Нелокальная краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками и с группой младших членов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ И С ГРУППОЙ МЛАДШИХ ЧЛЕНОВ

© 2007 г Л.Р. Рустамова

This work considers the un local region task for the mixed equation of the third order with a concise characteristics and group of younger members. The unity and existence of solution (decision) of this task are proved.

Рассмотрим уравнение

0 =

+ a1(x, y)ux + ao(x, y)u - uy, y > 0,

^ 2 u

д 2u ^

dx dy2

y < 0 ,

(1)

в конечной области О , ограниченной отрезками прямых х = 0, у = h, x = l, а также характеристиками x + у = 0, x - у = l уравнения (1). Пусть О1 = = Пп(у > 0), О2 =Пп(У < 0).

Задача 1. Найти функцию u (х, у) со следующими свойствами: 1) и( x, у) является регулярным решением уравнения (1) в области О , кроме прямой у = 0;

2) и(х, у) е C(О) п С*(О); 3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:

и(0, у) = ^1(у), и(1, у) = Ф2 (у), их (0, у) - их (7, у) = ^з(у), 0 < у < К

(2)

ди

и AC = У1( x) -Г-дп

AC

= У 2 (x), 0 < x < -2-

(3)

u(x, y) =

где п - внутренняя нормаль; (у), I = 1,3 и ц/^ (х), I = 1,2 - известные функции, причем срг (у) е С[0, к] I = 1,3, ^ (х) е С1 [0,1], р2 (х) е С[0,1].

Предполагается, что а0(х,у), а1(х,у), а1х(х,у) е е С(01). Под регулярным будем понимать решение, производные которого до порядка, входящего в уравнение, существуют и непрерывны в рассматриваемой области О при у ф 0 .

В дальнейшем искомую функцию и (х, у) представим в виде

[и1(х, у), (х, у) еОь |и 2 (х, у), (х, у) еО 2 Пусть

И1 (х,0) = т (х), И1у (х,0) = V(х), и 2 (х,0) = Т2 (х), и 2у (х,0) = 1^2 (х), Условия согласования принимают вид т (0) = = ^(0), Ту (I) = ^2(0), Т(0) -т1(1) = ^з(0),

т2(0) + ^(0) = 72^(0).

Воспользуемся тем, что любое регулярное решение уравнения (1) в области О 2 представимо в виде и2(х, у) = и(х, у) + ю(у), где и(х, у) - регулярное ре-

шение уравнения Lu = uxx - Uyy = 0 ; с(y) - дважды

непрерывно дифференцируемая функция, которую можно подчинить условию ®(о)=®'(о)= 0 [1].

Пользуясь общим представлением И2( x, y) = = Fi( x + y) + F2 (x - y) + g>i (y) решения уравнения (1) в области Q2, находим, что решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), имеет вид

u2(x,y) = Fi(x + y) + (x-y) +((/2)-

i--2 у

-1/ V2 ((/2)t - (x + y)'(0) - F (0).

0

Отсюда получаем функциональное соотношение между Т2 (x) и V2 (x) в виде т2 (x) - V2 (x) = ^(x), где

£(x) = y/{ (x / 2) + Vv2 (x / 2) - Vv2 (0).

Переходя к пределу уравнении (1) при y — +0, получим соотношение между т (x) и v (x).

rf(x)- v1 (x) + ax (x,0)r'(x) + a0 (x,0)rj (x) = 0 . (4) По условию задачи, т2 (x) = т{ (x) = т' (x), v1(x )= v2 (x)= v(x)

Учитывая граничные условия (2), приходим к нелокальной двухточечной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка т "' (x) + a (x,0) - 1)т' (x) + a0 (x,0)t(x ) = ^(x), (5) т(0) = px (0), т(/) = p2 (0), т '(0) - т '() = <Р3 (0) . (6) Лемма 1. Если u(x,-x) = 0, du / dn(x,-x) = 0 , то для

любого регулярного решения уравнения (1) имеет ме-

x

сто неравенство J = т ((V (()t > 0 при любом

0

x е[0,/].

Лемма 2. Если a[ (x,0) - a0 (x,0) > 0 и

lim u(x,0)uxx(x,0) = 0, lim u(x,0)uxx(x,0)= 0, px(0) =

x—1+0 x—l-0

= p2 (0) = (рз (0) = 0, то для любого регулярного решения уравнения (1) справедливо соотношение

x

J = |т1(( V (()dt < 0.

0

Теорема 1. Пусть u(x, y) - регулярное в области Q решение однородной задачи 1. Тогда u(x, y)= 0 в Q.

и

Доказательство. Рассмотрим однородную задачу 1 в области ": <р1 (у) = 0, тi (х) = 0, i = 1,3 . Пусть она имеет нетривиальное решение u(х,у). Введем новую неизвестную функцию и(х, у) по формуле

u (х, у) = и(х, у) ехр(Ях + ну), (7)

где Л и н - некоторые действительные постоянные, подлежащие определению. Подставляя (7) в (1) при у > 0, получим уравнение Lu = иххх + 3Лихх +

+ (?! + 3Я2 )Ъх + (?о + Яо.1 + Л3 - н)и -иу = 0 .

Граничные условия примут вид и(0, у ) = 0, и((,0)= 0, и(х,0) = 0,

их (0, у)-еЯох ((, у )= 0. (8)

Рассмотрим тождество

| uL udхdy = 0, (9)

где - область, определенная неравенствами £ < х < l-£, £ < у < И .

Проинтегрируем тождество (9) с учетом однородных граничных условий (8), а затем устремим £ к нулю. В результате получим равенство |[- 3Яи2 +(- 1/2а1х +Яа1 + а0 +Я3 - /Нри2 ]х

хdхdy = 0 . (10)

Подберем Л и н таким образом, чтобы Л > 0,

Л > max[- 1/2а1х + Лal + a0 + Л J, что всегда возмож-

Ql

но, так как по условию a0, ai, aix е c(Qi). Следовательно, при таком выборе Л и / левая часть равенства (10) становится строго отрицательной, что невозможно, если u(x, у) Ф 0. Отсюда вытекает, что

u(x, y)= 0 всюду в Qi. Согласно (7), u(x, y) = 0 всюду в Qi. В случае однородной задачи 1 имеем а (у) = 0 . Тогда задача Дарбу или Коши в области Q 2 имеет также только нулевое решение u 2 (x, у) = 0 .

Перейдем к доказательству существования решения задачи 1. Пусть ai (x,0) = © 0 = const, a0 (x,0) = = ©0 = const. Решение задачи (5), (6) существенно зависит от расположения корней характеристического уравнения

к3 +(©1 -1)) + ©0 = 0, (11) соответствующего однородному уравнению

r"'(x) + (©1 - 1)T(x) + ©0r(x) = 0. (12)

Введем обозначение S = ©0 / 4 + (©1 -1)3 / 27. Известно [2], что уравнение (11) имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня, если S > 0, три различных действительных корня, если S < 0 . При S = 0 все три корня уравнения (11) действительны, причем два из них равны.

Пусть S = 0. Тогда к1 = 3©0 /(©1 -1),

к2 = кз = к = -3©0 /[(©1 -1)], причем выполняются неравенства ©0 < 0, 0 <©1 <-3/2©0l. Так как об-

(14)

щее решение уравнения (12) имеет вид т(х) = С1 ехр(к х) + +(С2 + С3 х)ехр(кх), то методом вариации постоянных находим общее решение уравнения (5) в виде

т(х) = «1 ехр(^х) + (а 2 + а3 х)ехр(кх) + Р(х), (13)

где а, i = 1,3 - произвольные постоянные,

Р(х) = X1 {(( (х - Г))+ (1 - х(х + г))ехр(((х - /))}х

0

)dt, х = к - .

Подставляя (13) в граничные условия (6), получим систему линейных уравнений относительно а {, i = 1,3

а +а2 =91 (0),

а1 ехр(к^) + а2 ехр(к/) + аъ1 ехр(к/) = 92 (0), а1 [ - ехр(к11 ))) ] + а2 [ - ехр(к/))) ] + + а3 [1 - (1 + к1 )ехр(()] = 9 (0),

где 92 (0) = 92 (0) - Р(1), 93 (0) = 9э (0) - Р).

Определитель системы (14) имеет вид А = = {[1 -(1 + к1) ехр(к/ )] + [к1 +(/ - 1)к ]ехр(к^)}ехр(к/), в силу сделанных предположений относительно коэффициентов © 0 и ©1, отличен от нуля. Решение системы (14) представлено в виде а1 =91 (0)-а2,

а2 = {А-1 [1 -(1 + к1 )ехр(к1 )][9 (0) - 9Х (0)ехр(к11)] -

- [93 (0) - 9 (0)] - к ехр(к11 )] ехр(к1)}, аэ = А-1^ (0)-91 (0))1 - ехр((1) )][ехр(к/)-ехр(к^ )]-

- [2 (0) - 91 (0)ехр(к1/)](( - к1) - ехр(()]}.

Таким образом, подставляя (15) в (13), получаем единственное решение задачи (5), (6).

Аналогичным образом находятся решения и для £ < 0 , т.е. корни уравнения (10) действительны и различны к1 = -к2 - к3, к2, . В этом случае т(х)= ехр(к] х)А-1

(15)

X

fe (0)- p(l ))(k 2 (1 - exp(k 2l))- k 3 (1 - exp((

x

+ (93 (0) + P(l )Хехр(*з/) - exp(( 2l))] + + 9 (о)(^з exp(k2l))(l - exp^l)) - к2 ехр(з1)(1 - exp(k2I)) + + ехр(к2 x)[(92 (0) - p(l ))(к3 (l - exp((3l)) - к1 (l - exp(k1l))) + + ( (0) + p(l ))^p((il) - exp((l )) + + 9 (o)(exp(k3l)к1 (l - exp(k1l)) - k3 exp((l)(1 - exp((3l)))] +

+ exp(k3 x)[(92 (o) - p(l ))(к1 (1 - exp(k1l)) -

- к2 (1 - exp(k21)))+(93 (0)+p'(())(eexp(k21) - expfal))+ + 91 (0)(к2 exp(k1l)(1 -exp(k21))-

- k exp(k21X^ - exp(k1l)))]}

Пусть теперь S > 0, т.е. 3(© 0/2)2 + (©1 -1)/3 > 0, тогда t(x) = «1 exp(- 2ax) + exp(ax) x x (a2 cos bx + a3 sin bx) +g(x) , где

g (x)= 0f j(a 2 +b 2 )exp[2a(( - x)] ^ 9a2 b + b3 j x

x [sin bx(a cos bt - b sin bt )-

- cos bx(3a sin bt + b cos bt)]p(()exp[a(x -1)]^dt.

Д = [2a exp(- 2al)+ a exp(2al)-3a]sin bl + + [1 + exp(2al)]b cos bl - b exp(al). a1 = Д-1 {b(1 - exp(al)cos bl)- a exp(al)sin bl]x x [p (0)cos bl - ((2 (0) - g(l)exp(- al))]-,

- [a(1 - exp(al) cos bl)+b exp(al) sin bl - p3 (0) - g '(l)] sin bl}, a2 = Д-1 {2a(exp(- 2al) -1) - p3 (0)] + + [b(1 - exp(al )cos bl) + a exp(al )sin bl ]x x [(2(0) - g(l)exp(- al)- (1 (0)exp(al)]}, аз = Д-1{(рз (0)-g'(l))cosbl --[a(1 - exp(al )cos bl) + b exp(al )sin bl ]x x((2 (0)- g (l )exp(- al)) +

+ P (0)[a(1 - exp(al )cos bl) + b exp(al )sin bl ]exp(al) -

- 2а(ехр(- 2а1)- 1)со8 Ы\ при условии, что Д ф 0 . Таким образом, для каждого £ однозначно определена функция т(х), а следовательно, по (4) определяется функция (х) = 1^2 (х).

Литература

1. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанно-

го и смешанно-составного типов. Ташкент, 1979.

2. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М., 1984.

Ингушский государственный университет, г. Магас

6 октября 2006 г.