия посвящено много работ [1-5]. Известно, что при высоких скоростях деформации в жидкостях, наряду с вязким течением, появляется упругость и каждому виду переноса соответствуют определённые упругие свойства. Кинетическим коэффициентам объёмной щ и сдвиговой щ вязкости, а также теплопроводности Л соответствуют модули объёмной К, сдвиговой /и и термической 2 упругости.
При низких частотах, в силу своей текучести, жидкости обладают только адиабатическим объёмным модулем упругости К5, а модули сдвига /и и термоупругости 2 равны нулю. По мере возрастания скорости деформации упругие свойства жидкости характеризуются динамическими модулями сдвиговой /л(а), объёмной релаксационной Кг (а) = К (а)- К5, термической 2 (а) упругости, которые являются функциями частоты внешнего воздействия а. При высоких частотах, когда частота внешнего процесса равна или больше собственных частот колебаний структурных единиц жидкости, жидкость ведёт себя как аморфное твёрдое тело и её упругие свойства характеризуются высокочастотными модулями Кш, /Л«, и упругости, которые при а ^ да остаются постоянными [2,4]. Следовательно, при наличии деформации в жидкостях напряжение складывается из упругого напряжения, пропорционального деформации среды, и вязкого напряжения, пропорционального ско-
Адрес для корреспонденции: Одинаев Саидмухамад. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 33, Президиум АНРТ. E-mail: [email protected]
Абдурасулов Анвар, Мирзоаминов Хайрулло. 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. ак. Раджабо-вых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: мхм[email protected]
63І
рости деформации. В этом случае жидкость является неньютоновской, а уравнение реологии - уравнением Кельвина или Максвелла.
Когда имеется несколько внутренних релаксационных процессов, обобщённый продольный модуль упругости, входящий в систему акустических уравнений, зависит от частоты процесса и является комплексным. Реальная часть этого модуля является динамическим продольным модулем упругости Е (а), а мнимая - динамическим коэффициентом вязкости Т](а), например формулы (6.30) или (6.43) работы [3] и формулы (5.47) - (5.54) работы [5]. Однако в подынтегральных выражениях плотность спектра времён релаксации Н (г), к (г /г') и % (г /г') остается неизвестной и эти формулы получены в рамках феноменологической теории.
Следует отметить, что эти модули упругости прямыми экспериментальными измерениями определить невозможно, за исключением объёмного адиабатического модуля упругости К (или коэффициентом адиабатической сжимаемости Р5). Иногда их определяют косвенно с помощью измерения других физических параметров, например, акустическим или численным методом - неравновесной молекулярной динамики. Последним в [6] исследовано неньютоновское поведение простых жидкостей и получены низкочастотные поведения модулей упругости ~ а3 2 и коэффициентов вязкости ~ а12, которые соответствуют дальневременным асимптотикам автокорелляционных функций [7,8]. Поэтому представляет большой интерес исследование упругих динамических свойств жидкостей в широком диапазоне частот при различных значениях плотности р и температуры Т.
Ранее в работах [9-12] исследованы динамические модули упругости жидкого аргона в широком интервале изменения плотности р и температуры Т. Аналитические выражения этих модулей
и(а), К (а), Кг (а) и 2 (а) получены на основе кинетических уравнений для одночастичной А (х1 , ^) и двухчастичной / (х:, х2, ^) функций распределения, где х = (Ч, Р). При определённом выборе потенциальной энергии Ф (г*|) и радиальной функции распределения % (г |), проведён численный расчёт этих модулей упругости и коэффициента трения Р в зависимости от р , Т и со. Результаты сравнены с имеющимися экспериментальными данными, которые находятся в количественном согласии. В [13] приведены результаты численных расчётов этих модулей упругостей для жидкого Ar, & и Xe в широком диапазоне частот. Представляет большой интерес обобщение этих исследований для жидкостей, состоящих из двух-, трёх- и многоатомных квазисферических молекул Н2,
02, N2 СН4, СЕ4, N0, NО2, СО, С02 и др., у которых экспериментально хорошо изучены их вязкие свойства. Однако отсутствуют экспериментальные данные по упругим свойствам жидкостей, состоящих из многоатомных квазисферических молекул. В работе [14], по мере возможности, анализируются и излагаются исследования многоатомных жидкостей на примере коэффициента сдвиговой вязкости щ . На основе ранее полученных аналитических выражений для коэффициентов переноса
проведены численные расчеты щ для жидких азота (N2) и кислорода (02), в рамках принятой модели Ф (г |) и % (г |). Полученные результаты находятся в количественном согласии с экспериментальны-
ми данными. В том же приближении здесь попытаемся исследовать упругие свойства жидкостей с квазисферическими молекулами, в частности для жидких азота и кислорода.
В качестве исходных принимаем аналитические выражения для динамических модулей сдвиговой /лір) и объёмной Кр) упругости, которые учитывают вклады трансляционного и структурного релаксационных процессов [12] в следующем виде:
/ ч пкТрт)2 2тп2а3р ГО
Лр) =---------^^-----
1 + рт^)
+ -
15
дт1
/ ч 2т2а3,оГО , з дф(т\ч / ч -
К (р) = К8 +--- Г &т ^ ' Г 02 (т, т!,р)^с (т1 Мь
3
(1)
(2)
где:
О(т,т,р)=~Г°(2рг°)— [е я (біпсоб^)-е № (біпф2+ соб^2)];
4ттт
(Р° (т1
(т1 ) =
т ^ ( т|)
3 дтх
п
дg ( !\) '
, +/Т
дп I .
V )т V
Гд8 ( ! ^ ^ дТ
; ^1,2 =^1,2(т т1,р)=
-1/2
(т+т1);
(3)
1 (дР ^ да Ра2
у = — — I ; ?=—; ^° =--------•'
псу VдT)р 2Р ° 2кТ
N ! ! ! _
; га, о, п = —, т12 = д2 -^ и т = т12/а - масса, диаметр
числовая плотность, взаимное и приведённое взаимное расстояние частиц жидкости, соответственно; к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура; Р - коэффициент трения; а = 2яу - цик-
дР
Т (дР
лическая частота; К5 = п I -- | Н-----1---- | - а диабатический объёмный модуль упругости.
дп )т псу V дТ
Для проведения численных расчётов и(а) и К (а) жидких азота и кислорода принимаем оптимальный вариант для Ф (г |), % ( ?1) и Р, использованного в [12], в следующем виде:
ф( !|)=
ГО
при т<а
4є[ т 12 -0,5тб ], при т >а,
И!|)= у(р*) ехр (-Ф(г|)/кТ),
ГО
01 = (4т/3) ра Г V2 ф(г |) £(г|) т2 ^т,
(4)
(5)
(6)
0
— ГО
С
ГО
п
2
п
„2 1 д ( 2 б )
где р = nm плотность жидкости, V ----------------1 г — I - радиальная часть оператора Лапласа,
г дг ^ дг)
y (р *) =-~ - функция Карнахана-Старлинга, р* = (^/6)(N0 р/M ) - приведенная плот-
2(1 - р *)
ность, N0 - число Авогадро, M - молярная масса.
Формулы (1)-(3) с учётом (4)-(6) позволяют производить численные расчёты динамических модулей объёмной K(о), релаксационной объёмной Kr (o) и сдвиговой /и(о') упругости жидких N2 и O2 в зависимости от плотности р , температуры Т в широком диапазоне частот v = o / 2п . Молекулярные параметры N2 и O2 взяты из работ [15-17]. В связи с отсутствием экспериментальных данных по динамическим модулям упругости жидкостей, для сравнения полученных теоретических результатов, приведём вычисленные значения адиабатических модулей объёмной упругости K , определяемые посредством экспериментальных значений скорости звука [18].
Результаты численных расчетов K(v), Ks, Kr (v) = K(v)- K5 и /d(v) в широком диапазоне
приведённых частот 10-3 <v* < 1 (109^1013 Гц) и температурах 80K < T < 146 K при соответствующих различных значениях плотности и fl = fl (р*, T*)tconst для N2 и O2 приведены в табл.1 и 2.
Таблица 1
Частотная дисперсия модулей упругости жидкого азота в зависимости от плотности и температуры
T, K ft кг/м3 [І8] Cs, м/сек [І8] Кs= p-Cs2, І08 Па ^(v), І08 Па Kr(v), І08 Па K(v)=Кs +Kr(v),i08 Па
v*=10-2 v*=10-1 v*=i v*=10-2 v*=i0-i v*=i v*=10-2 v*=i0-i v*=i
80 774 83І 5.345 0.226 І.239 2.947 0.27І І.723 4.47І 5.6І63 7.068 9.8І5
90 744 7І7 3.825 0.І56 0.927 2.336 0.І75 І.230 3.494 3.9999 5.055 7.3І9
І00 688 603 2.502 0.І04 0.676 1.771 0.І06 0.842 2.603 2.6085 3.344 5.І05
ІІ0 623 475 І.406 0.658 0.473 І.248 0.058 0.538 І.795 І.4643 І.944 3.20І
ІІ5 58І 405 0.953 0.490 0.376 0.975 0.038 0.397 І.38І 0.99І2 І.350 2.334
І20 527 3І8 0.533 0.337 0.279 0.694 0.02І 0.263 0.96І 0.5543 0.796 І.494
Таблица 2
Частотная дисперсия модулей упругости жидкого кислорода в зависимости от плотности и температуры
T, K P, кг/м3 [І8] Cs, м/сек [І8] ^= p-Cs2, І08 Па M(v), І08 Па Kr(v), 108 Па K(v)=fc +Kr(v),108 Па
v*=10- 2 v*=10- i v*=1 v*=10- 2 v*=10- i v*=1 v*=10- 2 v*=10-i v*=1
80 ІІ90 986 ІІ.569 0.478 2.400 5.270 0.604 3.459 8.104 12.173 15.028 19.673
90 ІІ42 905 9.353 0.36І 1.941 4.524 0.440 2.726 6.889 9.793 12.079 16.242
І00 І090 823 7.383 0.274 і .565 3.840 0.319 2.129 5.786 7.702 9.512 13.169
ІІ0 І035 732 5.546 0.02І 1.258 3.212 0.229 1.645 4.783 5.775 7.191 10.329
І20 974 643 4.027 0.І53 0.993 2.602 0.158 1.235 3.822 4.185 5.262 7.849
І30 903 542 2.653 0.0ІІ 0.757 1.997 0.100 0.878 2.884 2.753 3.531 5.537
І40 8І3 422 І.448 0.070 0.537 1.383 0.540 0.559 1.950 1.988 2.007 3.398
І46 74І 338 0.847 0.049 0.407 1.004 0.313 0.380 1.384 1.160 1.227 2.231
Рис 1. а) Частотная зависимость Кг(у) - 2; 4 и ц(у) - 1; 3, при Т=110 К. б) Частотная зависимость Кг(у)/ц(у), при Т=110 К.
Видно, что порядок К5 , /и(у), Кг (у) и К (у) одинаков и соответствует ~108 Па. С увеличением Т и уменьшением р значения этих модулей упругости уменьшаются, что соответствует экспериментальным значениям К5 [18], а с увеличением приведённой частоты у* - увеличиваются.
На рис.1а приведены частотная зависимость релаксационной объёмного Кг (у) и сдвигового /л{у) модулей упругости жидкого азота (кривые 1,2) и жидкого кислорода (кривые 3,4) при постоянной температуре Т=110 К. С увеличением приведённой частоты у* эти модули упругости монотонно возрастают и при высоких частотах стремятся к постоянному значению, что соответствует теоретическим выводам [2,4]. При низких частотах Кг (у), /л(у) медленно затухают ~у3 2 и совмещаются в одну линию, что соответствует результатам [6,7]. На рис.1б приведена частотная зависимость величины К (у) / ц(у) для жидких Ы2 и 02 при Т=110 К и соответствующих плотностях р = 627 —- для
м
N2 и р= 1035 —- для O2. Значения Kr (v)/л(у) с увеличением частоты увеличиваются
м
0.2.< Kr //л< 1.5 и при высоких частотах v> 1012Гц остаются постоянными. Область частотной дисперсии модулей K(у), Kr (у) и л(у), а также Kr / /л является широкой и соответствует вкладу структурной релаксации [3,5].
Поступило 12.06.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Корнфельд М. Упругость и прочность жидкостей. - М.-Л.: Изд. Технико-технической литературы, 1951, 107 с.
2. Фишер И.З. Статистическая теория жидкостей. - М.: Физматгиз, 1961, 280 с.
3. Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. - М.: Наука, 1964, 514 с.
4. Zwanzig R., Mountain R.D. - J. Chem. phys., 1965, v.43, №12, pp.4464-4471.
5. Физическая акустика: Cвойство газов, жидкостей и растворов./ Под ред. У. Мэзона, т.2, часть А. -М.: Мир, 1968, 487 с.
6. Эванс Д.Дж., Хэнли Г.Дж., Гесс З. - C6. Физика за рубежом. Cерия А. Исследования. - М.: Мир, 1986, с.7-28.
7. Pomeau Y. - Phys. Rev. A.: Gen. Phys., І973, v.7, N3, pp.ii34-i 147.
S. Аджемян Л.Ц., Гринин А.П., Куни Ф.М. - Теоретическая и математическая физика, 1975, т.24., №2, с.255-264.
9. Адхамов А.А., Одинаев C. - УФЖ, 1985, т.30, №12, с.1809-1814.
10. Одинаев C., Адхамов А.А. Молекулярная теория структурной релаксации и явлений переноса в жидкостях. - Душанбе: Дониш, 1998, 23G с.
11. Одинаев C., Мирзоаминов Х.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, №12, с.907-914.
12. Одинаев C., Акдодов Д., Мирзоаминов Х. - ДАН РТ, 2011, т.54, №1, с.27-34.
13. Odinaev S., Akdodov D., Mkzoaminov Kh. - Book of Abstracts, EMLG/JMLG Annual Meeting, ІІ-І5
September 2011, Wareaw, Poland, p.82.
14. Одинаев C., Абдурасулов А.А., Мирзоаминов Х.М., Акдодов Д. - ДАН РТ, 2011, т.54, №7, с.548-554.
15. Hellemans J.M., Kestin J., Ro S.T. - Physica, 1973, v.65, №2, pp.362-375.
16. Boushehri A., Bzowski J., Kestin J., Mason E.A. - J. Phys. Chem. Ref. Data., 1987, v.16, №3, рp.445-
465.
17. Boon J.P., Legгos J.C., Thomaes G. - Physicа, І967, v.33, рp.547-557.
iS. Дударь Б.Г., Михайленко СА. - Акустический журнал, 1976, т.22, вып.4, с.517-525.
С.Одинаев, А.А.Абдурасулов*, Х.М.Мирзоаминов*
TA^^^ МОДУЛ^ОИ ЧAНДИРИИ НИТРОГЕН BA ОКСИГЕНИ МОЕЪ
Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими
Дисперсияи басомадии модулх,ои чандирии хдчмй К(ю) ва лагжишй ц(ю), барои моеъхри нитроген ва оксиген, ки дорой сах,ми релаксатсиях,ои транслятсионию сохторй хдстанд, тадкик шудаанд. Х,ангоми интихоб намудани потенсиали мутакобила Ф(| r j) ва функсияи таксимоти радиалии g(r), барои моеъх,ои N2 ва O2, дар фосилаи васеъи тагйирёбии параметрх,ои термоди-намикии х,олат, кимат^ои ададии К(ю) ва ц(ю) хдсоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: релаксатсияуои транслятсионию сохторй - модулуои чандирии уацмй, лагжишй ва термикй - часпакии уацмй ва лагжишй - потенсиали мутацобила - функсияи тацсимоти радиалй - зичй ва уарорат.
S.Odinaev, A.Abdurasulov*, Kh.Mirzoaminov*
THE INVESTIGATION OF THE DYNAMIC MODULES OF ELASTICITY OF LIQUIDS NITROGEN AND OXYGEN
Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
M.Osimi Tajik Technical University
The frequency dependence of dynamics bulk K(a) and shear /u(a) modules of elasticity of liquid nitrogen and liquid oxygen were investigated, which contain contributions of translational and structural relaxation. At a certain choice of the modified Lennard-Jones potential &(r) and radial distribution function g(r), numerical calculations K(a) and ju(a) were carried out for liquid nitrogen and liquid oxygen in a wide range of changes of thermodynamic parameters of state.
Key words: translational and structural relaxation - bulk, shear and thermal elasticity modules - bulk and shear viscosity - modified potential energy - radial distribution function - density and temperature.
