Об ограниченности решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

А.М. Абдукаримов

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Кыргызской Республики,

г. Бишкек, bakir- 12042009@mail. ru

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ

Аннотация. В статье изучается ограниченность решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечных областях. Чтобы показать ограниченность решения, применяется метод неотрицательных квадратичных форм.

Ключевые слова: ограниченность, интегрируя по частям, формулы Дирихле, интегрирование.

A.M. Abdukarimov, Institute of Theoretical and Applied Mathematics National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Bishkek

ON BOUNDED SOLUTIONS OF INTEGRO-DIFFERENTIAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON INFINITE DOMAIN

Abstract. In this paper we study the limitations of solutions of integral-differential equations with partial derivatives on the endless fields. In order to show the limitations of the method of non-negative solutions of quadratic forms.

Keywords: limitations, integration by parts formula Dirichlet integration. Рассматривается уравнение:

t

ux (t, x) + a(t, x)ux (t, x) + b(t, x)ut (t, x) + c (t, x) u(t, x) + J A (t, x,s) uxs (s, x)ds +

0

x t x

+JB(t,x,y) uty (t,y)dy +JJK(t,x,s,y)usy (s,y)dyds = f (t,x) ® (t,x) e G,

0 0 0

f (t, x) e L2 (G)n C(G)

(1)

(0

с условиями

u(0,х) = 0, х е [0, + ¥ ),

u (Щ = 0, t е [0, +¥), (*)

где Aх^(^х,у),K(^х^,у(^х(^х),Ь(^хх) - известные функции, а uх) - неизвестная функция.

В статье [2] введено понятие производной и дифференциала функции по возрастающей функции ((х). Здесь на основе этого понятия изучены вопросы квадратичной интегрируемости решений интегро-дифференциальных уравнений с частным производным на бесконечной области. Вопросы ограниченности квадратичной интегрируемости и устойчивости решений для дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений изучались во многих работах, например в [1; 3; 4].

Теорема. Если выполняются условия: (£),

а) функции aх), Ьх), cх), a,t(t,х), Ь'х х), х), ^ х), <х) е Цв.);

a(^х) > 0, ^(t,х) < 0, Ь(^х) > 0, Ьх (^х) < 0 при @,х) е G;

С x )< 0, (t, x )< 0, c (t, x )>а> 0, < (t, x )> 0, c2 (t, x)-а; (t, x) ь'х (t, x )< 0

при (t,x) е С;

б) функции A(t,x,s), A;(t,x,s), А: (t,x,s),А; (t,x,s) е С(^),

A(t,x,0) > 0, A;(t,x,0) < 0 при (t,x) е G и А: (t,x,s)> 0 А; (t,x,s)< 0 при x,s)е G1;

в) функции B(t,x,у),В'х (t,x,у),В'у (t,x,у) и В; (t,х,у) е С(G2),

B(t,x,0) > 0,вх (t,x,0) < 0 при x) е G и Ву (t,x,у)> 0, Вху (t,x,у)< 0 при x,у)е G2;

г) функции K (t, x,s, у ),кy (^ x,s, у),Ks, (t, x,s, у), к; (t, x,s, у Ж (^ x,s, у), ^ (t, x,s, у), к: (^x,s,уЖ (t,x,s,у),к;y x,s,у), к'^ (t,x,s,у),к* (t,x,s,уЖу (t,х,:,у) и K(Xry) (t,х,:,у) е С(Оз),

ку (t,х,0,у)° 0 при (t,х,у) е G2, KS (t,х,:,0)° 0 при х:)е G1, К(^х,0,0)> 0, к;(t,х,0,0) < 0, к х,0,0) < 0, к;х (^х,0,0)> 0 при (t,х)е G и кsy х:,у)> 0, КЦу (t,х,s,у) < 0, к:ву (t,х,s,у) < 0, к^;;;;) (^х,:,у) > 0 при (^х,:,у) е Gз;

д) к2 х,0,0) - а;(^х,0)вх (t,х,0) < 0 при х) е G,

х(к; (t,х,s,у))2 - а: (t,х,s)в;у (t,х,у)< 0 при (t,х,:,у) е Сз, то задача (1)-(*) имеет единственное решение в 12С) п С (С). Доказательство. Сделаем следующую подстановку:

t х

и (^ х ) = у) dyds. (2)

0 0

Подставляя (2) в (1), имеем

t t t х

х) + а х) ]>(:, х ^ + Ь (t, х) у) dy +с (t, х) у )dsdy +

0 000 (3)

t х t х к '

+1 а (^ х,:) х) ds +1 в (t, х, у у) dy +| | к (^ х,у) у) dyds = ^ (t, х).

0 0 0 0

Очевидно, что задача (1)-(*) эквивалентна системе интегральных уравнений (2)-(3). Обе части уравнения (3) умножив на х) и интегрируя по области

Сх = {(:, у) :0 < : < t, 0 < у < х}, получим

t х t х : t х у

и (:, у) dyds + а (:, у )&(т, у) у) dтdyds +Ц| Ь (:, у) г) у) dzdyds +

00 000 000

t х : у t х : t х у

+ЯЯ с (:, у )&(г, г у) dzdтdyds + А (:, у,г)^(г, у у) dгdyds +Ц| В (:, у, г )х (4)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t х : у t х

х^, г) у) dzdyds + ЦЦ к (:, у,г, г )^(т, г) у) dzdтdyds =[| ^ (:, у) у) dyds

Преобразуем каждый из интегралов левой части равенства (4), за исключением первого, по формуле интегрирования по частям и используем следующую формулу:

KWWs (^ )3 к 2.

ау)д(т,уу)dтdyds = Цау) у)бт

0 0 0 0 0 10

= - |а (г, у ) ^ #(т, х) бт|су -- ^ (^ у ) у) Ст

у

Jtf(s, г) Сг

г х у

JJJ Ь (s, у г у) dzdyds = JJ Ь у)

Jtf(т, у) Ст

0

dyds.

у

J J(s, г) Сг

dyds =

dyds =

1 ' (Х V 1 ' х (у +1JЬ(^х)| JJ(s,г)бг -1JJьу ^у)| JJ(s,г)сг

А2 1 г х 2;

■ 0 V 0 у "-0 0

Далее, используя формулу:

dyds.

г х s у

= — С 2

1 " 1 t 1 ' 1 " Суу" =- (су2 ) -1 (С'у2) -1 (С'у2) +1С у2 - Су'

^ 2 ^ ' sy 2 s у 2 у ^ 2 у

г х Г s у

JJJJс(s,у)0(т,г)у)dzdтdyds = JJсу) JJJ(т,г)СгСт {{^(т,г)СгСт

0 0 0 0 0 0

1 г х 2 1 г (

- с (г, х) JJJ(т, г) СгСт - - J cS (s, х) | //^(т, г) СгСт

2 _ 0 0 J 2 0 V 0 0 1 х (' у 42 1Jсу (t,у)I JJJ(т,г)Шт

dyds =

бу +

а г х (s у Л г х у Гэ

-JJс; (^у)г)СгСт dyds-J Jс(s,у) Jtf(s,г)Сг Jtf(т,у)Ст

2 0 0 V 0 0 У 0 0 _ 0 J _ 0

dyds.

(5)

'1 2 ' 1 ' 2

Интегрируя по частям с использованием формулы KWWs = — (KW )3 - —К № и формулы Дирихле, преобразуем левую часть соотношения (4):

t х s t х s ^ (s Л

JJJА(s,у,т)0(т,уу)dтdyds = -JJJА(s,у,т)-^^т| Jtf(£,у)СХ |Ст ф,у)dyds =

0 0 0

г х

^ А (s, у,0) | JJ(X, у) бХ у) dyds + JJJ А;^, у ,т) | Jtf(А, у) у) dтdyds -

0 0 V 0 у

0

г х

000

г х ( s

1 А (г, у,0) [J у) бА бу --J J AS (s, у,0) \]д(£, у) бХ I dyds +

(6)

1 г х (' Л2 1 íxs (s Л

1JJ А (г,у,т)| JJ(Х,у)бХ I СуСт--JJJат у,т)| JJ(Х,у)СХ I dтdyds.

+ 2 •> * I - I

^00 Vт у

Аналогично этому, получим:

г х у

г х у 1 г (х Л2

JJJВу,ггу)dzdyds = -JВх,0)| Jtf(s1y)dv с

ds -

1 г х (у Л 1 г х (х -1JJВу (s,у,0)| J J(s,y)Су dyds +1JJВ'2 (s,х,г)| JJ(s,y)Су

00

1 1 ху ( У Л2

-^JJJВ' у,г)|JJ(s,y)бу с

dzds -

(7)

000

dzdyds.

г х s

s

0 0 0

0 0

0

0

у

2

0

+

000

т

0

00

0

000

т

000

0

0

2

0

00

г

Для преобразования интеграла используем следующую формулу:

" ' ' п

Су'„ = (Сп) „ -(СП) г -(С'2у)т + С Т2у

: у

при п^,у,т,г) = ¡¡й, (£у) dvdX.

- г

Преобразуем последний интеграл в левой части соотношения (4):

t х : у

ЦЦ к (:, у,т, г) ¿(-, г ¿(у) dzdтdyds =

=Я

-2

Лк(:,у,т,г)Цд(%,у)dvdX dzdт-Ц-у к'т(у,т,г)ЦJ(X,n)dndX |dzdг-

0 0

: у (

-т-г

-

-г

00 t х

-Ц -т к;: у,т, г) Ц#(1у) dvdx dzdт + Ц к; (:, у,-, г)\Ц#(1у) dvdX

dzdт

у) dyds =

(8)

= Цк(:,у,0,0)I Ц^(Х,у)dvdX ф,у)dyds + к-:у,т,0)Ц^(Хп)dvdXJ(s,у)dтdyds +

00 V 00 ) 000 т 0

t х у : у ( х : у

+1Л к; (:,у,0,г)Цд(Х,п)dvdXJ(s,у) dzdyds + ЦЦк'тг (:,у,т,г)х

000 0 г 0000

( : у Л

Цд(Х,у)dvdX у)dzdтdyds.

г )

Далее, используя формулу:

1 " 1 ' 1 ' 1 "

Спп;;у = - (Сп2) : - - (С^2) - - (Суп2): + - С :уП2 - СпП; и формулу Дирихле, из по-

2 V ' 2К : 'у 2 следнего соотношения получим

t х : у

: 2

t х : у 1 ( t х

1111 к (:, у,т, г) и (-, г) и (:, у) dzdтdyds = - к ((, х,0,0) I Д и (£,п) dvdX

0 0 0 0 t

0

t х

00 ' t у

л t ( : х ах ( t у

-1к;(:,х,0,0)I ¡¡¿(Х^)dvdx ds-11ку((,у,0,0)I ¡¡¿(Х^)dvdX

00

dy +

1 t х I : у t х ( : л/ у

1Л к; (:, у,0,0) I ¡¡¿(Х^) dvdx dyds - Л к (:, у,0,0) I ¡¿(X, у) dX||¡¿(s,v) dv

00 t

+ 2!

1 t ((х Л2 1 ts (:х

11к-((,х,т,0)I ¡¡¿(Х^)dXdv dт--■Ц к'„ (:,х,т,0)I Ц¿(Х^)dvdX

20 V - 0 ) 200 V - 0

0

л2

X

)

dyds +

dтds -

0

1 t х ( (у л2 1 t х : (: у V

-1к-у (t,у,т,0)I ¡¡¿(Х^)dvdX dydт + ^Л! к-у (:,у,т,0)I ¡¡¿(Х^)dvdX

00 t х :

- 0

000

dтdyds -

. - о

t х : (: Л( у л 1 х (t х

-¡¡!ку (:,у,-,0)I ¡¿(X,у)II ¡¿(^)dv dтdyds + -!к;((,х,0,г)I ¡¡¿(Х^)dvdX

000 t х

dz -

00

1 (ХУ ( (Х; ( :

1 ¡¡!к;*у (:,у,0,г)I ¡¡¿(Х^)dvdX dzdyds-¡¡!к;(:,у,0,г)! ¡¿(X,у)dX

1 (х (: х у 1 х у ( t у

-1 ¡¡кI (:,х,0,г)I ¡¡¿(Хл)dvdX dzds-1ДкУу ((,у,о,г) ¡¡Щу)dvdX

dzdy +

( х у

0000

: У

: У

00

- г

- г

: У

: У

: У

00

т г

г г

( х :

: У

: У

2

2

00

0

2

+

00

00

0

2

0

0

0 г

%

2

0 г

00

0 г

2

+

X

000

0 г

000

0

(у л 1 г х (г х у - г х у

х| Jtf(s,y)Су dzdyds + -JJК2 (г,х,т,г)| JJJ(Х,y)СуСХ Сгбт--JJJК'2у (г,у,т,г)х

(г у Л2 - (Л2

х\JJJ(Х,y) буСХ СгСуСт--JJJ К^ (s, х,т, г) |JJ 0(Х,у) бубХ .

dтdzds-

г х s у

-JJJJК'„ ^утг)

0 0 0 0

г х s у

s,y) Су

dzdтdyds+

(9)

л с х s у ( s у

-JJJJК^ ^У,т,г)|JJJ(,,У)СуСх

0000

dzdтdyds.

Учитывая соотношения (5), (6), (7), (9), условие г) и формулу Дирихле, из (4) имеем

ds -

г х 1х ( г Л г ( х

jjJ2 (s, у) dyds + - н а (г, у) | jtf(т, у) Ст Су + j Ь х) | jtf( s, г) Сг

0 0 2 | 0 V 0 У 0 V 0 У

г (!х Л2 х (г у Л2 | - Г' х

^ cS (s, х) ^¿(т, г) СгСт ds - j су (г, у) | //^(т, г) СгСт бу\ + - с (г, х) jjJ(т, г) СгСт

0 V 0 0 У 0 V 0 0 1 I 2 _ 0 0

+-jj<!-aS(s,у)|^(т,у)ст] -2с(s,у)Г/^(т,у)dт)(jJ(s,г)Сг -

2 0 0 | V 0 У V 0 У V 0 У

(у Л21 1 * х (sy Л2

-ьу (s,у)| j J(s,г)Сг Idyds + -jj с'у (s,у)| jj0(т,г)СгСт dyds +

\|-1 / ^1-11-1 \I-II-I

+— 2

-JА(г,у,0)иЩ,у)бА бу + -Jв(s,х,0)(Ц*у)бу

0

г х

ds +

00 г х

( х Л г х ( г Л

-JJВг (s,х,г)и^,у)Су dzds + -JJА'т(*,у,т)| Jtf(А,у)СХ I Субт-

--JJК^,у,0)^(Х,у)СХ ] + 2К(s,у,0,0)пд(а,у)dx|[JJ(s,y)су

Л21

+by(s,у,0)и^,у) су] |dyds - -/ j j j|у а'^ (s,у,т)|'¿(а,у)са] +

+2К'г у,т,г)

s,y)су + -в"у (s,у,г)| j г?^,у)су

\dzdtdyds+

+— 2

ds -

л ( г х л а г ( sх

- к (г, х,0,0) | JJJ(Х,y) СуСх - - J кs(s, х,0,0) | JJJ(Х,y) СуСх

2 V 0 0 У 20 V 0 0 У

1 х (г у Л2 - г х (sy

- - J КУ(*.у,0,0 )| JJJ(Х,y) СуСХ су + - JJ К'у у,0,0)| JJJ(Х,y) СуСХ

п \пп ^пп \пп

0

г х

dyds +

1 г х (г х Л2 - г х у (г у

-JJК'г (г,х,т,г)| JJJ(Х,y)СуСХ Сгбт-2JJJК(г,у,т,г)| JJJ(Х,y)СуСХ

бгбубт-

00

000

г

г г

000

г г

г г

2

2

2

2

+

2

0

0

2

2

+

00

т

2

+

00

0

0

0

2

2

2

2

2

2

+

00

000

г г

г г

а t x s / s x \ а t x s y

-1 Üi Ktzs (s, x,t, z) I J/J(x,v) dvdx dtdzds +11i}} Kty (s, yt z)

2 JJJ -*s v - ■ - - . - ', z) IJ J J(S,V) dvdx dtdzds + - _

2 0 0 0 v t z ) 2 0 000

z )x

Xdvdx dzdтdyds = Ц1(5,уу) dyds . (10)

V т z ) 0 0

В силу условий а) - д), левая часть соотношения (10) неотрицательна, поэтому отсюда вытекает следующее неравенство:

t x — I t x

JJJ (s,y)dyds +—\ JJj(s,y)dyds < JJ f(s,y)J(s,y)dyds.

V t x

2 ,

00 V 0 0 ) 00

Тогда, в силу подстановки (2), это эквивалентно неравенству

ео2 О , 0 . .2 1

0 0

имеем далее

t x — t x

JJ J2 (s,y)dyds + — u2 (t,x)< JJf (s,y)J(s,y)dyds

0 0 2 0 0

(11)

(12)

г X 1 г X 1 г 5

Л1 (5, у М5, у ) dyds < - Л12 (5, у ) dyds + - Л^2 (5, у ) dyds .

00 200 200

С учетом этого, из (12) имеем

1х г х

Л^2 (5,у) dyds + оси2 (г,X) <Л 12 (5,у) dyds..

0 0 0 0

Отсюда, в силу условия (1), имеем

г х ¥ ¥

(5,у)dyds + аи2 (г,х) <Ц 12 (5,у) dyds < ¥,

0 0 0 0

из которого следует

1

u2 (t, x )< — JJ f2 (s, y) dyds.

— J J

П П

Следовательно, u(t,x) ограничена при (t,x)e G.

Таким образом, теорема доказана.

Список литературы:

1. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных систем. - Фрунзе: Илим, 1974. - 352 с.

2. Асанов А. Манас университети // Табигый Илимдер журналы. - Бишкек, 2001. - № 1. - С. 18-45.

3. Асанов А., Абдукаримов А.М. О квадратичной интегрируемости решений дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечных областях // Вестн. КГНУ. -Бишкек, 2001. - Вып. 6. - С. 80-84.

4. Асанов А., Абдукаримов А.М. О квадратичной интегрируемости решений линейных двумерных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечных областях // Вестн. ОшГУ. Сер. физ.-мат. наук. - Ош, 2003. - Вып. 7. - С. 35-40.

2

2

x