Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

Дзарахохов Азамат Валерианович

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2005, Том 7, Выпуск 1

УДК 517.946

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

А. В. Дзарахохов

Доказана однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи типа Бицадзе — Самарского для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

Пусть О — односвязная смешанная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная отрезками ААо, АоВо, ВоВ прямых х = 0, у = уо, х = I соответственно и характеристиками АС : х + у = 0, ВС : х — у = I уравнения

иххх — Цу — А^, у> 0, ^ХХХ Цуух, у < 0;

(1)

О1 = О П (у > 0), О2 = О П (у < 0). Через I обозначим интервал 0 < х < I прямой у = 0.

ЗАДАЧА 1. Найти функцию Ц (х,у) £ С (О) П С 1(О) П СХ^^) П СХ]у> (О2), удовле-

■»(3,2),

творяющую уравнению (1) в О1 и О2 и краевым условиям

и(0, у) = <^(у), Цх(0, у) = <^(у), 0 < у < уо,

дЦ

"1 (у) дх + в1(у)Ц(х,у)

и Цс = ^(х)

дЦ

= («2(у) "дх + в2(у)и(х,у)

х=хо

ди

дх

+ ¿(у),

Х=1

= ^2(х), 0 ^ х ^ АС 2

(2)

(3)

(4)

где ^>1 (у), ^>2(у), ¿(у), (х), ^2(х) — заданные достаточно гладкие функции, хо £ I, причем в2(у) = 0.

Общее решение уравнения (1) при у < 0 задается формулой

и (х,у) = (х + у) + ^(х — у) — ш(у),

где (х) £ С 1(1) П С2(1), ^г(х) £ С(I) П С2(1).

Удовлетворяя (5) краевым условиям (4), получим

(5)

х-у -2у

и(х, у) = *1(х+у)+^1{ + I 1 /

оо

^ ( ^ (х+у)^!(0)—¿1(0).

(6)

0

Дифференцируя (6) по x и y и вычитая из первого соотношения второе, а затем переходя к пределу при y ^ 0-, получим функциональное соотношение между т(x) и v(x), принесенное из гиперболической части на линию y = 0 в виде

т'(х) - v(x) = 0(x), (7)

где

т(x) = lim U(x,y), v(x) = lim Uy(x,y),

y^ü- y^ü-

©(x) = Vi (f) + I) -V2^2(0).

Из уравнения (1) при y > 0 следует, что т(x) и v(x) будут связаны следующим соотношением, принесенным из параболической части на линию y = 0

т'"(ж) - v(x) - Ait(x) = 0. (8)

Исключая V(x) из (7) и (8) и учитывая граничные условия (2) и (3) при y ^ 0+, получим нелокальную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка

т"'(x) - t'(x) - Aiт(x) = -0(x), (9)

т(0) = ^i(0), т'(0)= ^2(0), (10)

(ai (0)т '(x)+ в1 (0)т (x))|x=xo = («2(0)t'(x)+ &(0)t (x))|x= + ¿(0). (11)

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению (0 = 0) (9), имеет вид

k3 - k - Ai =0. (12)

Л2 i

Введем обозначения s = -j- - 27• Известно [1], что уравнение (12) имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня, если s > 0. Оно имеет три различных действительных корня, если s < 0. При s = 0 все три корня уравнения (12) действительны, причем два из них равны. Рассмотрим случай, когда s > 0. В этом случае ki = ui + vi, k2 = -+ ih, кз = -Цр - ih, где через ui, vi обозначена какая-нибудь пара значений кубических радикалов, причем h = ^(ui - vi).

u = V3^ + vs, v = V3^ + vs,

удовлетворяющих соотношению uv = 3.

Общее решение неоднородного уравнения (9) будем искать в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (0 = 0) (9). Заменим произвольные постоянные некоторыми непрерывно дифференцируемыми функциями от x, т. е. положим

т(x) = Ci(x) exp(kix) + (C2(x) cos hx + C3(x) sin hx) exp ^-^ j x. (13)

Выберем функции C¿(x), i = 1, 2, 3, так, чтобы т(x), определяемое формулой (13), было общим решением уравнения (9). На основании общей теории [2], для определения C¿(x) получим следующую систему дифференциальных уравнений

'Ci (x)zi + C2 (x)z2 + C3 (x)z3 = 0,

Ci (x)zi + C2 (x)z2 + C3 (x)z3 = 0, (14)

[Ci (x)zi' + C2 (x)z2' + C3 (x)z3' = -0(x),

где z1 = exp(kix), z2 = coshxexp(-^r)x, z3 = sinhxexp(-^)x фундаментальная система решений однородного (0 = 0) уравнения (9).

Система (14) есть алгебраическая линейная неоднородная система относительно Ci(x). Разрешая эту систему относительно Ci(x), находим

Ci(x) = -

(Wni(xMx))

W (x)

(15)

где ^ы(х) — алгебраическое дополнение элементов п-й строки определителя Вронского.

W (x) =

— cos hx — h sin hx j ( ( kj- — h2 ) sin hx — k1h cos hx

— ^ ( ( ~j — h2 ) cos hx + k1h sin hx

+ cos hx + sin hx

exp ( jk1x

2

h cos hx — "i sin hx j k2 — k-^i (kj- — h2 ) sin hx — k1 h cos hx

"2

— h2 j cos hx + k 1 h sin hx — k 1 ( — cos hx — h sin hx

k

= 0,

причем

W31(x) = —k1h exp(—k1x),

3 k1

W32(x) = (h cos hx — 2k1 sin hx)exp(—x),

3k1 W33(x) = —(^k1 cos hx — hsin hx) exp(—x).

Интегрируя равенство (15) от 0 до x, получим

Q(x) = — / + 7„i: = 1,2,3,

(16)

где Yi — произвольные постоянные. Подставляя (16) в (13), находим

т (x) =—J2'

Wni(t)e(t) dt

W (t)

+ Y1 Yizi-

i=1

(17)

x

Удовлетворяя (17) граничным условиям (10), (11), получим алгебраическую линейную неоднородную систему относительно Yi, 2 = 1, 2, 3, с определителем

3

Д = (©1 — С ©2)Л — 2 к1©3,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где

( ki \ / ki

+ a2(0) f (hsin hl + ^2- cos hl J — в2(0) cos hl J exp f—^2-l

ki . , A „ . , A ( ki T

- ^a2(0) ^h cos hl - ^ sin hl^ + e2(0)sin hl^ exp ^- ^l^ . Разрешая эту систему относительно y¿, находим

Yi = A-i ((¿i - pi (0)02) - P2(0) + n'(0) - Ipi(0)^ ,

если А = 0.

После определения т(x) в области ^i приходим к задаче (1), (2), u(x, 0) = т(x), u(l, y) = P3(y). Решение этой задачи дается формулой (4).

i y

U(x, y) = v(x, y) - A У <%J G(x, y; n)U(6 n) <n, A = ^, (18)

0 0

где

y

( У У

J (ж,у;0,пМ (п) ^У ^(ж,у;0,п)р2(п) 0 0

У 1 \

^У (ж, у;1,п)^з(п) ^п ^У С(ж,у; 0)т(£) , 00

С(ж, у; £,п) — функция Грина рассматриваемой задачи для уравнения иххх — иу = 0. Метод построения и ее основные свойства даются в работе [4]. Решение интегрального уравнения (18) можно выписать через резольвенту Д(ж, у; п) ядра АС(ж,у; £,п)

y i

и (ж, у) = г>(ж,у) + У dп J й(ж,у; £,пМ£,п) (19)

00

Реализуя краевое условие (3), получим интегральное уравнение относительно функции ^з(у)

У

в2(у)^з(у)^У м(ж,п)^з(п) dn = 5(у), (20)

0

где ядро М(х,п) и правая часть д(у) уравнения (20) выражаются через функцию Грина С, резольвенту К и заданные функции (3).

По условию ^2(у) = 0. Таким образом, уравнение (20) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе С (0 < у < уо).

После определения функции ^з(у), решение задачи 1 в области О1 находим по формуле (19), а в области О2 приходим к задаче (1), (4), и(х, 0) = т(х), единственное решение которой дается формулой

х+у 2у

и(х, у) = т(х + у) — (+ (^у1) — / ^ (2) ^ — 71 /

х- у о

где т(х) определяется из (17).

Литература

1. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре.—М.: Наука, 1984.—415 с.

2. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: Высшая школа, 1963.—545 с.

3. Елеев В. А., Макоева М. Х. О некоторых нелокальных краевых задачах для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядка // Известия КБНУ РАН.—2002, № 1 (8).—С. 9-17.

4. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.— Ташкент: Фан, 1979.—238 с.

Статья поступила 6 сентября 2004 г-

ДЗАРАХОХОВ ЛзАМАТ ВАЛЕРЬЯНОВИЧ Владикавказ, Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова

Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Дзарахохов Азамат Валерианович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Дзарахохов Азамат Валерианович

Текст научной работы на тему «Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками»