О единственности решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом в производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

Дифференциальные уравнения

УДК 517.9 Е.В. Романова

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ В ПРОИЗВОДНОЙ

Доказана единственность решения начально - краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздыванием аргументов в производной.

Уравнение

Д«) = ихх (X, у) + Э8П уЫуу (х, у) - Н(х - т)их (х - т, у) = 0 (1)

рассматривается в области В = В + и В 3 , где В + = {(х, у): х > 0, у > 0},

В = и (Вк к и Вкк+1) - соответственно эллиптическая и гиперболическая части области В ;

к=0

' . 2

т - Ь

3 = {(х, у): 0 < х < +¥, у = 0}, причем Вк к = |( х, у): кт - х < у < х - (Ь + кт),0 < - у < Ь.|,

Вк,к+1 =|(х, у): (Ь + кт) - х < у < х - (к + 1)т,0 <-у < —, 0 < Ь < т .

Задача Т. Найти в области В решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

1) и( х, у) е С (В);

2) их (х, у), иу (х, у) е С(В), кроме, быть может, точек (кт,0), (Ь + кт,0), в которых производные могут иметь особенности порядка меньше единицы;

3) и(х, у)|х=0 = / (у), у > 0, / (у) е С[0,+¥), / (+¥) = 0; (2)

4) Нш и(х, у) = 0, х > 0, у > 0; (3)

х + у

5) и(х, у)| у=кт-х = У]к (х), кт < х < Ь + кт , уш(0) = /1(0), (4)

. , Ь + (2к + 1)т ...

и(ху)|у=Ь+кт-х = у2к(x), Ь+кт < х <--------2------, (5)

причем у1к (х) е С1

У 2 к (х) е С1

кт,Ь + кт 2

П С(2Д}| кт, 2 + кт |,

, Ь + (2к + 1)т

Ь + кт,------- ----------—

ПС“>(ь + кт,Ь +(2^ +1)т 0, 0 < я

<я<1

Нш шах У1к (х) = 0, Нш шах У2к (х) = 0, и (х,0) = ю(х), иу (х,0) = п(х).

к®+¥ Г Ь Т к®+¥ Г Ь+(2к+1)т!

хе| кт,—+ кт I хе| Ь+кт,- 1

2 I 12

Пусть В + = и Вк , где Вк = {(х, у): кт < х < (к + 1)т, у = 0}.

к=0

Теорема 1. Если существует решение задачи Т для уравнения (1) в области В, то при т < 1 оно единственно.

2

Доказательство теоремы основано на леммах 1, 2к, сформулированных ниже Лемма 1. Пусть и(х, у) - решение уравнения (1) в области В + из класса С(В+) п С2(В+), удовлетворяющее однородным условиям (2)-(3) и т< 1. Тогда

b =| а (x)n(x)dx < 0, (6)

о

b + 2Ц{(1 ~t2)uXc(x,y) + u2y(x,y) + H(x-t)[u(x,y) -u(x-t,y) + u(x-t,y)]2}dxdy < 0. (7)

2 D+

Доказательство леммы проведем следуя [1, с.130] (см. также [2]).

В области D + справедливо тождество uL(u) ° (u(x, y)ux (x, y))x + (u(x, y)Uy (x, y))y -

- u x (x, y) - u2y( x, y) - H (x - t )u (x, y )ux (x - t, y) = 0 ,

интегрируя которое по области D^+= {(x, y): x2 + y2 < 8, x > 0, y > 0 (0 < 8 ° const), применяя формулу Грина и условия леммы, в пределе при 8 ® +<х> найдем

| u( x, y)ux (x, y)dy - u( x, y)uy (x, y)dx -

3D+

- U (uy (x, y) + u2y (x, y) + H(x - t)u(x, y)ux (x -1, y))dxdy = 0 .

D+

С учетом граничных условий имеем

+¥

w(x)n(x)dx + JJ (ux (x, y) + uy (x, y) + H (x-t)

0 D+

Используя равенство

Jw(x)n(x)dx + JJ(u2(x,y) + u2(x,y) + H(x-t)u(x,y)ux(x-t,y)dxdy = 0 .

JJ H(x -t)u(x -t, y)ux (x -t, y)dxdy =

D+

: JJ u(x, y)ux (x, y)dxdy = -1 JJ (u2 (x, y)) Xdxdy = — J u2 (x, y)dy = 0,

yi J+' 2 +

D + 3D+

будем иметь

+¥

J w (x)n( x)dx + JJ (ux2 (x, y) + u:2 (x, y) + H (x - t)(u( x, y) - u( x -1, y))ux (x -1, y))dxdy = 0

0

или

+¥

J а (x)n( x)dx + JJ (u2 (x, y) + u2 (x, y) + 2 H (x - t)[(u (x, y) - u (x -1, y)) + ux (x -1, y )]2

w( x)n( x)dx + II (ux ( x, y) + uy ( x, y) + — H ( x - t)|(u ( x, y) - u ( x -t, y)) + ux ( x -t, y )]2 0 D 2

1 2 1 2 - 2H(x -t)[u(x, y) - u(x -t, y)] - — H(x -t)ux (x -t, y))dxdy = 0,

откуда

+¥

:- t)!(u(x, y) -u(x -t, y)) + ux (x -t,"'12

J а (x)n(x)dx + JJ (ux? (x, y) + u2 (x, y) + -H(x - t)[(u(x, y) - u(x -1, y)) + ux (x -1, y)]2

D+

-H(x - t)u2 (x -1, y))dxdy = 1 JJ H(x - t)[u(x, y) - u(x -1, y)]2 dxdy.

D

С помощью неравенства Коши - Буняковского [3, с.352] и однородности условий для интеграла в правой части равенства (9) найдем оценку

Ц Н (х - т)[и( х, у) - и( х - т, у)]2 ёхёу < т2 ||и2х (х,у)йхйу .

В+ В+

Таким образом, получим | а (х)у (х)ёх +1| ■| ^2 (1 - т 2)и2(х, у) + ^(х, у) +1Н (х - т) [и (х, у) - и (х - т, у) + их (х - т, у) ]21 б/хоу < 0 .

D

+¥

Если т < 1, то Ь = | а (х)п(х)Ох < 0. Лемма доказана.

0

Лемма 2к. Если и( х, у) е С (В ~) п С( В ~) - решение уравнения (1) в области В ~ , обращающееся в нуль на характеристиках у = кт - х и у = Ь + кт - х, то

Ь+кт (к+1)т

Рк,к = |а(х)п(х)Ох > 0, рк,к+1 = |а(х)п(х)Ох > 0 .

кт Ь + кт

Доказательство леммы проводится аналогично [2, с. 14-15].

Прейдем к доказательству теоремы единственности. Предположим противное: задача Т имеет в области В два решения и1(х, у) и и2(х, у). Тогда и = и1 - и2 также будет решением задачи для уравнения (1) с однородными условиями (2)-(5).

На основании лемм 1-2к приходим к тому, что Р = 0. В силу (7) и(х, у) ° 0 для

"(х, у) е В +, т.е. и(х,0) ° 0 , "х е [0,+<х>). С помощью решения задачи Коши в области В установим, что и(х, у) ° 0,"(х, у) е В ~ . Значит и(х, у) ° 0, "(х, у) е В . Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зарубин А.Н. Решение задачи Трикоми для дифференциально-разностного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в неограниченной области. // Дифференциальные уравнения и их приложения. Междунар. научн. конф. Сб. тр. Самара. 2002. С. 129-135.

2. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Орел: Изд-во ОГУ, 1999, 225 с.

3. ИльинВ.А., ПозднякЭ.Г. Основы математического анализа. Ч.1. М.: Наука, 1982. 616 с.

4. Зарубин А.Н. Интегральное представление решения задачи Коши для гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом в производной // Матеем. моделирование и краевые задачи. Труды двенадцатой межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2002. С. 44-47.

Поступила 19.03.2004 г.

УДК 517.95 С.А. Бейлин

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОРНЕЙ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Jv (x)

При изучении одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом возникла необходимость исследовать ряды, содержащие функции Бесселя и их корни. В настоящей заметке приведен один из полученных результатов.

Р -1

Покажем, что если v = —^—, где p > 0, то справедливо равенство:

¥ 2 1

^ = -+Г • <‘>

£1 m р+1

где Цк - положительные корни уравнения Jp-1 (x) = 0.

2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим задачу об отыскании ограниченного решения уравнения

utt = uxx + pux, x e [0,1], t > 0, (2)

x

удовлетворяющего условиям

u(x,0) = u0 ° const, ut (x,0) = 0, (3)

u(1, t) = 0. (4)

Применяя метод разделения переменных и учитывая при этом, что решение уравнения

X" + PX' + l2 X = 0