Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2016. T. 20, № 2. С. 220-240

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1485

Дифференциальные уравнения и математическая физика

УДК 517.956.6

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ

О. Х. Абдуллаев

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Узбекистан, 100125, Ташкент, ВУЗ городок.

Аннотация

Поставлена и исследована нелокальная задача для нагруженного уравнения второго порядка эллиптико-гиперболического типа с интегральным оператором в двусвязной области. Единственность решения доказывается с помощью принципа экстремума для уравнений смешанного типа. Для использования принципа экстремума было показано, что нагруженная часть уравнения тождественно равна нулю. Существование решения задачи доказывается методом интегральных уравнений, при этом используются теория сингулярных интегральных уравнений и интегральные уравнения Фредгольма второго рода.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, интегральный оператор, уравнения эллиптико-гиперболического типа, двусвязная область, существование и единственность решения, принцип экстремума, интегральные уравнения.

Первые фундаментальные исследования в теории нагруженных уравнений принадлежат А. М. Нахушеву [1,2]. В этих работах даны наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробная классификация нагруженных уравнений: нагруженных дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функциональных уравнений, а также их многочисленные приложения. За этими исследованиями последовали работы А. М. На-хушева [3], В. А. Елеева и А. В. Дзарахохова [4, 5], В. М. Казиева [6, 7], И. Н. Ланина [8], Б. И. Исломова и Д. М. Курьязова [9,10], М. И. Рамазано-ва [11] и К. У. Хубиева [12], посвященные краевым задачам для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов второго порядка, в которых были получены интересные результаты.

© 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования

Абдуллаев О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 2. С. 220-240. doi: 10.14498/vsgtu1485. Сведения об авторе

Обиджон Хайруллаевич Абдуллаев (к.ф.-м.н., доц.; [email protected]), доцент, каф. дифференциальных уравнений и математической физики.

В работах К. Б. Сабитова и Е. П. Мелишевой [13-15] исследованы разные задачи для нагруженного уравнения смешанного типа в четырехугольных областях. Приведенные публикации позволяют сделать вывод, что вопросы теории нагруженных уравнений являются актуальными, а теория нагруженных уравнений находит свое место в приложениях и быстро развивается. Однако краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного типа с интегральным оператором дробного порядка в двусвязных областях до сих пор недостаточно исследованы. Отметим, что локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в дву-связной области были исследованы в работах [16,17], в которых рассматриваются уравнения с двумя линиями изменения типа, при этом в нагруженной части участвует не дифференциальный оператор, а просто след самой функции. В настоящей работе рассматривается уравнение с одной линией изменения типа, у которого в нагруженной части присутствует дифференциальный оператор и используются нелокальные условия более общего вида.

1. Постановка задачи. В конечной двусвязной области О, описание которой приводится ниже, рассматривается нагруженное уравнение эллиптико-гиперболического типа

пхх + + -—^рм ^ Як (ж, 0)) =0 (1)

к= 1

с интегральным оператором

( Рк(х)Д_1ки(х 0) д < х < -Як (х,и(х, 0)) = < _в

[ гк(ж)^_вХи(х, 0), —1 ^ х ^ —д,

где

^ г_т

Г(ак) А (х — ¿)] 1 [ъ №

Д-х^ / (х) = — I ^

В_вк *(х) = 1 / _Л*)_

^хъ /(х) = Г(вк)Ух — х)1 _вк^

(2)

вк, ак — положительные константы. Область О при у > 0 ограничена следующими линиями:

О : х2 + у2 = 1, о2 : х2 + у2 = д2, при у < 0 — следующими характеристиками уравнения (1):

АС1 : х + (-1)''у = (—1)'+1, Б3С2 : х + (-1)''у = (—1)'+1 ■ д, где 0 < д < 1, ; = 1,2; ¿1(1; 0), А2(-1;0), Б1(д;0), Б2(—д;0), С1(0; —1),

С2(0; —д).

Введем следующие обозначения:

х + 1 , • х 1 /л / \ х 1 .х + 1 .2 -1

= + г ■—-, 02(х) = -^ — г • —-, г2 = —1;

О0 = О п (у > 0), Д1 = О П (х + у > д) П (у < 0),

Д2 = П П (у - х > д) П (у < 0), = 0 П (-д < х + у < д) П (ж > 0), = П П (-д < у - х < д) П (х < 0), ^э = П П (-1 < х + у < -д) П (-1 < у - х < -д),

/2+7 = {х : 0 < (-1)7-1х<д}, // = {х : < (-1)7-1х < 1), ; = 1, 2.

2

В области П для уравнения (1) ставится и исследуется следующая нелокальная задача.

Задача I. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) е С(П);

2) и(х, у) является регулярным решением уравнения (1) в области

П\(у - х = ±д)\(х + у = ±д),

кроме того, иу е С(А1В1 и А2В2), причем иу(х, -0) и иу(х, +0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при х ^ ±д, а при х ^ ±1 ограничены;

3) на линиях изменения типа выполняются условия сопряжения

иу(х, +0) = Xj(х)иу(х, -0), (х, 0) е А/В2, (3)

4) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям

и(х,у)|ст. = (х,у^ (х,у) е 7 (4)

и(х,у)|Б.С2 = 9,-(x), х е /2+7; ^ = 1 2

й

—и^^х)) = а1(х)иу(х, 0) + Ь1(х)их(х, 0) +

+ с1(х)и(х,0) + й1(х), х е (д, 1), (5)

й

— и(#2(х)) = а2(х)иу(х, 0) + Ь2(х)иж(х, 0) +

+ с2(х)и(х, 0) + й2(х), х е (-1, -д), (6)

где (х,у), А](х), 97(х), а,-(х), (х), с,(х), й/(х) (; = 1,2) и ри(х), ги(х) —заданные функции, причем

91(0)= 92(0), 92(-д) = ^(-д, 0), 91 (д) = ^(д,0).

Лемма. Общее 'решение уравнения (1) при у < 0 представимо в виде

и(х,у) = Д(х + у) - /2(х - у) + и(х), (7)

где /1 (х,у) и /2(х,у) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции,

ш(х) = / ш1(х) х ^ 0, "(х) 1 ^(х), х < 0,

х ^ 0,

причем

„1 п

11

Ш1(х) = — ¿г/ ^Рк(<г)Я_?ки(г,0)^г; (8)

Л Л к=1

/х г z п

¿гу Е г к (г)-0^ и(г, 0)^г. (9)

/ ' к1 г1

•/_1 к=1

Доказательство. Пусть функция (7) является решением уравнения (1), тогда, подставив (7) в (1), получим

п

^"(х) + Е Як (х, и(х, 0)) =0. (10)

к=1

Очевидно, что функции (8) и (9) соответственно при х ^ 0 и х ^ 0 удовлетворяют уравнению (10). Теперь, наоборот, пусть и(х, у) — регулярное решение уравнения (1). Докажем, что функция (7) является общим решением уравнения (1).

Нетрудно проверить, что функции (8) и (9) являются частными решениями уравнения

п

ихх — иуу + Е Як (х, и(х, 0)) =0 к=1

соответственно при х ^ 0 и х ^ 0, а функция /1(х + у) — /2(х — у) является общим решением уравнения ихх — иуу = 0.

Следовательно, функция (7) является общим решением уравнения (1). □ 2. Единственность решения задачи I. В силу (7) и (8), (9) утверждаем, что решение задачи Коши для уравнения (1) в области Д' = 1, 2), удовлетворяющее условиям

и(х, 0) = Т'(х), х е А'Б'

и

иу(х, —0) = ^_(х), х е А'Б',

имеет следующий вид:

1 1 гх_у

и(х, у) = 2 (Т1(х + у)+ Т1(х — у)) — -

2 2 -/ х+у 1 /• 1 п 1 п 1 /• 1 г 1 П

1 /*1 /*1 - п , 1 /*1 /*1 п + 1 ¿и ЕРк СЮ^Лк Т1(г)йг + - М ^Рк (^)^Лк т^г—

2 7 х+у Ь к=1 2 7 х у Л к=1

/• 1 г 1 п

— к и(г, 0)^г,

к=1

1( ) 1 х-у u(x, у) = - (Т2(х + у) + Т2(х — у^ — -

2 2 х+у

1 гх+у гЬ п 1 гх—у гЬ п

/х г х п

йч Е (*)-°—вХ и(г, 0)йг. ■ 1 ^

к= 1

Отсюда, учитывая, что

1 , , , , ^ 1 '1

1 1 ! (^1 (х)) = 1 (Т1(х) + 71(1)) - V— (*)й*+

1 г 1 г 1 п

+ 2 (1Ч Ери (*№ Г т^йг

2 ./х Зг ,„_!

к=1

1 1 п ' й£ / У]рк (г)Я- ак и(г, 0)йг,

(х+1)/2 Л к=1

1 1 [х (#2(х)) = 1 (т2(-1) + Г2(х^ - ^ 1 V2—(í)йí+

1 гх гЬ п

+ -/ М Е гк (г)^—вХ Т2(г)йг-

2 7—1 ^1 к=1

/• 4 п

йч Егк (г)^—вх и(г, 0)йг,

2 1 1

"—1 "—1 к=1

Г (х—1)/2 1 "—1 к=1 в силу условий (5) и (6) получим

1 1 1 п [ 1 2т1 (х) + 2vГ(x) - 2 Е Рк(¿О^ГТ1(г)йг+ к=1 х 1 п /• 1

+ 2Е / Рк(*№ГТ1(г)йг =

2 к=1 (х+1)/2

= а1(x)vГ(x) + Ь1(х)т1 (х) + с1(х)т1(х) + й1(х),

1 1 1 п ¡'х

-т2(х) - -V— (х) + 1 Е / Гк(г)Я—вхТ2(г)йг-к=1 ^—1

1 п (х—1)/2 в

- ¿ЕД Гк(г^—вхТ2(г)йг =

= a2(x)vГ(x) + &2 (х)т2 (х) + С2 (х)т2 (х) + й2(х).

Следовательно,

(2а^ж) — 1) V-(ж) =

1 п Г1

= (1 — 2&1(ж)) т( (ж) — 2с1(ж)п(ж) — -Е Рк (*)£>-?*

2 к=1 7 х

1 п 1

+ ч,„Рк(*№ГТ1(г)^ — 2^1 (ж), (11)

к=1

'(х+1)/2

(2а2(ж) + 1)^(ж) =

1 п Г X

= (1 — 2^2(ж))т2(ж) — 2с2(ж)т2(ж) + 1 Е У Гкт^)^"

1 п (X-1)/2 в

ЕЛ Гк 72(2^ — 2^(ж). (12) к=1 '

21

Теорема 1. Если вк, ак > 0 и выполнены условия

2ау(ж) + (—1)] > 0, Су(ж) < 0, Ху (ж) > 0, ] = 1, 2; (13)

рк(ж) > 0, гк(ж) > 0, к = 1,2,..., п, (14)

то 'решение и(ж, у) задачи I единственно.

Доказательство. Известно, что если решение однородной задачи (т. е. решение однородного уравнения с однородными условиями) является тождественным нулем, то решение соответствующей неоднородной задачи единственно. Следовательно, достаточно показать, что решение и(ж, у) задачи I является тождественным нулем при (ж, у) = Су(ж) = 0.

В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений решение и(ж, у) уравнения (1) достигает своих экстремальных значений лишь на границе области По, т. е. на <г1 и <г1 и А1В1 и А2В2.

Пусть (ж, у) = 0, тогда учитывая, что и(ж,у) € С(П), имеем

Т1(1) = ^1(1, 0) = 0 и п(д) = ^2(9, 0) = 0.

Далее предположим, что функция Т1(ж) обращается в нуль хотя бы в одной точке интервала (9,1), т. е. предположим, что ж^ (г = 1,т)—нули функции Т1(ж).

Рассмотрим отрезок [ж1, ж2] С А1В1. Так как т1(ж1) = т1(ж2) = 0, функция т1(ж) > 0 или т1(ж) < 0 для всех ж € (ж1 ,ж2).

Предположим т1 (ж) > 0 (т1 (ж) < 0), тогда можно показать, что внутри этого интервала функция Т1(ж) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума). Действительно, если в точке жо € (ж1,ж2) функция Т1(ж) достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума), то из (11) при ^1(ж) = 0 получим

(2а1(хо) - 1) V — (хо) = -2с1(хо)т1(хо) +

1

+ 2

к=1

Г Рк(г)Я—ГТ1(г)йг - ГРк(г№акпфйД и— 1 \./(хо+1)/2 .Ухо /

Отсюда, учитывая, что ДЕ <^к 71 (х) > 0 (ДЕ акт1(х) < 0) при т1(х) >0 (т1(х) < 0), всилу (13) (при] = 1), (14) получим, что vГ(ж0) ^ 0 (V— (х0) ^ 0), а это в силу (3) (учитывая, что А/(х) > 0) противоречит известному принципу Заремба—Жиро [19], согласно которому в точке положительного максимума (отрицательного минимума) должно выполняться условие Vl(жо) < 0 ^(х0) > 0). Следовательно, 71 (х) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) в точке хо е (х1,х2). Таким образом,

71 (х) = 0 Ух е [х1,х2]. (15)

Аналогично вышеизложенным методом доказывается, что 71 (х) не достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума и в других интервалах, т. е.

71 (х) = 0. (16)

Если х1 = д, т. е.

т(х1) = Т1(д) = ^(д, 0) = 0,

то из (15) и (16) следует, что т1(х) = 0 Ух е А1В1, а при х1 = д функция 71 (х) не может иметь экстремума в интервале (д, х1), т. е. функция 71 (х) либо знакопостоянна в (д,х1), либо т1(х) = 0 Ух е [д,х1].

Предположим, что функция Т1(х) знакопостоянна в (д, х1), тогда, принимая во внимание, что т^1(х1) = т1(д) = 0, заключаем, что

71 (х) = 0 Ух е [д,х1]. (17)

Точно так же, если хт = 1, т. е.

71 (хт) = 71(1) = ^1(1, 0) =0,

то из (15) и (16) следует, что 71(х) = 0 Ух е А1В1, а при хт = 1 функция 71 (х) не может иметь экстремума в интервале (хт, 1), т. е. функция 71 (х) либо знакопостоянна в хт = 1 , либо 71(х) = 0 Ух е [хт, 1].

Предположим, что функция 71(х) знакопостоянна в (хт, 1), тогда, принимая во внимание, что

71 (хт) = 71 (1) = 0,

заключаем, что

71 (х) = 0 Ух е [хт, 1]. (18)

В силу (16) и (17), (18) имеем 71(х) = 0 Ух е [д, 1]. Аналогичным образом доказывается, что 72(х) =0 Ух е А2В2.

Таким образом, показано, что г, (х) = 0 Ух е А/В/ при ^(х, у) = й,(х) = 0 (^ = 1, 2). Кроме этого, показано, что решение и(х,у) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) в интервалах (А1 ,В1)

и (А2,В2). Следовательно, учитывая, что и(ж,у) € С (По), на основании краевых условий (4) при (ж, у) = 0 (^ = 1, 2) имеем, что и(ж, у) = 0 в замкнутой области По.

В силу того, что Т1 (ж) = т2(ж) = 0, из функциональных соотношений (11) и (12) получим, что VI(ж) = V2(ж) = 0. Следовательно, решение задачи Коши для уравнения (1) в области Д, тождественно равно нулю, т. е. и(ж, у) = 0 в областях Д,. В силу единственности решения задачи Гурса имеем, что и(ж, у) = 0 в областях ^ (^ = 1, 2, 3). Таким образом, и(ж, у) = 0 в области П и тем самым доказана единственность решения задачи I. □

3. Существование решения задачи I.

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и условия

щ(жу) = (жу)7щ(ж,y), (ж,у) € С(7, 2 <7< 3 (19)

а,(ж), Ь,(ж), с,(ж), ^(ж), Л,(ж) € С (/7) П С2 (/,), (20)

то решение задачи I существует.

Для доказательства теоремы 2 нам потребуются следующие соотношения, которые получаются из (11) и (12) в силу (2):

(1 - 2Ь1(ж))т1 (ж) - 2с1(ж)т1(ж)-1 ™ 1

1 ^ 1 I ^ , I - лак-1,

п 1 „1 „1

Е Г(О) У ^(* У (* - ^-1Т1(£)^ = (2а1(ж) - 1)V—(ж)-

2 »=1

1 п 1 1 1

/ Р»(* / (* - ¿Гк—+ 2^1 (ж), 2 ) ^(х+1)/2 ^

(1 - 2&2(ж))т2(ж) - 2с2(ж)т2(ж) +

1 п 1 г х г г

+ 2 Е 1 (* /_ 1 (* - ^)вк-1Т2= (2а2(ж) + 1) V— (ж) +

1 п 1 Г (х—1)/2 гг

+ 1 Е Щ) У 1 (* У 1 (^ - ¿)вк—Ч^* + 2^2(ж),

или

1 1 /*1 /"1 (1 - 2Ь1(ж))т1 (ж) + 2ЕГ(1 + ^ )]х № (* - т1

1 п 1 г 1 г 1 г 1

- 2ЕГ(1 + а Л Р»(* / (* - ¿Гт1 + 2с1(жИ т1 (^)й^ =

»_1 ( ») J (х+1)/2 »/г «/ х

(х+

п

2 Ё гг+Ы' *И(1

п 11 \ г 1

2£ Г(Т+Ъ У(х+,)/2(1 - г)а' »

+ 2с1(ж)п (1) + 2С1(ж) + (2а1(ж) — 1) V-(ж), (21)

~1 П 1 /»х гг

(1 — 2Ь2(ж))т2 (ж) + г(1+ ^ ^ г гк №] х (* — *)А т2 (<)Л—

1 п 1 г (х — 1) /2 пг IX

— 2 Е Щ+в) У-1 г к (* у_ 1 (* — *)вк т2 (^ — 2с2(ж) ^ т2 (^)с^ =

1 п ^ 1 ^ /• (х — 1) /2

— 2 Ё гТггв) £ Гк ОС + 1)"'

— 2с2(ж)т2(—1) + (2а2(ж) + 1) V- (ж) + 2^(ж). (22)

4. Основные функциональные соотношения. При исследовании существования решения поставленной задачи рассматриваются следующие случаи.

Случай А. Пусть Ьу(ж) = —1/2, тогда из (21) и (22) получим интегральные уравнения Вольтерры второго рода относительно т](ж):

т1 (ж) + / т1 (¿)Кц(ж, J х

+ / т1 (¿)К^(ж,= /1 (ж), 9 < ж < 1, (23)

(х+1)/2

/х

т2(¿)^21(ж,

/• (х 1) /2

+ у т2(¿)^22(ж, ^)= /2(ж), —1 < ж < —9, (24)

где

= + 2(1 — (ж)) ЕГ(Г+0к) iх*— Рк(25)

1 п 1 /■* *2<ж « = — Е ЩГО) 1+1)/-2 <' — ^Рк(26)

*»<*•'> = + 2(1—^зОк))Е^Г(г — г)Агк(27)

1 " 1 /-(х—1)/2 в = — 2(1 — 2!,гМ) Е Щ+щ/, (2 — •*<*>*■ (28)

/i(x)=1_2b (x) Vl (X) 2^Г(1 + a.) 1-2b (x)

1 - 2bi(x) ivy 2 Г(1 + afcH(x+i)/2 1 - 2bi(x) + 1 A yi(1,0) f1 pfc(z)(1 - z)ak 2(di(x)+ ci(x)yi(1,0)) ,9q.

+ 2^Г(1 + a. )/ 1 — 2b (x) + 1 — 2b (x) '

fc=i

f ( ) 2a2(x) + 1 1 A yi(-1,0) /-(x-i)/2 rfc(z)(1 + z)ek d

f2(x) = Ш V2 (x) + 1 g ЩГвк) J-i l^1b2(x)

1 ™ yi(-1,0) fx rfc(z)(1 + z)ek 2(d2(x) - C2(x)^i(-1,0)) ,3n.

2 k= Г(1 + вкW-i 1 - 2b2(x) + 1 - 262(x) • (30)

Учитывая, что (x) = 1/2, в силу (19), (20) из (25), (26), (27) и (28) получим

|Kij(x,t)| < ci, |K2j(x, t)| < C2, j = 1, 2.

Учитывая класс функций v-(x), в силу (19), (20) из (29) и (30) получим (см. [18])

If (x)| < const-(x + (-1)jq)-£, 0 < e< 1, j = 1, 2.

Заметим, что интегральные уравнения (23) и (24) можно переписать в следующем виде:

Ti(x) + i Ti(t)Ki(x,t)dt = fi(x),

J x

/X

T2 (i)K2(x,i)di = /2 (x),

где

K (xt) =/ Kn(x,i), x < t < (x + 1)/2,

Ki(x, t) = I Kn(x, t) + Ki2(x, t), (x + 1)/2 < t < 1;

K (xt) = J K22(x,t), (x - 1)/2 < t < x;

K2(x,t) = | K2i(x,t)+ K22(x,t), -1 < t < (x - 1)/2.

Разрешая интегральные уравнения (23) и (24) методом последовательных приближений, находим

Ti (x) = Г^ v-(x) + £1-2У «"(МКИ^

+ Г 2ai(2b ^ Ki2(x,t)v-(t)dt + Fii(x), (31)

'(x+i)/2 1 - 26i(t)

, 2a2(x) + 1 . . fx 2a2(t) + 1 . . . ,,

T2 (x) = ГЩ V2-(x) + J_ i T-^+y ^2i(x,t)v2-(x)dt+

1 - 262(x) 2 w 7-i 1 - 2&2(t)

с(x—1)/2 2по(t) + 1

+ Л 1-2K22(x,t)v2-(x)di + F12(x), (32)

где Fii (ж) и Fi2(x) — известные функции, которые зависят от заданных функций (ж,у), gj(ж), aj(ж), bj(ж), Cj(ж), dj(ж) (j = 1,2) и pfc(ж), rfc(ж), а Ку (ж, t) и K2j(ж,t) —резольвенты ядер Kj(ж,t) и Kj(ж,t) соответственно, причем

(ж, t) | ^ const, -1 ^ (-1)стt ^ (-1)стж ^ -q, a = 1, 2; j = 1, 2;

|Fij(ж) | ^ const, -1 ^ (-1)jж ^ -q, j = 1, 2.

Случай B. Пусть bj(ж) = -1/2 и Cj(ж) = 0 (j = 1, 2), тогда из (11) и (12) получим интегральные уравнения Вольтерры второго рода относительно Tj (ж):

Т1(ж)+/ Кii(ж, t)Ti(t)dt + [ К 12(ж, t)Ti(t)dt Jx ./(x+1)/2

1 - 2а^ж) ^ di^)

-, , v- (ж)--f-, (33)

2^(ж) 1W Ci (ж) v 7

/x r (x—1)/2

K2ifa,t)T2(t)dt + J КК22(ж, t)T2(t)dt =

v— (ж) - ^, (34) C2 (ж) 2 C2 (ж)

где

i* " (t — Z)ak — 1 K ^Wxg 4с1(ж)Г(ак)(z)dz,

f * " (t — Z)afc — 1 K12(ж,,)= ■/(x+i)/'2 £ 4C1-ж№к)

/" x n (z — t)ek —1 К21(ж,у) = -/ E ^с2(ж)Г(вк) Гк(Z)dZ,

Zi

fc=1

_ /• (x —1)/2 " (z - t)A —1

причем

|KCTj(ж, t)| ^ const, -1 ^ (-1)CTt ^ (-1)стж ^ -q, a = 1, 2. Разрешая интегральные уравнения (33) и (34), находим Tj (ж):

т1(ж) = ^щжтv—(ж)+Г ifК utM)v—(t)dt+

230

+ Г 1 о У К 12(ж, t)v— (t)dt + F21 (ж), (35)

7 (x+1)/2 2c1(t)

. , 2а2(ж) + 1 . . Г 2a2(t) + 1- . . . ,, T2(ж) =--^ V2—(ж) +J 2c(()t) К21 (ж, t) v— (ж)dt+

г(x—1)/2 2ao(t) + 1 -

I a2(t) + К22(ж, t)v— (ж)dt + F22(ж), (36)

7—1 c2(t)

где F21 (ж) и F22(ж) — известные функции, которые зависят от заданных функций, а К j (ж, t) и К 2j (ж, t) —резольвенты ядер Kj (ж, t) и K2j (ж, t) соответственно, причем

|К j (ж, t) | ^ const, | К 2 j (ж, t) | ^ const, |F2j (ж) | ^ const, j = 1, 2.

Случай C. Пусть bj (ж) = -1/2 и Cj (ж) = 0 (j = 1, 2), тогда из (11) и (12) получим

f 1 П (^ Z)afc —1 Мж) = / T1(t)dt / V , - ^-7Т Pfc(z)dz-

7(x+1)/2 7(x+1)/2 k=1 2r(afc) (2а1(ж) - 1)

f 1 ^ , f^ (t - z)ak—11 2dl(ж)

-Jx TimJx £ Г(ак)(2а1(ж) - 1)(z)dZ - ^Г,

/x /" x n (z — t)ek 1

, T2(t)dt/i g 2(2а2(ж) + 1)Г№)Гк(z)dz-

((x—1)/2 , /-(x—1)/2™ (z - t)ek—11 2d2^)

-J—i T2(t)dVi g 2(2а2(ж) + 1)Г№)(z)dz - .

Заметим, что решение задачи Неймана для уравнения (1) в области Qo с краевыми условиями (4) и

+

Uy(ж, +0) = v+^), (ж, 0) е A1B1, Uy(ж, +0) = v+ (ж), (ж, 0) е A2B2

единственно и представимо в виде [18]:

id id и(ж,у) = у (C,n) ж, y)dS -J ^2(C,n) ж, y)dS+

/1 —q

v+(t)G(t, 0; ж, y)dt + J v+ (t)G(t, 0; ж,у^, (37)

' q —1

где

G(C,n; ж,у) = ln

^ ^ In v—In ^ ^ / In v—In ^ >

1V 2nir

— функция Грина задачи Неймана для уравнения + = 0 в области П0 [18]. Здесь V = £ + ¿п, V = £ — ¿п, Д = х + ¿У, Д = х — ¿У, г = П- 1пд, г2 = —1, 01(£) — тета-функция. Из (37) при у = 0 находим функциональные соотношения между т+(х) и ^+(х) на интервалах А1В1 и А2В2, принесенные из области П0:

— _ I 7,+

т+(х) = ^(х) — [ (¿)С(£, 0; х, 0)^+

■1п

/-9

0; х, 0)^£, д < х < 1, (38)

т+(х) = ^(х) — [ (¿)С(£, 0; х, 0)^^+

Л

/-9

0; х, 0)^*, —1 < х < —д. (39)

Здесь

к,(х) = ^ ^1(£,п)дпс(£,п;х,0)"5— ^ ^ 2(£,п)дпс(£,п;х,0)"5.

5. Исследование интегральных уравнений. В случае А дифференцированием (38) и (39) по х получим

т, (х) = I - ас^о-.*■ ,й — 11 „+(() Л + (40)

1 дх Уд дх

Исключая т^(х) (^ = 1, 2) из соотношений (31), (32) и (40) с учетом условия сопряжения (3), получим систему интегральных уравнений

Цш "-(х) +1 /' м^о""

+1! f-|-)R»{x•í>v-{i>di + »«^тм* =

1 /—

= - + (х) — Ки(х),

п 1-1

2а2 (х) + 1 . . 1 Г9 . . . , ,

Т—2Щ ^(х) — 1 У-1

^ Г 2а2(*) + ^ , - I'(х-1)/2 2а2(*) + ^ ..

+ У 1 1 — (¿) ^21(х,*)^2 + Д 1 — 2&2(*) ^22(х,*)^2 = -1 1 -1

=-- V- (¿Ж (х, + ^2 (х) — ^12(х),

п Л

где

(41)

К (х,*) =

+

1

1

21п |*|

хЛ^-(¿) 1п д ' пЛ^-(*) V* — х 1 — ¿х

+

+

1

£

д

2п

-.-2га

пЛ^ (¿) ^ * — д2пх 1 — д2га£х 1 — д-2п*х + * — д2га^.

Учитывая (13), систему (41) перепишем в следующем виде: '■1 1 д

V1г(x) + [ Кз^х,^-(£)"; = 1 [ 9 V-(£)К2(х,*)^ + ^*(х)

где

V-(*) + [ 9 Кз2(х,^-(;0^ = —1 [ vг(í)Kl(x,í)dí + К*(х), ]-1 п Л

1 — 2&1(х)

(42)

*Г(х) =

^2*(х) =

2а1(х) — 1 1 — 2&2(х)

(х) — Кц(х)) (^2 (х) — ^12(х))

Кз1(х,*) = <

2а2(х) + 1

í 2-ХйС!-ё-Т («11 (х,*)+ «12(х,*)) +

+1 Кф,*)), (х + 1)/2 < * < 1;

(2-Ь-«11 ^ + 1 К1(х,4 х < * < (х + 1)/2;

1 1-2Ь1(х) К (х /)

п 2й1(х)-1К1 (х,

д ^ * ^ х;

' («21 (х,*)+ «22М) —

Кз2(х,*) = <

— 1 ^(х,*)), —1 < * < (х — 1)/2;

(х — 1)/2 ^ * ^ х; х ^ * ^ —д.

Заметим, что каждое уравнение системы (42) является сингулярным интегральным уравнением нормального типа, индекс которого равен нулю. Точно так же, как и в работах [17,18], эта система известным методом Карлемана— Векуа [20] сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи I.

Разрешая первое уравнение системы (42), находим

1 Г

V- (х) = (х) + - V- (*)К2 (х, п ]-1

+ 1 + 1У 9V-(г)^, «З1(х,^,

т.е.

V-(х) = (х) + [

■} а

1 Г9

+— v2 (^)К^(х,я)^, п У-1

(43) 233

где К31(ж, t) — резольвента ядра К31 (ж, t), а

К2*(ж,^ = К2(ж,t) + [ К2(ж,^Яз1(ж,^,

q

причем

|К31(ж, t)| ^ const, |К|(ж,t)| ^ const.

Подставляя найденные значение Vi^), т. е. (43) во второе уравнение системы

(42), получим интегральное уравнение относительно v—(ж):

/—q

v— (^К2*(ж,^ = F2 (ж),

где

^2*(ж) = Е2*(ж) - 1 [ F^Ki^^t - 1 [ Ki^,t)dt [ F^z^^t, z)dz, п Jq п Jq Jq

1 /"1

К (ж, z) = К32 (ж, z) + / К1(ж, t)K2(t, z)dt,

п2 J q

причем

|F2*(ж)| ^ const, |К^(ж, t)| ^ const.

После того как найдены ^"(ж), из (31), (32) и (3) находим Tj (ж) и ^+(ж). Следовательно, решение задачи I можно восстановить в области Qo как решение задачи Неймана (37), в областях Aj (j = 1, 2) — как решение задачи Коши—Гурса, а в областях Dj (j = 1, 2, 3) — как решение задачи Гурса [18]. Итак, для случая А теорема 2 доказана.

В случае B исключим Tj (ж) из (35), (36), (38) и (39) с учетом условия сопряжения:

^СажМ „г (ж) +1 ^1 v—(t)K i(M)dt+ + Г1 - 2af К пмк (t)dt + i 1 1 - 2ai(t) К 12(ж, t)v—(t)dt=

Jx 2c1(t) J (x+1)/2 2c1(t)

1 —q

= - v2—(^(ж,^ + Fi(ж) - F21 (ж), п ./—1

2а2(ж) +1 . . 1 rq л

;(2(ж} V2—(ж) + - J v— (t)K2 (ж, t)dt

/"x 2a2(t) + 1^ . . . Г(x—1)/2 2a2(t) + 1^

K21^,t)v2 (ж)dt - -——К22(ж,t)v2 (ж)dt =

/—1 C2(t) ^ ' У 2 7—1 C2(t)

1 /"1

-/ v— (t)К 1 (ж, t)dt + Е22(ж) - Е2(ж).

q

Здесь

~ , . С(х, 0; 0) 1п х 1п * К,(х,*) = -; ~- = , ,.ч ,--+

Л,- (*)

Л, (*) 1п д

+

1

1п

Как и в случае А, учитывая, что

1 —

* — х

+ £ 1п

п=1

1 — д2п*х д2п —

2п

* — д2пх д2п* — х

2а, (х) + (—1, > 0,

систему (44) перепишем в виде

^-(х)+ / К41(х, t)vГ(t)dt =

9

п 1 — 2а1(х^-1

/-9

1 2С2(х)

1 2С1(х) [ 9^(^(х,^ + Кз*(х),

(45)

где

(х) =

^4*(х) =

п 1 + 2а2(х^9 2с1(х)

1 — 2а1(х)

2С2(х) 2а2(х) + 1

vг(í)^í + К4*(х),

(^(х) — Кп(х)),

(^22(х) — ^(х));

' («11 (х,*) + «12(х,*^+

+1К 1(х,*)

гай) ( ^ «11 (х,*) + 1К 1(М)

К1 (х^

1+2^ (ПК2(МЬ

(«21 (х, + «22(х,*))

К41(х,*) = <

К42 (х,*) = <

1+СЩ П К2^) — ^«21(М)

1+2р2(*) (

1 2с2(Ж)

1+2а,2(х) Кт(х,*),

(х + 1)/2 < * < 1;

х < * < (х + 1)/2; д ^ * ^ х;

—1 < * < (х — 1)/2; (х — 1)/2 < * < х; х ^ * ^ —д.

Очевидно, что система (45) является системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи I. Теорема 2 далее доказывается, как в случае А.

В случае С подставим (11), (12) в (38) и (39) соответственно и с учетом условия (3) получим

п

г 1 гг г-г п (г _ -1

Т,(х) = I Т1(* I ^^0; х,0)"* 2Г(ак) (2^) — 1)(2)"2 /• 1 />22-1 — / Т1(г)"г / Лт(£)С(£, 0; х, 0)^х

(9+1)/2 9

£

(г — 2)

ак-1

-Рк (2)^2+

+

-9

1

-9

Л*+1)/2 2Г(ак)(2а1(г) —1)

" (2 _ г)вк 1

-(9+1)/2 ( -9

Т2(г)"г / Л2(*)С(*, 0; х, 0)^х

1

^-1)/2 £ (2 —г)вк-1

-Гк (2)^2 + К, (х).

_ ¿1 2(2а2(*) + 1)Г(вк)

Далее после некоторых упрощений получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно т, (х): 1

Т1(х) = Т1(г)Кб1(х, г)"г+ 9

-9

/-9

т2(г)К52(х, г)"г+

+ / Т2(г)К52(х, + ^\(х), д ^ х ^ 1, 7-1 (46)

1

+ / Т1(г)К51(х, г) "г + ^(х), — 1 ^ х ^ — д.

9

Здесь

К51(х,г) = <

( п гг гг

Т щЫ ^ЩЙ-)Л1(*)Я/ (г — 2)ак-1рк(2)"2—

п /•2г-1 /-г

— Т 2ГШ ^Зё^Й)-1 М^ / (г — 2)ак-1рк(2)^

к=1

'(*+1)/2

(1 + д)/2 < I < 1;

п г г

Т ^ТоЙМ^/ (г — 2)ак-1Рк(2)^

д < * < (1 + д)/2;

^ п Г- рЪ

Т щк) Л2(^ / (2 — г)вк-1Гк(2)^2—

к=1 ./г ./г

К52(х,г) = <

п /"-9 /■(Ъ-!)^

— Т 2ГШ ^Ч (2 — г)вк-1Гк(^

к=1 ./2г+1 ./г

— 1 < * < — (1 + д)/2;

Л20; x, 0)^/ Е 2(2а2-г+1)Г(вк) Гк

./г ./г к=1

—(1 + д)/2 < * < — д;

г

Fi (x) = Fi(x) + y1 2а21^1)(- 1 G(t, 0; x, 0)dt-

2d2 (t)

/-1 2fl2 (t) + 1

G(t, 0; x, 0)dt, q ^ x ^ 1,

F2(x) = F2(x) + J1 1 G(t, 0; x, 0)dt-

[-q 2d2(t)

7-1 2fl2(t) + 1

причем

G(t, 0; x, 0)dt, -1 ^ x ^ -q.

|K5j(x,z)| ^ const, |ij(x)| ^ const, (j = 1,2).

Разрешая систему (46), однозначно определим Tj (x), следовательно, из функциональных соотношений (11), (12) c учетом (3) находим v- (x) и v+(x). Далее, как и в случаях А и В, однозначно восстанавливается решение задачи I в каждой подобласти.

Таким образом, теорема 2 полностью доказана.

ORCID

Обиджон Хайруллаевич Абдуллаев: http://orcid.org/0000-0001-8503-1268

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка// Диффер. уравн., 1976. Т. 12, №1. С. 103-108.

2. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения// Диффер. уравн., 1983. Т. 19, №1. С. 86-94.

3. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. 233 с.

4. Елеев В. А. О некоторых краевых задачах для смешанно-нагруженных уравнений второго и третьего порядка// Диффер. уравн., 1994. Т. 30, №2. С. 230-236.

5. Дзарахохов А. В., Елеев В. А. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка// Владикавк. матем. журн., 2004. Т. 6, №3. С. 36-46.

6. Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка// Диффер. уравн., 1978. Т. 14, №1. С. 181-184.

7. Казиев В. М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения// Диффер. уравн., 1981. Т. 17, №2. С. 313-319.

8. Ланин И. Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка// Диффер. уравн., 1981. Т. 17, №1. С. 97-106.

9. Исломов Б. И., Курьязов Д. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения второго порядка // ДАН РУз, 1996. №1-2. С. 3-6.

10. Курьязов Д. М. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения// УзМЖ, 1999. №5. С. 40-46.

11. Рамазанов М. И. О нелокальной задаче для нагруженного гиперболо-эллиптического уравнения в прямоугольной области // Математический журнал. Алматы, 2002. Т. 2, №4. С. 75-81, http://www.math.kz/images/journal/2002-4/Ramazanov.pdf.

12. Хубиев К. У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2005. Т. 7, №2. С. 74-77.

13. Сабитов К. Б., Mелишева Е. П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2G13. №7. С. 62-76.

14. Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми// Изв. вузов. Матем., 2G15. №6. С. 31-42.

15. Mелишева Е. П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2G1G. №6(SG). С. 39-47.

16. Abdullayev O. Kh. About a method of research of the non-local problem for the loaded mixed type equation in double-connected domain // Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci., 2014. vol.9, no. 2. pp. 3-12. doi: 10.18454/2313-0156-2014-9-2-3-12.

17. Абдуллаев О. Х. Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2G14. №1(S). С. 33-4S. doi: 10.18454/2079-6641-2014-8-1-33-48.

1S. Исломов Б. И., Абдуллаев О. Х. Краевая задача типа задачи Бицадзе для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2GG4. Т. 7, № 1. С. 42-46.

19. Бицадзе А. В. Краевые задачи эллиптических уравнений второго порядка. M.: Наука, 1966. 2G3 с.

2G. Mусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. M.: Наука, 196S. 513 с.

Поступила в редакцию 1G/III/2G16; в окончательном варианте — 25/IV/2G16; принята в печать — 27/V/2G16.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2016, vol. 20, no. 2, pp. 220-240

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1485

MSC: 35M12

A NON-LOCAL PROBLEM FOR A LOADED MIXED-TYPE EQUATION WITH A INTEGRAL OPERATOR

O. Kh. Abdullayev

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, VUZ Gorodok, Tashkent, 100125, Uzbekistan.

Abstract

We study the existence and uniqueness of the solution of non-local boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation

uxx + sgn(y)uyy + --sgn(y) E Rk(x, u(x, 0)) = 0

k= 1

© 2016 Samara State Technical University. Please cite this article in press as:

Abdullayev O. Kh. A non-local problem for a loaded mixed-type equation with a integral operator, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2016, vol. 20, no. 2, pp. 220-240. doi: 10.14498/vsgtu1485. (In Russian) Author Details:

Obidjon Kh. Abdullayev (Cand. Phys. & Math. Sci.; [email protected]), Associate Professor, Dept. of Differential Equations and Mathematical Physics.

with integral operator Rfc( x, u(x, 0))

where

Pk(x)^^u(x, 0), q ^ x ^ 1, rk(x)DlfXu(x, 0), -1 < x < -q,

D-afc f (x) - _— _^_dt

f (X)-TK) J% (x - i)l-afc ^

f (x) - 1 r_^_dt

f (x) - )JX (t - x)1^ ^

in double-connected domain Q, bounded with two lines:

<1 : x2 + y2 — 1, a"2 : x2 + y2 — q2 at y > 0,

and characteristics:

AjCi : x + (-1)jy — (-1)j+1, BjC2 : x + (-1)jy — (-1)j+1 • q

of the considered equation at y < 0, where 0 < q < 1, j — 1, 2; A1(1;0), A2( —1;0), B1 (q;0), B2(-q;0), C1(0;-1), C2(0; -q), , afc > 0.

Uniqueness of the solution of investigated problem was proved by an extremum principle for the mixed type equations. Thus we need to prove that, the loaded part of the equation is identically equal to zero if considerate problem is homogeneous. Existence of the solution of the problem was proved by a method of the integral equations, thus the theory of the singular integral equations and Fredholm integral equations of the second kind were widely used.

Keywords: loaded equation, integral operator, elliptic-hyperbolic type equations, double-connected domain, existence and uniqueness of solution, ex-tremum principle, integral equations.

ORCID

Obidjon Kh. Abdullayev: http://orcid.org/0000-0001-8503-1268

REFERENCES

1. Nahushev A. M. The Darboux problem for a certain degenerate second order loaded inte-grodifferential equation, Differ. Uravn., 1976, vol. 12, no. 1, pp. 103-108 (In Russian).

2. Nakhushev A. M. Loaded equations and their applications, Differ. Equations, 1983, vol. 19, no. 1, pp. 74-81.

3. Nakhushev A. M. Nagruzhennye uravneniia i ikh primeneniia [Loaded equations and their applications]. Moscow, Nauka, 2012, 233 pp. (In Russian)

4. Eleev V. A. Some boundary value problems for mixed loaded equations of second and third order, Differ. Equations, 1994, vol. 30, no. 2, pp. 210-217.

5. Dzarakhohov A. V., Eleev V. A. On a nonlocal boundary value problem for a third-order loaded equation, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2004, vol. 6, no. 3, pp. 36-46 (In Russian).

6. Kaziev V. M. Darboux's problem for a loaded second-order integrodifferential equation, Differ. Equations, 1978, vol. 14, no. 1, pp. 130-133.

7. Kaziev V. M. Goursat's problem for a loaded integrodifferential equation, Differ. Equations, 1981, vol. 17, no. 2, pp. 216-220.

8. Lanin I. N. Boundary-value problem for a loaded third-order hyperbolic-parabolic equation, Differ. Equations, 1981, vol. 17, no. 1, pp. 66-72.

Aôgy^^aeB O. X.

9. Islamov B. I., Kuryazov D. M. On a boundary value problem for loaded equation of the second order, Dokl. Akad. Nauk Resp. Uzb., 1996, no. 1-2, pp. 3-6 (In Russian).

10. Kuryazov D. M. A boundary value problem for a loaded equation of mixed type with two lines of degeneracy, Uzbekskii Matematicheskii Zhurnal, 1999, no. 5, pp. 40-46 (In Russian).

11. Ramazanov M. I. On a nonlocal problem for a loaded hyperbolic-elliptic equation in a rectangular domain, Matematicheskii zhurnal. Almaty, 2002, vol.2, no. 4, pp. 75-81 (In Russian), http://www.math.kz/images/journal/2002-4/Ramazanov.pdf.

12. Khubiev K. U. On one boundary value problem for a loaded mixed hyperbolic-parabolic type equation, Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk, 2005, vol. 7, no. 2, pp. 74-77 (In Russian).

13. Sabitov K. B., Melisheva E. P. The Dirichlet problem for a loaded mixed-type equation in a rectangular domain, Russian Math. (Iz. VUZ), 2013, vol.57, no. 7, pp. 53-65. doi: 10. 3103/S1066369X13070062.

14. Sabitov K. B. Initial-boundary problem for parabolic-hyperbolic equation with loaded summands, Russian Math. (Iz. VUZ), 2015, vol.59, no. 6, pp. 23-33. doi: 10.3103/ S1066369X15060055.

15. Melisheva E. P. Dirichlet problem for loaded equation of Lavrentiev-Bizadze, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2010, no. 6(80), pp. 39-47 (In Russian).

16. Abdullayev O. Kh. About a method of research of the non-local problem for the loaded mixed type equation in double-connected domain, Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci., 2014, vol.9, no. 2, pp. 3-12. doi: 10.18454/2313-0156-2014-9-2-3-12.

17. Abdullayev O. Kh. A boundary value problem for a loaded elliptic-hyperbolic type equation in a double-connected domain, Vestnik KRAUNTs. Fiz.-mat. nauki [Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 1(8), pp. 33-48 (In Russian). doi: 10.18454/ 2079-6641-2014-8-1-33-48.

18. Islomov B. I., Abdullayev O. Kh. A Boundary value problem of Bitsadze type problem for a third-order elliptic-hyperbolic type equation in a double-connected domain, Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk, 2004, vol.7, no. 1, pp. 42-46 (In Russian).

19. Bitsadze A. V. Boundary value problems for second order elliptic equations, North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics, vol.5. Amsterdam, North-Holland Publ., 1968, 211 pp.

20. Muskhelishvili N. I. Singular integral equations. Groningen, Wolters-Noordhoff Publ., 1967, 447 pp.

Received 10/III/2016;

received in revised form 25/IV/2016;

accepted 27/V/2016.