ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ ТИПА СВЕРТКИ В ПРОСТРАНСТВАХ МОРРИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Научная статья УДК 517.9

doi: 10.18522/1026-2237-2022-3-4-10

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ ТИПА СВЕРТКИ В ПРОСТРАНСТВАХ МОРРИ

Олег Геннадиевич Авсянкинш, Сергей Сергеевич Ашихмин2

2 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия ' ogavsyankin@sfedu.ruB 2 sashihmin@sfedu.ru

Аннотация. В пространстве Морри рассматривается интегральный оператор Нь, ядро которого имеет вид b(x,y)h(x — у), где h - суммируемая функция. Функцию Ь(х,у) будем называть характеристикой. Для такого оператора получено достаточное условие ограниченности, которое заведомо выполняется в случае существенно ограниченной функции Ь(х,у). Показано, что если характеристика Ь(х,у) существенно ограничена и имеет заданное поведение на бесконечности, то оператор Нь компактен в пространстве Морри. В качестве следствия получен критерий нетеровости оператора, являющегося суммой тождественного оператора и оператора Нь. А именно показано, что такой оператор является нетеровым тогда и только тогда, когда его символ не обращается в нуль, при этом индекс оператора равен нулю.

Ключевые слова: пространство Морри, оператор свертки, ограниченность, компактность, нетеро-вость, символ

Благодарности: участие первого автора поддержано Региональным научно-образовательным математическим центром ЮФУ, соглашение Минобрнауки России № 075-02-2022-893.

Для цитирования: Авсянкин О.Г., Ашихмин С.С. Об ограниченности и компактности одного класса операторов типа свертки в пространствах Морри // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 3. С. 4-10.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).

Original article

ON THE BOUNDEDNESS AND COMPACTNESS OF A CLASS OF CONVOLUTION-TYPE OPERATORS IN MORREY SPACES

Oleg G. Avsyankin1^, Sergey S. Ashikhmin2

2 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

1 ogavsyankin@sfedu.ruB

2 sashihmin@sfedu.ru

© Авсянкин О.Г., Ашихмин С.С., 2022

In a Morrey space, we study the integral operator Hb with the kernel b (x, y)h(x — y), where h is the summable function. The function b will be referred to as a characteristic. For such operator, a sufficient condition of bound-edness is obtained. This condition is obviously fulfilled in the case of the essentially bounded function b (x, y). It is shown that if the characteristic b(x,y) is essentially bounded and has a given behavior at infinity, then the operator Hb is compact in a Morrey space. As a consequence, we have obtained the criterion for the Fredholm property of the operator, which is the sum of the identity operator and the operator Hb. Namely, it is shown that such operator is Fredholm if and only if its symbol does not vanish, and the index of the operator is equal to zero.

Keywords: Morrey space, convolution operator, boundedness, compactness, Fredholmness, symbol

Acknowledgments: the research of O.G. Avsyankin was supported by the Regional Mathematical Center of the Southern Federal University with the Agreement No. 075-02-2022-893 of the Ministry of Science and Higher Education of Russia.

For citation: Avsyankin O.G., Ashikhmin S.S. On the Boundedness and Compactness of a Class of Convolution-Type Operators in Morrey Spaces. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(3):4-10. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

В настоящее время имеется немало работ, посвященных пространствам Морри и их обобщениям (статьи В.И. Буренкова [1, 2] и цитированные в них источники). Исследования этих пространств начаты знаменитой работой Ч. Морри [3] и с тех пор интенсивно продолжаются по нескольким направлениям. Одним из них являются классические операторы анализа в пространствах Морри [4-6]. В последнее десятилетие значительное внимание было уделено операторам свертки в пространствах Морри. В этой связи отметим работу [7], в которой рассмотрены операторы свертки в общих пространствах типа Морри и установлен аналог неравенства Юнга для сверток в этих пространствах. В статье [8] найдены достаточные условия компактности в пространствах Морри композиции оператора свертки и оператора умножения на существенно ограниченную функцию.

Данная работа продолжает исследования, начатые в работе [8]. В пространствах Морри рассматриваются операторы вида

(Ньф)(х) = Jinb(x,y)h(x-y)V(y)dy, х е 1п, (1)

где h е L1(Mn). Функцию Ь(х,у) будем называть характеристикой. Получены достаточные условия ограниченности оператора Нь в случае неограниченной функции Ь(х,у). Кроме того, показано, что если функция b (х, у) стремится к нулю на бесконечности, то оператор Нь компактен в пространстве Морри.

Ниже использованы следующие обозначения: 1П - n-мерное евклидово пространство; х = (х1, ■■■, хп) е 1П; 1x1 = 4х\ + —+ х%; Щх, г) - открытый шар в 1П радиусом г с центром в точке х; СШ(х,г) = 1n\B(x, г); PD - оператор умножения на характеристическую функцию измеримого множества Dcln.

Предварительные сведения

Пусть 1 < р < <х>, X Q Мп - измеримое множество. Тогда Lp(X) - пространство (классов) измеримых комплекснозначных функций с нормой

Wf\\Lp(D) = (iDlf(x)lpdx)1/P,1 <р<ю; WfW^p) = ess suplf(x)l

xeD

В случае X = Mn будем использовать обозначение \\'\\р вместо \H\lp(x> Будем говорить, что f е LpC(Rn), если f е Lp(K) для любого компакта К с Мп.

Определение 1. Пусть 1<р<от и А е 1. Говорят, что функция f е Lp^E^), если f е Ll°c(1n) и

-) = \\f\\v,i = sup -TT-21 < (2)

Относительно обычных линейных операций и нормы, определяемой формулой (2), множество Lp ^(EP) образует банахово пространство, которое называют пространством Морри.

Пространства Морри Lp ^(EP) являются нетривиальными, т.е. состоят не только из функций, эквивалентных нулю на Mn, тогда и только тогда, когда 0 < X < п/р. При X = 0 иХ = п/р пространства Морри совпадают с Lp-пространствами, а именно

LPi0(Rn) = Lp(Mn), LPin/p(Rn) = Lm(Rn). (3)

В пространстве Lp^(Mn) рассмотрим оператор свертки

(Hp)(x) = JRn h(x — y)<p(y)dy, x£Bn, (4)

где h e L^M^. В работе [7] было показано, что оператор Н ограничен в пространстве Lp,^(Mn), где 1<р <от, причем \\Н\\ < \\h\\1. Здесьидалее \\-\\ = \М\£^д(еп)).

Так как операторы свертки в Lp-пространствах хорошо изучены, то, учитывая равенства (3), случаи X = 0 и X = п/р в дальнейшем исключены из рассмотрения.

Теорема об ограниченности

В пространстве Lp ^(EP) рассмотрим оператор Нь вида (1). Установим одно достаточное условие ограниченности в пространстве Морри.

Теорема 1. Пусть 1 < p < от, 0 < Л < п/р, h e L1(M"),

ß = esssupj |b(x,x-y)|p'|h(y)|dy < от. (5)

Тогда оператор Нь ограничен в пространстве Lp^(Mn), причем для любой функции ф e Lp^(Mn) справедливо неравенство

\\нbp\\plÄ<ß1/P'\\h\\11/P\\pWplÄ. (6)

Доказательство. Запишем оператор Нь в виде (Hbp)(x) = fRnb(x, х — y)h(y)p(x — y)dy.

Учитывая равенство ^(x, x — y)h(y)p(x — y) = (|b(x,x — y)||h(y)|1/p )(|h(y)|1/p|p(x — y)\) и применяя неравенство Гёльдера, получим

. 1/p'

|(Нbp)(x)|<íЛn|b(x,x — y)||h(y)||p(x — y)|dy<(íЛn|b(x,x — y)|P my^dy) х

х (SRn ^ШР^ — yWdy)1^ < ß1/p'(SRn m^Px — y^dy)1^.

Следовательно,

\\HbP\\Lv(ßix,r)) < ß1/p' (Sn(Xir)dtSRn |h(y)||p(t — y)|pdy)1/p =

= ß1/p' (Mn mm^m—y)^]11' =

\1/p _, /, .........p . \1/p

= P1/p' (jRn IHy)ldySnix_yr)IHz)lpdz) = p1/p' (jRn IHy)l\\(p\\PLpmx-y,r))dy)

Используя определение нормы в пространстве Морри, получим

1 / P

ШъР\\р,х= sup г-*\\Ньр\\,тх,г))<Р1/р' sup r-A(f lh(y)l\\p\\Pm r^dy) <

xeRn,r>0 ^ xeRn,r>0 4 ж v y " J

<p1/p' sup (iRnlh(y)l(r-^\p\Lp{B(x-yr)))Pdy)1/P < p1/p'\h\l/p\p\p:A.

хелп,г>0 Теорема доказана.

Отметим, что для выполнения условия (5) функция Ь (х, у) не обязана быть ограниченной. Приведем соответствующий пример. Определим на М2 функцию Ь(х,у) формулой (-0, |х|<1,уеМ,

Ь(х,у) = { ги,\\1/р' и пусть Ыу) = е—у\. Тогда

((5) ,\х\>1,уеш,

ß = esssupfR^-fe Wdy = esssupfR--^ e Mdy < -eR R - \x\>i R x x

< essx i^iü^^^y+i^y^1^ < œ.

h,

Если b e Lœ(Mn x Мп), то условие (5) заведомо выполнено, причем fi < llbllœ llhl^. Из неравенства (6) следует, что

ЦнЬ(рЦрЛ < llbiuihiiiii(piiPiÀ. (7)

Теоремы о компактности

В этом разделе всюду предполагается, что b e Lœ(Mn x Мп). Как было отмечено выше, в этом случае оператор Нь ограничен в пространстве Морри и выполнено неравенство (7). Исследуем компактность оператора Нь.

Лемма 1. Пусть 1 < p < от, 0 < À < п/р, h e L1(Mn), D - ограниченное измеримое множество в Mn. Тогда операторы РрНь и HbPD компактны в пространстве Lp^(Mn).

Доказательство. Докажем компактность оператора РоНь. Пусть вначале Ь(х,у) = = b1(x)b2(y). Тогда Нь = Мь НМЬ , где H - оператор вида (3); Мь. - оператор умножения на

12 J

функцию bj, j = 1,2. Следовательно, PDHb = PDMbiHMb2 = MbiPDHMb2.

Так как оператор PDH компактен в пространстве Lp^(Mn) [8], то оператор РоНь также компактен. Очевидно, что оператор РрНь является компактным и в случае, когда

b(x,y) = rjLibu(x)b2j(y), (8)

где m - произвольное натуральное число.

Пусть теперь Ь(х,у) - произвольная функция из Lœ(Mn x Мп). Так как множество S, состоящее из всех функций вида (8), всюду плотно в пространстве Lœ(EP x Мп), то найдется такая последовательность {Ьк(х,у)} с S, что ЦЬ — bkllœ ^ 0 при к ^ от. В силу (7)

\\PDHb-PDHbk\\ < \\Hb-bk\\ < llb — bklUlhlli ^ 0.

Следовательно, оператор РрНь является компактным, как равномерный предел последовательности компактных операторов РрНЬк.

Компактность оператора HbPD доказывается аналогично.

Определение 2 [9, p. 41]. Будем говорить, что функция Ь(х,у) из пространства Lœ(EP x Мп) принадлежит классу Bsup(Mn x Mn), если существует такая постоянная bœ, что lim ess sup \b(x,y) — bœ\ = 0.

\x\>N,\y\>N

Если bœ = 0, то будем говорить, что b e В^ар(Шп x Мп).

Заметим, что класс В^ир(Шп x Мп) представляет собой замыкание по !ю-норме множества всех функций из Lœ(Mn x Мп), имеющих компактный носитель.

Следующая теорема является основным результатом этого раздела.

Теорема 2. Пусть 1 < р < от, 0 <Х< п/р, h e L1(Rn). Тогда:

1. Если b e Bsup(Rn x Мп), то оператор Нь компактен в пространстве Lp,^(Mn).

2. Если b e Bsup(Rn x Mn) и оператор Hb является компактным, то bœ = 0.

Доказательство 1. Рассмотрим шар В(0, N), где N - произвольное натуральное число. Тогда

Hb = Pn(0,N)Hb + Pcn(0,N)HbP]$(0,N) + Pcn(0,N)HbPcB(0,N).

В силу леммы 1 оператор TN = Рш(0,м)Нь + Pcm(0,N)HbPm(0,N) является компактным. Оценим норму

^Нь — ТмН = \\Pcm(o,N)HbPcrn(o,N)\\. (9)

Заметим, что (РСш(о,м)НьРсш(о,м)^)(х) = îmXN(x)b(x,y)xN(y)h(x — y)p(y)dy, где Xn - характеристическая функция множества CM(0,N). Из условия b e BQUp(Mn x Мп) с учетом неравенства (7) следует, что \\Рст(0N)HbPcm(0n)\\ < ess sup \b(x,y) \ lhl1 ^ 0 при N ^ от. Так как

\x\>N,\y\>N

ЦНЬ — rwll ^ 0 и TN - компактный оператор, то оператор Hb также является компактным.

2. Так как b e Bsup(Rn x Мп), то (b — bœ) e В^ир(Мп x Мп), потому оператор Hb-boo является компактным. Из равенства bœH = Hb — Hb-bao следует компактность оператора НЬао. Так как оператор H не компактен, то bœ = 0.

Отметим, что теоремы о компактности произведения оператора свертки и оператора умножения на функцию, полученные в работе [8], являются частными случаями этой теоремы.

Теорема 2 позволяет получить критерий нетеровости оператора А = cl + Hb, где с e С. Считая, что b e Bsup(Mn x Мп), назовем символом оператора А функцию а(%) = с + bœh(%), Ç e Мп, где h(Ç) = f п h(x)e^xdx - преобразование Фурье функции h(x).

Следствие 1. Пусть 1 <р < от, 0 <Х< п/р, h e L1(Rn), b e £sup(Mn x Mn). Для того чтобы оператор A был нетеровым в пространстве Lp ^(Mn), необходимо и достаточно, чтобы его символ удовлетворял условию

o(Ç) e Мп, (10)

где - компактификация Mn одной бесконечно удаленной точкой. Если условие (10) выполнено, то индекс оператора A равен нулю.

Доказательство. Справедливо равенство А = cl + bœH + Hb-baa.

Так как (b — bœ) e BQup(Mn x Мп), то по теореме 2 оператор Hb-boo является компактным. Следовательно, оператор А нетеров тогда и только тогда, когда нетеров оператор cl + bœH, причем их индексы равны. Согласно результатам работы [10], условие (10) является необходимым и достаточным для нетеровости и обратимости оператора cl + bœH. Отсюда вытекает справедливость следствия.

В заключение приведем еще одно достаточное условие компактности оператора Нь.

Теорема 3. Пусть 1<р < от, 0 <Х< п/р, h e L1(Mn), функция b e Lœ(Mn x Mn) и для

любого £ > 0 удовлетворяет условию lim mes {y: |y| > N, ess sup |b(x, y)| > £} = 0.

( \x\>N )

Тогда оператор Hb компактен в пространстве Lp^(En). Доказательство разобьем на два этапа.

1. Пусть сначала h e C0°(En). Повторяя доказательство теоремы 2, приходим к равенству (9), где TN - компактный оператор. Докажем, что

Hm||PCB(o,w)tfbPcB(o,w)ll = (11)

Возьмем произвольное £ > 0. Введем обозначения:

un,e = {У: \У \ > N,ess sup \b(x,y)\ > e},

' \x\>N 1

VN,s = {У'- М > N,ess sup \b(x,y)l < s\ i \x\>n j

Ясно, что UN s U Vni£ = C1(0, N) и UN s П Vni£ = 0. Кроме того,

lim mes(UN£) = 0. (12)

Запишем оператор РСш(о,м)ньрсш(о,м) в виде (Pcn(o,N)HbPCn(o,N)V)(x) = iRn bN(x,y)h(x — y)(p(y)dy, где

bN(x,y) = XN(x)b(x,y)xN(y), (13)

а Xn - характеристическая функция множества CB(0, N). Согласно неравенству (6),

\\Рсв(0,юНЬРст(0,ю\\ < ßl^'WhWl^, (14)

где ßN = ess sup f JbN(x,x — t)\p'\h(t)\dt.

Полагая у = x — t и учитывая (13), получаем

ßN = ess supfKn\bN(x,y)IP'lh(x — y)\dy = ess supf Jb(x,y)IP'\h(x — y)\dy <

x£Rn M \x\>N \y\~"

< ess supf |b(x,y)|p |h(x — y)|dy + ess sup f \Ь(х,у)\р \h(x — y)\dy.

\x\>N Un'£ \x\>N Vn'£

Обозначим слагаемые в этой сумме через ßfj и ßjij соответственно.

Тогда ßN<ß1 + ß%.

Оценим ßft. Пусть ^ = sup \h(x)\. Тогда

ßu < ^ ess sup Г \b(x,y)lp'dy < ^ ess sup \b(x,y)lp'mes(UNe) < ^WbW^mesfUMe).

\x\>N Un'£ \x\>N,yeUN}£ V . у vw

В силу (12) Рм ^ 0 при N ^ от. Таким образом, по выбранному £ > 0 найдется такой номер М0, что рЦ < £р' для всех N > Ы0.

Для второго слагаемого имеем оценку

езззпр \Ь(х,у)\р' Ь \Кх - у)\йу < £р' $ \1г(у)1(1у = £р' Таким образом, для любого N > Ы0 справедливо неравенство <

£р + £р ЦЛ.Ц1. В силу (14)

имеет место неравенство ||^св(0,м)^ь^св(0,м)|| < £(1 + которое означает, что

выполнено условие (11).

2. Пусть теперь к(I) - произвольная функция из ^(М^. Так как класс С0°(Мп) всюду плотен в ^(М^, то найдется такая последовательность [кк] с С0°(Мп), что \\И — ^ 0 при к ^ от. Рассмотрим оператор (НкЬр^(х) = Ь(х,у)И.к(х — у)р(у)(у, который по доказанному выше является компактным. Используя неравенство (7), получим Цнь — НкЬЦ < \\Ь\\Ю\\Л. — И.к\\1 ^ 0 при к ^ от. Следовательно, оператор Нь компактен в пространстве Ьр ^(Шп). Теорема доказана.

Список источников

1. Burenkov V.I. Recent progress in studying the boundedness of classical operators of real analysis in general Morrey-type spaces. I // Eurasian Math. J. 2012. Vol. 3, № 3. P. 11-32.

2. Burenkov V.I. Recent progress in studying the boundedness of classical operators of real analysis in general Morrey-type spaces. II // Eurasian Math. J. 2013. Vol. 4, № 1. P. 21-45.

3. Morrey C.B. On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1938. Vol. 43. P. 126-166.

4. Буренков В.И., Гулиев В.С., Тарарыкова Т.В., Шербетчи А. Необходимые и достаточные условия ограниченности истинных сингулярных интегралов в локальных пространствах типа Морри // Докл. РАН. 2008. Т. 422, № 1. С. 11-14.

5. Chen Y., Ding Y., WangX. Compactness of commutators for singular integrals on Morrey spaces // Canad. J. Math. 2012. Vol. 64, № 2. P. 257-281.

6. Burenkov V.I., Senouci M.A. Boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey type spaces // Eurasian Math. J. 2021. Vol. 12, № 4. P. 92-98.

7. Буренков В. И., Тарарыкова Т. В. Аналог неравенства Юнга для сверток функций для общих пространств типа Морри // Функциональные пространства, теория приближений, смежные разделы математического анализа: сб. ст. к 110-летию со дня рождения академика С.М. Никольского. Труды МИАН. 2016. Т. 293. С. 113-132.

8. Авсянкин О.Г. О компактности операторов типа свертки в пространствах Морри // Мат. заметки. 2017. Т. 102, вып. 4. С. 483-489.

9. Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with Involutive Operators. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 2001.

10. Авсянкин О.Г. Об обратимости операторов типа свертки в пространствах Морри // Изв. вузов. Математика. 2019. № 6. С. 3-10.

References

1. Burenkov V. I. Recent progress in studying the boundedness of classical operators of real analysis in general Morrey-type spaces. I. Eurasian Math. J. 2012;3(3): 11-32.

2. Burenkov V. I. Recent progress in studying the boundedness of classical operators of real analysis in general Morrey-type spaces. II. Eurasian Math. J. 2013;4(1):21-45.

3. Morrey C. B. On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc. 1938;43:126-166.

4. Burenkov V.I., Guliev V.S., Tararykova T.V., Sherbetchi A. Necessary and sufficient conditions for the boundedness of genuine singular integral operators in Morrey-type local spaces. Dokl. Akad. Nauk. 2008;422(1):11-14. (In Russ.).

5. Chen Y., Ding Y., Wang X. Compactness of commutators for singular integrals on Morrey spaces. Canad. J. Math. 2012;64(2):257-281.

6. Burenkov V. I., Senouci M. A. Boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey type spaces. Eurasian Math. J. 2021;12(4):92-98.

7. Burenkov V.I., Tararykova T.V. An analog of Young's inequality for convolutions of functions for general Morrey-type spaces. Function Spaces, Approximation Theory, Related Sections of Mathematical Analysis. Proc. SteklovInst. Math. 2016;293:107-126.

8. Avsyankin O. G. On the Compactness of Convolution-Type Operators in Morrey Spaces. Mathematical Notes. 2017;102(4):437-443.

9. Karapetiants N. K., Samko S. G. Equations with Involutive Operators. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser Publ., 2001.

10. Avsyankin O. G. On Invertibility of Convolution Type Operators in Morrey Spaces. Russian Mathematics. 2019;63(6):1-7.

Информация об авторах

О.Г. Авсянкин - доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Региональный научно-образовательный математический центр.

С. С. Ашихмин - аспирант, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the authors

O.G. Avsyankin - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Head of the Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Regional Scientific and Educational Mathematical Center.

S.S. Ashikhmin - Postgraduate, Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 29.05.2022; одобрена после рецензирования 08.06.2022; принята к публикации 30.08.2022. The article was submitted 29.05.2022; approved after reviewing 08.06.2022; accepted for publication 30.08.2022.