CC BY
14УДК 517.95
ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
С, А, Бейлин
Постановка задачи
В области Б = {(х, £) : 0 < х < I, 0 < £ < Т} рассмотрим уравнение
Р
Щг = + -их (1)
х
и поставим для него задачу отыскания ограниченного в Б решения с начальными данными
и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ^(х) (2)
и нелокальным интегральным условием
I
! хри{х,-Ь)3,х = Е(г), (3)
о
где функции ф(х), Ф{х), Е(£) заданы, р = сог^ > 1 и выполняются условия согласования:
1 1 J хрф(х) &х = Е(0), ! хр^(х) 3,х = Е'(0). (4)
о о
Уравнение (3) изучалось ранее в связи с исследованием сингулярной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа
Р
ихх + ЩЪуиуу + хи* =
© 2008 Бейлин С. А.
В работе [1] доказана разрешимость задач Коши и Коши — Гурса в области гиперболичности, ограниченной характеристиками уравнения.
Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения (3) при р = 1 рассматривалась в работе [2], однако полученный в этой статье результат нельзя распространить на случай р ф 1.
Единственность решения
Теорема 1. Существует не более одного ограниченного в Б решения задачи (1)-(3).
Для доказательства теоремы покажем, что соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение. Пусть <^(х) = ф(х) = Е(£) = 0. Умножим уравнение (1) на хрщ и проинтегрируем по области Бт = {(х,£) : 0 < х < /, 0 < £ < т}, где т принадлежит [0, Т] и выбрано произвольно:
т I т I
J ! хриыщ <1хА = ! J щ(хрих)х <1х<И. оо оо
Интегрируя по частям и учитывая однородные граничное и начальные условия, получим I
Iх'
о о
т
хр (и|(х, т) + иХ(х, т)) 3,х — 2/р J их(/, ¿)и4(/, £) = 0.
Заметим, что если и(х, £) — решение поставленной задачи, то из условия (3) следует, что их(/,£) = /-рЕ''(а так как по предположению Е(4) = 0, то и их(/,£) = 0. Поэтому
I
J хр (и^(х,т)+иХ(х, т)) ¿х = 0 Ут 0,Т), о
т
вытекает, что и = 0 во всей области Б. Единственность доказана.
Существование решения
Для доказательства существования решения поставленной задачи рассмотрим сначала вспомогательную задачу для уравнения (1) с данными Коши (2) и следующим граничным условием:
и(1,г) = и(г). (5)
Решение задачи (1), (2), (5) найдем при помощи метода разделения переменных.
Вводя новую неизвестную функцию м{х, £) = и(х, £)получим следующую задачу с однородным граничным условием:
Р
Ми = Ыхх + -№х - г), (6)
х
Мх, 0) = Ф(х), мД х, О) = -0(х), (7)
Ц/,г) = 0, ИМ)| < то. (8)
Поиск частных решений соответствующей задачи для однородного уравнения в виде
м(х,г) = Х(х)Т(г) приводит к задаче отыскания ограниченного решения уравнения
X" + РХЧ А2Х = 0, (9)
х
удовлетворяющего условию Х(/) = 0.
Известно [3], что общее решение уравнения (9) имеет вид
Х(х) = Сх^ Зр-1 (Ах) + Сх^13-р (Ах). (10)
Если воспользоваться представлением функций Бесселя в виде ряда,
1—р
то видно, что при х ^ 0 функция Х\{х) = Зр— (Ах) остается
р—1
ограниченной для любого р > 0, тогда как Хг(х) = З—р (Ах) ^ ж, Р > С
х/
С/1-" Зр—. (А/) = 0,
откуда Хк = ук//■, где ук — корни уравнения 7р— (у) = 0, которые, поскольку р > 1, вещественны и различны, и их счетное множество. Таким образом, собственные функции нашей задачи имеют вид
Хк( х^х^ (11)
Нетрудно проверить непосредственными вычислениями, что эти функ-
хр
Следуя известной схеме метода Фурье, получим решение задачи для однородного уравнения
= ( Аксов ^ + Вквт у- \ х (у") ,
к / / /
где коэффициенты Ак, Вк находятся по формулам
I
Ак =
/2 7р+1 (ук)
J (ф(х) — ф(/))х ^ 7р — ¿х,
о
Вк
/ук 7 Р+1 (ук
2 О
— ^ (-)
Будем, как обычно, искать решение неоднородного уравнения (6) в виде ряда
к/
Подставляя это выражение в уравнение (6), раскладывая его правую часть в ряд по 7р— (^р) и решая получившиеся дифференциальные уравнения с нулевыми начальными данными, получим
. ^7^ (' «т ■ Ук(4 — т) ,
■ш(х, 4) = —2/ 2 > -„ т 2 .—— V(¿)вт -- ¿т.
к
К полученному решению и = V + м применим интегральное условие (3):
I I то хЦр З — !Цкх_\
т = т/* - ^/Е З^т
О О к—1 2
г
ху г/'{фт^Л ¿тЗх, (12)
о
I
где = Е(г) — I мщхР ¿х.
о
Покажем, что в (12) законно почленное интегрирования ряда.
Обозначим
г чш г-т) 27р— /Мк
ак = Мг)--^ ¿т, Ьк = 21 1
о
Мк ' Мк з ^ (мк)
Если ^''('¿аи) | ^ N то последовательность {ак} ограничена в совокуп-
2
ности, так как |ак | < Nа ряд ^ Ьк сходится при любом х € [0, /]
к=1
[3, с. 637].
то
Тогда по признаку Абеля ряд ^ ак Ьк сходится равномерно.
к=1
Изменив порядок интегрирования и суммирования в (12), воспользовавшись тем, что [4]
I
/х / 2 х 2 Зр—1 I-) ¿х = -(мк
* \ / ; мк 2
, 3 + р
т ' ¿к] 2 V / / Мк 2
о
придем к интегральному уравнению Вольтерра относительно неизвестной функции фг):
г
где
^(г) — I v(т)K(t, г) ¿т = Е(г), (13)
2 / -ГО о 1 \ ГО г-т)
' Ум« р+1У и Мк
Исследуем ядро K(t, т) уравнения (13). Рассмотрим ряд
Е
k=1
sm
Mfc( t—т
Mk
и покажем, что он равномерно сходится при 4 — т > 0.
Воспользуемся свойством корней функции Бесселя. Из теорем типа Шафхейтлина [3] известно, что если, например, 0 < р ^ 2, то все положительные корни уравнения 7р— (х) = 0 лежат в интерва-
ле
Р п, kn
3 тт
а при 2 < p <5
в интервале
п(2 - p)
(kn, kn - f +p|).
Обозначим bk = sinuky, ak = — ■ Тогда
Mfc
■ Л n pn \ sin y = sin (^kn + - + — + aj y, 0 < a <
Пусть p = 2 + S, —2 < S < 1, тогда
sinufcy = sin I kn+n+S + a |y = sin kny tos ey+sin ву cos kny, в = т + ®-
V 4 / 4
Рассмотрим
N N N
BN = ^^ s in ^k y = ^^ sin nky cos ey + ^^ cos nky sin ey
k
= COS ey-
откуда следует, что
Так как то
kk ■ —пу ■ (—+l)ny
sin —^ sin „ ' y
sm
ny
• sin ßy-
■ —ny (—+l)ny
sin n COS n
sm
ny
|B— | <
1 < 1
Mk ^ nk'
lim — = 0.
k^w Mk
Таким образом, по признаку Дирихле ряд
Е
k
sm ■
Mk
сходится равномерно при t — т > 0.
Однако уравнение (13) является уравнением первого рода, так как /3 = 0. Поскольку это не очевидно, приведем доказательство.
Используя рассуждения, проведенные выше, нетрудно показать, что решение задачи Р
utt = uxx -I—ux, u(x,0) = щ = const, ut(x,0) = 0, u(l,t)=0,
x
ограниченное при x = 0, имеет вид
^ 2 сos Mkt i-*. т , ,
u(x,t) = u0>---—-x 2 Jp—. (Mkx).
^ Mk J^ (Mk) 2
x,
t,
~ 1
k Mk Р
Таким образом, задача сведена к интегральному уравнению Воль-терра 1-го рода
t
J is(T)R(t,T)dT = F(t). (14)
о
Заметим, что необходимое условие разрешимости F(0) = 0 выполняется в силу условия согласования (4). Применив к обеим частям (14) преобразование Лапласа, получим
_ (1 А-1
P(p) = F(p) *
k Mk
Если при р ^ то
F(p)
,
к(Р)
то, применив обратное преобразование Лапласа, найдем
где прямая Ь расположена правее особых точек подынтегральной функции. Таким образом, имеет место
Теорема 2. Если ф(ж) е C[0, l] П C2(0,1), ^(ж) е CO, l] П C(0,1), E(t) е CO, T П C(0, T), ф(1) = = 0 и выполнены условия согласования (4), а также выполнено условие (15), то решение задачи (1)-(3) существует.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения uxx ±uyy + xux = 0 // Уч. зап. Куйбышевск. пед. ин-та. 1958. Вып. 21. С. 3-55.
2. Mesloub S., Bouziani A. On a class of singular hyperbolic equation with a weighted integral condition // Internat. J. Math. Math. Sei. 1999. V 22, N 3. P. 511-519.
3. Ватсон Г. H. Теория бесселевых функций. М.: Иностр. лит., 1949.
4. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.
г. Самара
15 октября 2004 г■
