Научная статья на тему 'Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области'

Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
187
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НАГРУЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ / ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ТИП ДВУСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ / СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ / ПРИНЦИП ЭКСТРЕМУМА / ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / THE LOADED EQUATION / ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE / DOUBLE-CONNECTED DOMAIN / EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTION / AN EXTREMUME PRINCIPLE / THE INTEGRATED EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абдуллаев Обиджон Хайруллаевич

Мы изучаем существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения второго порядка с двумя линиями изменения типа в двусвязной области. Когда исследуемая область односвязная, аналогичные результаты были получены в работах Д.М. Курязова

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LOADED EQUATION ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE IN A DOUBLY CONNECTED DOMAIN

We study the existence and uniqueness of the solution of one boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation of the second order with two lines of change of type in double-connected domain. Similar results have been received by D.M.Kuryhazov, when investigated domain is one-connected

Текст научной работы на тему «Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области»

УДК 517.956

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

O^. Абдуллаев

Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека,

100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок E-mail: obidjon.mth@gmail.com

Мы изучаем существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения второго порядка с двумя линиями изменения типа в двусвязной области. Когда исследуемая область односвязна, аналогичные результаты были получены в работах Д.М. Курязова.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, эллиптико- гиперболический тип, двусвязная область, существование и единственность решения, принцип экстремума, интегральные уравнения

(с) Абдуллаев O.X., 2014

MSC 35M10

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LOADED EQUATION ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE IN A DOUBLY CONNECTED DOMAIN O.Kh. Abdullaev

National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100174, Uzbekistan,

Tashkent c., VUZ gorodok st.

E-mail: obidjon.mth@gmail.com

We study the existence and uniqueness of the solution of one boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation of the second order with two lines of change of type in double-connected domain. Similar results have been received by D.M.Kuryhazov, when investigated domain is one-connected.

Key words: the loaded equation, elliptic - hyperbolic type, double-connected domain, existence and uniqueness of solution, an extremume principle, the integrated equations

(c) Abdullaev O.Kh., 2014

Введение

В последние годы в связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод, почвенной влаги возникла необходимость в изучении нового класса дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. Отметим что, интересные результаты, посвященные краевым задачам для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов второго порядка, была получена в работах А.М.Нахушева [1], В.А. Елеева [2], В.М. Казиева [3]-[4], И.Н. Ланина [5] Б.И. Исломова и Д.М. Курьязова [6], Д.М. Курьязова [7], М.И. Рамазанова [8] и К.У. Хубиева [9].

Насколько нам известно, краевые задачи для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области не были исследованы.

В данной работе доказывается существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа в двусвязной области.

Постановка задачи

(1)

0

с1 : х2 + у2 = 1, х > 0, у > 0; с2 : х2 + у2 = д2; х > 0, у > 0;

с? : х2 + у2 = 1, х < 0, у < 0; с? : х2 + у2 = д2, х < 0, у < 0, (0 < д < 1) и характеристиками:

А/А? : х - у = (-1)7+1; В/В? : х - у = (-1)7-1 ■ д; (0 < д < 1), (/ = 1,2)

уравнения (1).

Введем обозначения:

Е/ (М-17; ) , Е? (<=/-«;<=/«) , с(<-1)/-‘-<-1/), (/ = 1,2);

П0 = П П (х > 0) П (у > 0), П0 = П П (х < 0) П (у < 0);

А1 = П П (х + у > д) П (у < 0), А1 = П П (х + у < -д) П (х > 0);

А2 = П П (х + у > д) П (х < 0), А2 = П П (х + у < -д) П (у > 0);

Л1 = П П (0 < х + у < д) П (у < 0), ^ = П П (-д < х + у < 0) П (х > 0);

£2 = П П (0 < х + у < д) П (у > 0), £2 = П П (-д < х + у < 0) П (х < 0);

П1 = П0 и П0, £0 = П0 и А1 и А2, £0 = П0 и А1 и А2,

£3 = £1 и£1, £4 = £2 и£2,

Рассмотрим уравнение

uxx

+ sgn(xy)uyy +

1 - sgn(xy) 2

. 1 + sgnx(x + y) . 1 + sgny(x + y) , '

A1---------- ----w(x, 0) — A2--------------- ---------w(0, y)

2

2

в конечной двусвязной области П, ограниченной линиями:

Т2+j = і t :

j-1 i 2

q +(-1)j-1

/j ={t: (-1) j 12 <t <q(2 - j)}; /j ={t: q(j -1) <t <(-1) j 1|};

< t < 2 - Д ; /4+j = {t: 0 < (-1)j-1t < 1} , (j = 1,2),

где , = < х "Р" 7 = 1,

у при / = 2.

П0, А/, 0/, £/ - геометрические фигуры, симметричны, соответственно, фигурам П0, А?, с/?, , (/ = 1,2) относительно прямой х + у = 0.

В области П исследуется следующая задача.

Задача I. . Найти функцию м(х,у) со следующими свойствами:

1) м(х,у) е С(П),

2) м(х,у) является регулярным решением уравнения (1) в области П\(ху =

0)\(х+у = 0)\(х+у = ±д), кроме того, му е С(А1В1 иА2В2), их е С(А2В2 иА\В\), причем мх(0,г), му(г,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ ±д, а при г ^ ±1 ограничены;

3) на линиях изменения типа выполняются условия склеивания

му(х,-0) = му(х, +0), (х,0) е А1В1, му(х,-0) = му(х, +0), (х,0) е А2В2, (2)

их(-°у) = их(+0,y), (0,у) е A2B2, их(-0у) = их(+0,y), (0,у) е А1В1. (3)

4) м(х,у) удовлетворяет краевым условиям

и(ху) с= фу(x,у); (x,у) е с/, (4)

u(x, y)

а * = Vj(x, y); (x, y) є а]

u(x y) aj£j = V(t); t є T2+j,

u(x y) b;c; = gj(t); t є tj,

u(x, y)

B;Cj g;(t); t є h,

где ф/(х,у), ф?(х,у), у/(г), £/(г), £?(г), (/ = 1,2) - заданные функции, причем:

£/ (2) = £? (2), ф1(1,0) = Ф2(g,0) = Ыд^ Ф2(0,д) = Ыд^

V; (-1,0) = V2( 1), V; (0, -q) = g1(0), V*(-q, 0) = g2(0), Vj-(x,y) = (xy)rVj(x,y); Vj(x,y) є C (cj),

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

V; (x,y) = (xy)YV*(x,y); V*(x,y) є C ), 2 < 7 < 3,

(11)

Vj(t) є C (/2+j) n C2 (/2+j), gj(i) є c (/j) nc2 (/j), g;(i) є c(/;) n c2 (/;), (12)

Лемма 1. Любое регулярное решение уравнения (1) при ху = 0, х + у = 0 представимо в виде

{ ч / \ , 1 - sgn(xy)

u(x, y) = z(x, y) +---------2-----

1 + sgnx(x + y) Ю (x) + 1 + sgny(x + y) Ю (y)

(1З)

2 2

где г(х, у) - регулярное решение уравнения

и = гхх + ^я(ху)гуу = 0, (14)

, а функции Ю/(г) = | ^(Х) При / = 2 дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения

ю^(х) + Я1 юЦх) + А^(х,0) = 0,хе —1; — ^ и ^;1 , (15)

ї—і;—-1 U [-;і|

L 2J l_2 J

Ї—1;—-1 U \-;1

. 2. .2 -

Ю2(у) + ^2®2(у) + ^2^(0,у) = 0,у е

соответственно.

Доказательство. Пусть функция вида (13), есть решение уравнения (1). Тогда, подставляя (13) в (1), при х > 0, у < 0 и х + у > 0 (х < 0, у > 0 и х + у < 0) имеем

ихх иуу + ^1 и(х 0) = гхх £уу + Ю1 (х) + -^4 Ю1 (х) + 0) = °

т.е. в силу (15) получим, что функция (13) удовлетворяет уравнению (1).

Теперь докажем обратное, т.е. пусть и(х,у) регулярное решение уравнения (1) при х > 0, у < 0 и х + у > 0 (х < 0, у > 0 и х + у < 0), а функция Ю1(х) некоторое решение обыкновенного дифференциального уравнения

Ю'(х) + Я1м(х, 0) = 0. (16)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Докажем справедливость соотношения (13). Учитывая, что функция

л

Ю1 (x) = -^J (x — t)u(t, 0)dt

0

есть частное решение уравнения (16), получим, что функция

х

и(х,у) = г(х,у) — ^ У (х — г)и(г, 0)Л

0

является решением уравнения (1) при х > 0, у < 0 и х + у > 0 (х < 0, у > 0и х + у < 0),

х

где г(х,у) решение уравнения гхх — гуу = 0, а функция м(х,у) = — ^ / (х — г)м(г, 0)Л есть

0

частное решение уравнения (1), следовательно, представление (13) верно.

Аналогично доказывается случай х < 0, у > 0 и х + у > 0 (х > 0, у < 0и х + у < 0). Лемма 1 доказана. □

Учитывая, что функции ах + Ь и с + ^у являются решениями уравнения (14), произвольные функции Ю(х) и Ю(у) можно подчинить условиям

ю (1) = ю'(1) = 0 . (17)

З6

Решения задачи Коши (15), (16) и (17), соответственно имеют вид:

1

to1(x) = — Vl^i^y z(t, 0)K (x, t )dt

(18)

где

K (x, t) =

shV—A1 (x — t) при Я1 < О sinv^i (x — t) при Я1 > О

Ю2(у) = — \/|^2Ї z(0, t )K (y, t )dt

(19)

где

K (У, t) =

sh\J—A2 (y — t) при Я2 < О

8т (у — г) при А2 > 0 '

В силу (13) и (17), задача I сведется к задаче I* для уравнения (14) с краевыми условиями:

z(x У) а= Pj(x, У), (x, У) є aJ,

z(x У)

а j j

zfoУ) А;Я; = ^J(t) — Ю/(t), t є /2+j,

jj

z(x y) b,.c; = gj(t) — ®j (t), t є 7J,

z(x y)

B*Cj = g?(t) — ®j(t), t є ^jj,

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Единственность решения задачи

Единственность решения задачи I следует из единственности решения задачи I *. В силу решения задачи Коши-Гурса для уравнения (14) в области Л1 (Л2), удовлетворяющие условиям (22) и

zy(x,0) = Vi(x), x є AiBi(zx(0,y) = V2(y), y є A2B2)

получим

і

Tj (t) = J Vj (s)ds + 2yj

t + 1

~2~

-2Ю;

t + І

~2~

— ^j(1),

(25)

где Ті(х) = г(х, 0) = и(х,0) - о>і(х), (х Є АіВі) и т2(у) = г(0,у) = м(0,у) - ©2 (у), (у Є А2В2). В силу (18) и (19) из (25) соответственно находим

VJ(t) = —Tj(t) + + VJ J TJ(s)KJ(t,s) ds

t+i

2

(26)

и

1

V

Теорема 1. Если

j, s) = { —s) "р“ AJ < 0 (27)

I vAj cosy Aj (^+- — s) при Aj > 0,

n 2

Я,- <-2 (7 = 1,2) (28)

7 < (1 — д)2

то задача Г* не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть ^(х) = ^2(у) = 0. Тогда, так как ^1(1) = ю(1) = 0, то Т1 (1) = 0. Отсюда следует, что Т1(х) имеет хотя бы одну точку нуля в отрезке [д, 1]. Пусть хг(г = 1,п) нули функции т1 (х), тогда рассмотрим отрезок [х1, х2] С АВ. Так как т1 (х1) = т1 (х2) = 0, то функция т1 (х) > 0 или т1 (х) < 0 для всех х е [х1;х2]. Предположим Т1 (х) > 0 (Т1 (х) < 0) , тогда покажем что внутри этого интервала

Т1 (х) не достигает положительного максимума (отрицательного минимума).

Пусть в точке х0 е (х1, х2) функция Т1 (х) достигает свой положительный максимум (отрицательный минимум), тогда в силу (27), (28) с учетом ^(х) = 0 из (26) получим V!(х0) > 0(У1(х0) < 0), а это противоречит известному принципу Зарембо-Жиро [10], согласно которому в точке положительного максимума (отрицательного минимума) должно быть V1(x0) < 0 ^(х0) > 0). Следовательно, т1(х) не достигает

свой положительный максимум (отрицательный минимум) в точке х0 е (х2, х1). Таким образом,

(х) = 0, Ух е [х1, х2]. (29)

Аналогично, выше изложенным методом доказывается, что

Т1 (х) = 0, Ух е [г, г+1] (г = 2, 3, 4,...,п — 1). (30)

Если х1 = д, т.е. т(х1) = т(д) = 0, то из (29) и (30) следует т1(х) = 0, Ух е А1В1, а при х1 = д функция Т1 (х) не может иметь экстремума в интервале (д,х1). Тогда функция т1(х) либо знакопостоянна в [д,^, либо т1 (х) = 0, Ух е [д,х^. В силу (18), (19) с учетом ф2(д;0) = 0 из (13) получим

1

Т1(д) = л/ГЯЦ I Т1(г )К (д, г )Л. (31)

д

Пусть та(х) > 0 (т1(х) < 0), х е [д,х1], тогда учитывая К(д, г) < 0 из (31) имеем т1(д) < 0 (т1(д) > 0). Следовательно, функция т1(х) знакопостоянна в [д,х^. Отсюда, принимая во внимание Т1 (х1) = 0, заключаем, что

(х) = 0, Ух е [д, х1]. (32)

В силу (30) и (32) имеем

(х) = 0, Ух е [д, 1]. (33)

Аналогичным образом доказывается что

Т2(у) = 0, Уу е А2В2.

В силу (33) из (18) и (19) следует, что

®1 (х) = Ю2(у) = 0. (34)

В силу (33) и (34) с учетом принципа экстремума для уравнений смешанного типа [11], [12] краевая задача I * с нулевыми данными не имеет отличного от нуля решения, т.е. г(х,у) = 0 в области О. Следовательно, решение задачи I * единственно. Теорема доказана.

В силу (34) с учетом г(х,у) = 0 в области О из (12) имеем, и(х,у) = 0 в О. Единственность решения задачи I доказана. □

Существование решения задачи I.

При доказательстве существования решения задачи I важную роль играют следующие вспомогательные задачи:

Задача II. Найти функцию г(х,у) со следующими свойствами:

1) г(х,у) е С(00) П С2(00\ху = 0) П С1(Л0) решение уравнения (14);

2) гу е С(А1В1), гх е С(А2В2), причем гх(0,г), гу(г,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ д и при г ^ 1 ограничены;

3) удовлетворяет краевым условиям (20) и (22).

Задача Ь. Найти функцию г(х,у) со следующими свойствами:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1) г(х,у) е С(^0) П С2(00\ху = 0) П С1 (00) решение уравнения (14);

2) гу е С(А1В1), гх е С(А2В2), причем гх(0,г), гу(г,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ —д и при г ^ — 1 ограничены;

3) удовлетворяет краевым условиям (21) и

z(x У)

A * E *

jj

= У/(t) — Ю(t)

где (г) - неизвестные функции, которые определяются далее, а юу(г) (у = 1,2)

определяются из (18) и (19).

Теорема 2. Если выполнены (9), (11) и (12), то решение задачи Г1 существует и единственно.

Доказательство. Единственность решения задачи ^доказывается с помощью следующего принципа экстремума: решение г(х,у) задачи ^ при фу(х,у) = уу(х) = 0 своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области

О достигает лишь на о 1 и о2

В силу единственности решения задачи Коши-Гурса в областях Л1 и Л2 для уравнения (1 *), с учетом юу(г) = 0, (у = 1,2) решение г(х,у) задачи I1 с нулевыми данными тождественно равно нулю, т.е. г(х,у) = 0 в 00. Единственность решение задачи ^(О^ доказана.

Переходим к доказательству существование решения задачи !1(00).

Решение задачи N для уравнения (14) в области О с краевыми условиями (20) и

гу(х, +0) = V1+(x), (х,0) е А1В1, гх(+0, у) = v+(y), (0,у) е А2В2

единственно и представимо в виде [12]

д

Г д Г д

z(x,У) = у Фі(€, n)дПG(^, n;x,y)dS — J ^, n)dnG(^, П;x,y)ds+

а1

а2

1 1 + J v+(t )G(t, 0; x, y)dt + J v+(t )G(0, t; x, y)dt,

(35)

где 0(^,п;х,у) - функция Грина задачи N для уравнения Лапласа в области О0, которая имеет следующий вид [12]

G(^, n; x у) = ln

а {ln v+ln П An v+ln м\ а ( ln( v)+ln м\ Q ( ln( v)+ln М

еі ^ 2nir J еі V 2nir J еі V 2nir J ЄІ V 2nir

ei (!n2—l=^)ei

2п ir

(36)

где V = £ + г'п, V = £ — г'п, Д = х+гу, д = х — гу, г = 11пд, г2 = —1, 0^) = 01 (£ | — Г) —

тэта-функция.

Полагая в (35) у = 0 (х = 0), получим соотношение между т+ (х) и v1+ (х) (т+ (у) и v+ (у)) на А1В1 (А2В2) принесенное из области О0

2 I д 1

т+(х) = £ (— 1)*—1у ф*(^,П)а(^,П;х,0)^+ у v1+(г)G(г,0;х,0)Л+

*= о* д

1

+ J v+(t )G(0, t; x, 0)dt,

(37)

(y) = I (— 1)к—1/ф*(<§,n)^G(^,n;0,y)dS + J v+ (t)G(t,0;0,y)dt+

k=i а* q

+ У v2+(t)G(0,t;0,y)dt I .

Дифференцируя равенства (37) по х (а второе по у), получим

1 1

д 0(г, 0;х, 0^, 1 „ +,, д С(°«0)А + ^,(Х)

дх

ТІ+(Х) = / *+«д ^ X, dt + / V.2+«)-

Fi(x)= I (—1)‘—V ^,n)YnG(«,n;x,0)dS.

а*

Т2+(У)=j v+(,) dt+j V2+w dt+F2(y)

д y

1

где F2(y) = I(—i)fe 11 (<§,n)дпG(4,n;0,y)dS

*=i

а*

Исключив Т. (t) (J = 1,2) из соотношений (26) и (38 получим систему интегральных

уравнений

ІІ

+ (x) + / v+ (t )K (x, t )dt = ф( x) — / v2t )K2(x, t )dt

v+(y) + / v+(t )^2(t, y)dt = Ф2(у) — / v(t )^2(y, t )dt,

(39)

где

ФІx) = У/

x+1

1

+ /|AiI J Ті (t)Ki (x, t) dt — Fi(x),

x+i

2

(40)

Ф2 (y) = У2

y+1

і

+ /|A|I T2(t)K2 (y, t) dt — Fj(y).

y±i

2

2 ln t

K^x, t) = ' ' + K (x, t)+ K(x, —t),

x ln q

(41)

K2(x, t) = KTi(x, —it),

(42)

K (x, t) = — n

1

+I

q

2n

q2nt

q—2nt

q

-2n

t — x 1 — tx n=i V t — q x 1 — q tx 1 — q 2ntx t — q2nx

(43)

Исследуем правую часть интегрального уравнения (39):

Ф * (x) = Ф( x) — j v2t )K2(x, t )dt

= /.2(4 , n ) |d n — j ^ , n ) д G(4i n; x, 0) к —

д ^ дG(4, n;x, 0) д x

а2

а2

in

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— /, n) ix(iG(4^)d n + /»«, n) £( d«—

аі аі

— Уі

x + 1

— /|AiI J тІ (t)Ki (x, t) dt — J v2t)K2(x, t)dt

x+i

2

а/і — ^ 2 дx

2

2

t

1

1

1

2

і

+

О

1

/All у Ti (t)Ki (x, t) dt — У v2t)K2(x, t)dt =

x+i

2

1x

2

пу r1 v , ^ V- dx

О

~ ( 1 — x2q4n x2 — q4n Л

+ ?^=1 V x2q4n — 2q2ni x + 1 x2 — 2q2ni x + q4nJ

і

2 i_ Л ГТ-^Л^+2 ,.2) 1—1 д

+I

д x

І — x2q4n x2 — q4n

x2 — 2, x + 1 d 4+

1 — x 2

+

+

x2 + 2, x + 1 d, —

q

, n) дІРІГ1) d 4 — 2 / »«, n) ^ di—

q

;i„)*(л di—* (^ л—

= ^1 (х) + ^2(х) + Яз(х) + ^4(х) + ^5(х). (44)

Исследуем функцию ЛЦх) при х ^ 1 (х ^ д).

В силу (10) учетом вида 01 из (44) имеем

«1(х) = — 2/ф, , v/1-І2) «г+2 (1 — «2)1—1 д

^ Vx2q4n + 2q2n%x + 1 x2 + 2д2и%x + q4n

1 Y-1

— п У ^ if % ’ /1 — % 21 i n ^ " d % = Rii(x) + Ri2(x) + Ri3(x). (45)

0

Исследуем функцию R11(x) при x ^ 1 (x ^ q). В силу (10) из (45) имеем

|Rn(x)l< • r(3Y+5^2 ) x^rrF (Y+3;i;3lTY;^) +

~Г , ^) Г (ifY) ^ (i+xl2) +

+““ Г(a+3) ^ (i^x2)2F (Y + 3;2;_-Y;(r+l)2) +

+,.„„« Г(3-1) Г(*+9 x(i + x)(i -x)Y-2F (Y+i,3r+3; y-1; (1 -x)2) +

+ • Г(2) (i + x2)¥ 4 2 ; 2 '2 ; (1 + x)V +

1

+const ■ J %Y+2(1 - %)1-1 |Lii (x, %)| d%.

1

где Lii(x,і) = I

n=1

x ■ q / 2q— і x

x2q4n + 1 \ q4nx2 + 1

+

q4nx (1 — x2q4n) ( (q4nx2 + і)2 V

2q-2иj x q4nx2 + 1

+

x2 + q4n

1

2q j x

x2 + q4n

\ x(x2 — q4n) / 2q2иj x

у (x2+q4n)2 V x2+q4n

Очевидно что, функция L11(x, %) G C([q, 1] x [0,1]), т.е. |L11(x,t)| < const, следовательно, в силу свойств гипергеометрических функций имеем

|R11(x)| < const.

Аналогично доказывается, что

|R12(x)| < const и |R13(x)| < const. Следовательно, из (46),47) и (45) получим, что

|R1(x)| < const

Точно так же находится оценка для функции R2(x), т.е.

|R2(x)| < const.

Теперь исследуем функцию R3(x). В силу (44) с учетом вида 02 имеем

(46)

(47)

(48)

(49)

x — £

x — і q2x2

x2 — 2і x + q2 і — 2і x + q2x2

+I

x2 і — q2nx

і - q2nx

q2nx — q4^

1 \ q2x2 — 2q2n і x + q4n q2 — 2q2n і x + q4nx2 x2 — 2q2n і + q4

q

^ + 2 /.2(і,nЖп)У , 2 2

vV — і2

xq2n — q4n і x2

1 — 2q2n і x + q4n+2x2

x

x

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д x

x + і

x^ — q2nx

і + q x

x2 + 2іx + q2 і + 2іx + q2x2 n=1 Vq2x2 + 2q2иjx + q4n q2 + 2q2иjx + q4nx2

q2nx + q4^

xq2n + q4nx2

x2 + 2q2n і x + q4n+2 1 + 2q2n і x + q4n+2x2

%Y+1 n Y -1(% + n )

X %---1 (% + 1) d% = R31 + R32 + R33.

x in q

Исследуем функцию R3i(x). Выполнив замену % = qt из (50) получим

Г(у + 2)Г (^i ( ^ Y (x — q)2 -

|R3i(x)|< const-----------------. \ '' 2 . _2 F у + 2;1;—;Ч-Я- 1 +

зг+з^ x2 + q2

2 x2 + q2

(50)

1

2

2

x

+

+ const

+const ■

+const ■

r—з

x

r( (x2+q2)2

F Y + 2; 2;

5 — Y (x — q)2

2 x2 + q2

+

72 ) 1 „ ( „ , 3 — у (1 — xq)2\

F ( 7 + 2;i;^^; ! , _2v2 I +

3y+^ 1 + q2x2

r—з

x

r( 3Y?i) (i+q2x2)2

F 7 + 2; 2;

2 1 + q2x

5 — Y (1 — xq)2

2 1 + x2q2

+

+const ■

П 3?) г(і+ї) x2(^„W—з

(x2 + q2) 2

) x2(x — q)Y—3 / 7 + 1 37 + 1 7 — 1 (x — q)2\ +

(x2 + q2) ^ v 2 ; 2 ; 2 ;x2 + q2J

Г (2) (x2 + q2)^+

Г

+const

з—Л r(1+Л

2') x2(i — xq)y 3 /7+ 1 37+ 1 Y — 1 (1 — xq)2

-3

F

r (2) (1 + e2x2^1^ V ^ 2 ' 2 • 1 + x2q2

1

+const -J t r+1(i — t) |L3i (x, t )| dt.

+

где

L3i(x t) = I

n=1

2xqt — q2n ^ 2q2n+itx ^ 1 ^ 2qx (q2n — 2qtx) (qx — q2nt)

q2x2 + q4n

q2x2 + q4n

(q2x2 + q4n)

2

x

1

2q2n+1tx q2x2 + q4n

2q4nx(xq2n — qt)

+

q

2n

q2 + q4nx2

1

2q2n+itx q2 + q4nx2

4n^-v /-.2л / 2q2n+1tx ^ 2 ^2n

(q2 + q4nx2)2

1

+

q

2 + q4n+2

x2 + q

q2 + q4nx2 / x2 + q4n+2

—2 2nn o„2n+1

(1 2q2n+1tx Л 1

\ x2 + q4n+2 )

(51)

2q2n(x — q2n+it )2 / 2q2n+itx \ 2 q2n(1 — 2q2n+itx)

1

x2 + q4n+2

2q2n+1tx

1

2q4n (1 — q^tx) (xq2n+2 — qt) / (1 + q4n+2x2)2 V

1 + q4n+2x2 \ 1 + q4n+2x2

2qn+itx Л — 2

+

(1 + q4n+2x2)

причем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|L31(x, t)| < const.

Отсюда в силу свойств гипергеометрических функций из (51) имеем

|R31(x)| < const(x - q)Y-3 (2 < у < 3).

Точно также, оценивая функцию R32(x), получим

|R32(x)| < const.

(52)

(53)

2

1

1

|R3(x)| < const(x — q)Y 3 (2 < y< 3). Аналогично выше изложенным методом можно оценить R4(x):

|R4(x)| < const(x — q)Y—3 (2 < y< 3).

Нетрудно заметить, что R3(x) и R4(x) при x^ 1 ограничены. Рассмотрим функцию Rs(x). В силу (43) из (44) имеем

(54)

(55)

1

R5 (x) = — J v+(t )K2(x, t )dt,

(56)

где

K2(x, t) = -п

1

it

it + x 1 + itx

+I

n=1

q

2n

+

q2nit

q—2nit

it + q2nx 1 + q2nitx 1 + q

2n

itx

q

2n

it + q2nx

1

it

it — x 1 — itx n=

q—2"й q—2n

q

2n

q2nit

1 \ it — q2nx 1 — q2nitx

1 — q 2nitx it — q2nx

+

2ln | it | x ln q

причем K2(x,t) Є C([q, 1] x [q, і]), т.е.

|K2(x,t)| < const. (57)

В силу (57) с учетом класса функции v2(t) е C2(q, 1) из (56) следует, что

|R5(x)| < const. (58)

Таким образом, в силу (48), (49), (54), (55) и (56) с учетом (10), (12), имеем, что

Ф1М е C2(q, 1), причем Ф|^) может иметь особенность порядка меньше единицы

при x ^ q, а при x ^ 1 ограничена.

Аналогичным образом доказывается, что Ф2(у) е C2(q, 1), причем может иметь особенность порядка меньше единицы при y ^ q, а при у ^ 1 ограничена.

Система сингулярных интегральных уравнений (44) точно так, как и в [11]-[13], известным методом Карлемана-Векуа [14] сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость, которой следует из единственности решения задачи I1.

Решая первое уравнение системы (39), находим

v++(x) = Ф2(x) + У' Ф2(» )R?i(x, t )dt = Ф( x) — j v2t )K2(x, t )dt+

+

Ф(t) — J v2s)K2(t,s)ds I i?i(x,t)dt,

1

1

т.е.

v(x) = Ф( x) + j ф1» )Ri(x, t)dt — j v2t)K2(x, t)dt (59)

qq

где Ri(x,t) - резольвента ядра K^x,t), а

і

K2(x, t) = K2(x, t)+ f K2(x, t )Ri(x, t )dt

причем |R?1(x, t)| < const, |K2(x, t)| < const .

Подставляя найденные значение vjx) (т.е (59)) во второе уравнение системы (39) получим интегральное уравнение относительно v2y):

1

v2y) + / v2t )K2(t, y)dt = Ф2(у) (60)

где

K2(t, y) = K2t, y) — / K2 (t, s)K2(y, s)dsct2(y) = Ф2(У) —

фіt) + У ФІs)^i(t,s)ds J K2(y,t)dt

q

причем |<ї>2(у) | < const, |K|(x, t)| < const

Известно, что решение интегрального уравнения (60) имеет вид [14]:

і

v2y) = ф 2 (у) + / Ф2 (t )R2(t, y)dt (61)

q

где R2(x,t) - резольвента ядра K|(x,t),

і

<^2(y)= A(y) + /Щ J T2(t)K2 (y, t) dt —

y+1

2

і і 1 /|ЯЦ J Ti(s)Ki (t,s) ds +J /аЦ| Ti(s)Ki (t, s) Ri(s,z)dzds

V q ^ /

^2(t, y)dt, (62)

здесь А (у) известная функция, которая зависит от заданных функций. Подставляя (61) в (59) находим

v(x) = <Ї»І(x) — IK2(x,t)dt f <C>2(s)R2(s,t)ds

і

і

і

і

і

і

Краевая задача для нагруженного уравнения ... ТББЫ 2079-6641

ф^(х) — Уі ^ ^ — ^1/(х) + л/АЦ У т1(г)кі (хг)^г+

х+1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

її і +/|я1^У ^і(х, г)Ж J ті(^)Кі (г, 5) ^я +

г+1

2

УІ ( ^у1 ) - ^/(г)

/?1(х, г )Л—

-1 сФ2(г)К2(х, г)^г ч

Далее, исключив У2(у) из (26) и (61) с учетом (62) получим:

/И/^2(г,у)^г У Т2(я)К2(г,я)^я + т2(у) — у2 (^+“1 — лі(у)

г+1

2

где

і

Аі(у) — В(у) — А (у) + ^ (В(г) — А(г)) Л2(г, у)*

1 1

\

т1(я)К1 (г,я) ^я + / т1(я)К1 (г,я)/?1(я,г)^г

г+1

ч 2

ч г+1 2

Кг(у, г )^г

/

Интегрируя обе части полученного равенства от у до 1 и учитывая, что т2(1) = ^2(1) получим следующее интегральное уравнение для определения Т2(у):

1 1

у 4+1

2

2я— 1

Т2(у) — /1А2Ї У Ж J Т2 (я)^^ У ^2(г, г)К (г, я) — 2у2 ( — /А1 (г )^г—у2(1)

т.е.

Т2(у) — У Т2(я)^(я,у)^я — 2у^У-+^^ ^УА1(г)^г—у2(1)

4+1 у

2

1 1

где N (я, у) — / Л / ^2(г, г)К (г, я) у 2я—1

После того как найдены т1(х) и У1(х), т2(у) и У2(у), решение задачи 11 можно восстановить в области По как решение задачи N (35), а в областях Ау(7 — 1,2) как решение задачи Коши-Гурса. Теорема 2 доказана. □

Теорема 3. £сли выполнены (9), (11 и (12), то решение задачи 12 существует и единственно.

Доказательство. Теорема 3 доказывается аналогично как теорема 2.

Пусть г(х,у) - решение задачи I2, тогда однозначная разрешимость задачи I2 эквивалентно сведется к однозначной разрешимости задач І1 и І2, где неизвестную

1

1

1

1

1

1

1

функцию у/(х) (7 = 1,2) можно определить, склеивая на линии х + у = 0 решение задачи Гурса в областях О/ и Оу с краевыми условиями (7),

z(x y) Bj.£j. = hj(x) — ®j(x)

и (В),

z(x y)

*p * = (x) — fflj(x),

jj

соответственно, где hj(x) и h?(x) являются следами на x+y = q и x + y = — q решения

задач Ii и I2 в областях Лу и Л?, соответственно.

Следовательно, в силу (13), (17), (18) и (19) задача I однозначно разрешима. □

Библиографический список

1. Нахушев. А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1976. Т.12. №1. С.103-108.

2. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифф. уравнения. 1994. Т. 30. №2. С. 230-237.

3. Казиев В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1978. Т. 14. №1. С.181-184.

4. Казиев В.М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения // Дифф. уравнения. 1981. Т.17. №2. С.313-319.

5. Ланин И.Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка // Дифф. уравнения. 1981. Т.17. №1. С.97-106.

6. Исломов Б.И., Курьязов Д.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения второго порядка // ДАН РУз. 1996. №1. С.3-6.

7. Курязов Д.М. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. // УзМЖ. 1999. №5. С. 40-46.

8. Рамазанов М.И. О нелокальной задаче для нагруженного уравнения гиперболо-эллиптического типа в прямоугольной области // Сибирский математический журнал. 2002. Т.2. № 4. С. 75-81.

9. Хубиев.К.У. Об одной задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Доклады АМАН. 2005. Т. 7. №2. С.74-77.

10. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

204 с.

11. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. Матем. Института АН СССР. 1953.

Т.41.

12. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Нелокальная краевая задача в двусвязной области для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Доклады АН СССР. 1988. Т. 299. №1. С.63-66.

13. Исломов Б., Абдуллаев О.Х. Краевая задача типа задачи Бицадзе для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Доклады АМАН. 2004. Т. 7. №1. С.42-46.

14. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с

Поступила в редакцию / Original article submitted: 24.04.2014

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.