CC BY
37
УДК 517.956
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ФРАНКЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ГРАНИЦЕ И ВНУТРИ ОБЛАСТИ
Н.К. Очилова
Ташкентский государственный педагогический университет им. Низами,
100070, Узбекистан, г. Ташкент, ул. Юсуф Хос Ходжиб, 103 E-mail: nargiz.ochilova@gmail.com
В данной статье доказывается существование и единственность решения краевой задачи для вырождающегося уравнения параболо-гиперболического типа.
Ключевые слова: вырождается уравнение, смешанный тип, существование, единственность, краевая задача
(с) Очилова Н.К., 2014
MSC 35M13
STUDY THE UNIQUE SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEM OF FRANKL FOR MIXED-TYPE EQUATION DEGENERATE ON THE BOUNDARY AND WITHIN THE REGION N.K. Ochilova
Tashkent State Pedagogical University by Nizami, 100070, Uzbekistan, Tashkent c., Yusuf Xos Xojib ko‘chasi st., 103 E-mail: nargiz.ochilova@gmail.com
In this paper, the existence and the uniqueness of solution of the Frankl type boundary value problem for degenerating equation of the mixed type are proved.
Key words: degenerating equation, mixed type, existence, uniqueness, boundary value problem
© Ochilova N.K., 2014
Введение
Развитие уравнений в частных производных обусловлено широких кругом прикладных задач в физике, экономике, биологии и в других науках. В рамках теории уравнений математической физики как дисциплины, читаемой в магистратуре, большой интерес представляют уравнения смешанного типа. Такие уравнения могут быть использованы при описании различных физических процессов от пространственных околозвуковых течений идеального политропного газа, гидродинамических течений с переходом через скорость звука до бесконечно малых изгибаний поверхностей.
Постановка задачи
В настоящей работе исследуется краевая задача типа Франкля для уравнений параболо-гиперболического типа
где n, m, n0, m0 = const > 0, в области D0 ограниченной при x > 0, у > 0 отрезками AB, BB0, B0A0, A0A прямых у = 0, x = 1, у = 1, x = 0. Di(D2) соответственно при x < 0, у > 0 (x > 0, у < 0) ограниченной отрезком прямой
уравнения (1), где
2p0 = m0 + 2, 2p = m + 2, 2q = n + 2, C(r0,0) G AB, 0 < r0 < 1.
Введем обозначения:
Ii = { (x,у) : x = 0, 0 < у < 1} , /2 = { (x,у) : 0 < x < Г0 , у = 0 },
D = D0 U D1 U D2, D0 = D n{x > 0}П{у > 0} , D1 = D n{x < 0}П{у > 0} ,
D2 = D П {у < 0} П {x > 0} , D* = D0 U D11 U D21 U /1 U /2, D21 = D2 n jx - 1 (-y)q > 0, J,
D22 = D2 n jx - 1 ( y)q < 0 j , D11 = D1 n jу - p( x)p > 0 j , D12 = D1 n jу - p (-x)p < 0 BC = {(x,у) : 0 < x < Г0, у = 0} , A1 = D0 U D11 U /1, Л2 = D0 U D21 U /2,
ymouxx — xnouy при x > 0, y > 0, Uxx — (—x)mUyy при x < 0, y > 0, (—y)nUxx — Uyy при x > 0, y < 0,
(1)
AC1 = I(x,y) : —1 < x < 0, y = 0}, (AC2 = |(x,y) : x = 0, — 1 < y < 0})
оси Oy (Ox) и с характеристикой
n0 +1 n m
причем
і
Через точку £2 (Еі) обозначим точку пересечения характеристик у = —(дх)д и х +
1 (—у)д = го, ( у = — (рх)р и у + 1 (—х)р = 1).
Задача TF0. Требуется определить функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:
1) и(х,у) є С(Я) ПСх2у1(^о) ПС2^- иА/), (7 = 1, 2);
2) и(х, у) удовлетворяет уравнению (1) в областях О0 и Л1;, £27-, (7 = 1, 2);
3) их(0,у) є С(А1), причем мх(+0,у) может иметь особенность порядка меньше (т0 + 1)(1 — а0) при у ^ 0 и ограничена при у ^ 1;
4) у-т0му є С(Л0 и/2) и му є С(Л2 и/2), причем на АС выполняется условие скле-
ивания:
Ііт у-т0му(х,у) = Ііт му(х,у), (х,0) є /2; (3)
у^+0 у^—0
5) м(х, у) удовлетворяет краевым условиям:
и(ху)|вв0 = ^у^ 0 < у < 1, (4)
u(x,y) |cb = 9l(x), ro < x < 1, (5)
r0
u(xy)|CE2 = 02(x), у < x < ro, (6)
u(x,y)|A0E1 = ^lCy^ 1 < У < 1, (7)
u(—h2x, 0) = A1u(+x,0), 0 < x < r0, h2 = q1/q, (В)
u(0, —h1y) = A2u(0,y), 0 < y < 1, h1 = p1/p, (9)
где Xj = const, (Aj = l) и 0o(y), ^1(x), 02(x), ^1(y) - заданные функции, причем
Pl(ro) = 02 (ro), 0o(o) = Фі(1), (10)
Ф0(У) є C [0,1] n C1(0,1), pl(x) є C [ro, 1] n C2(ro, 1), (11)
(12)
02 (x) є C3 ro, ro , ^l(y) є C3
1, 1 2’
Основное функциональное соотношение
Для доказательства единственности и существования решения задачи ТР0 важную роль играют функциональные соотношения между тг-(?) и уг() принесенные на // из Д- (г = 0,1,2).
Известно, что решение задачи Коши для уравнения (1) в области Д- удовлетворяющее условиям
и(х, —0) = т—(х), 0 < х < г0иу(х, —0) = V-(х), 0 < х < г0, (13)
соответственно имеет вид [1]
ro
u(x, y) = 7lrJ—2а/ т— 0
x + q (—y)q ■ 0 (ro — г)а-1га-1dz—
1
4
n + 2
1—2а
ro
y /v—
О
x + q (—y)q ■ 0 (ro — z) аz аdz
Г(2а) 1 ( 4
где Yl = . . , 72 = -
2а
Г(1 — 2а)
Г2(а)’ ,2~2\ n + 2) Г2(1 — а).
В силу (6) из (14), получим
02 ( f+O ^ = ^о) (ro — Х)1—2ав—« (ro — *)а—^-(x) —
2
ro
(14)
272Г(1 — а)
DV(ro—x) 0v2 Cxb
ro
где Даха[■]- интегральный оператор дробного порядка (а > 0) [2].
(15)
Применяя дифференциальные операторы А1—а к обеим частям равенства (15) с
учетом
Д1—'* (Г0 — х)1—2“Д—0е (Г0 — хГ—Ч(х) = (Г0 — х)—“Д-2“ т—(х),
д1—0 а да—1 (г0 — х)—а (х) = (г0 — х)—а^—(х)
получим функциональное соотношение между т—(х)и у—(х) на /2 из
v2 (x) = 7 а Dl—0 '2ат2 (x) — 2r02p0(1 —а) Dl— а 02 (x), 0 < x < r0, (16)
71Г(а) Dl—2ат
72Г(1 — а)Dxro
где 02 (x) = 02
x + ro 2
Точно также как выше, используя решение задачи Коши, удовлетворяющее условиям и(—0,у) = т— (у), 0 < у < 1 и мх(—0,у) = У— (у), 0 < у < 1, для уравнения (1) в
области Дп дается формулой:
u(x,у) = 73у Т— у + p(—x)p■ (2z— 1) (1 — z)e 1ze 1dz+ 0
+74
4
m+2
1—2в
xv
У + 1 ( —x)p ■ (2z— 1) (1 —z) в z в dz
Г(2в) 1 / 4
где 73 = т^т, 74 =
2в
_ Г(1 —2в)
Г2(в)’ 14 2\т + 2) Г2(1 — в).
В силу (7) из (17), получим
¥{ ^ = 273Г(в )(1 —у)1-2в В—в (1 —у)в - 1т— (у)—
1
1
—2Г4Г(1 — в )Д1 1(1 — у)—вуГ (у), (18)
где Д—1в [■]- интегральный оператор дробного порядка (в > 0) [2].
Применяя дифференциальные операторы в к обеим частям равенства (18) с учетом
в (1—у)1—2в Д—1в (1—у)в—1т— (у) = (1 — у)—в 2вт— (у),
в Д?— 1(1—у)—(у) = (1 —у)—(у),
получим функциональное соотношение между т— (у)и У—(у) на /1 из Д п:
м = щ—*)2?т— (у)—5^4^дг?ш, 0 < у <1, (19)
~ (\ Су +1
где г/А1 (у) = ^1
2
Решение первой краевой задачи с условиями (4),
т+(у) = м(+0,у), 0 < у < 1, т2+(х) = и(х, +0), 0 < х < 1,
здесь
т2+(х) = { <хх-|Г0; , *2+Ы = (20)
для уравнения (1) в области Д единственно и представимо в виде [3, с. 4-13]:
1
2+(£ )£ И0У
u(x, y) = J G(x, %, y; Oo)t2+(% )% no d% +
д У
+y—mo G(1)(x, y —t; oo)^+(t )tmo dt+
0
+у—т00(2)(х,у — ?;«,)<&)?т0^, (21)
0
здесь
1
0(1)(х,у;«0) = (1 — «0)2(1—“0)х— 101 (х,£,у;«0) 1 — (1 — а0)2(1—а0)^ ,
0
1
0(2)(х, у; а0) = (1 — а0)2(1—а0)х — J 01(х, £, у; а0)(1 — а0)2(1—а0 ^ П0 ^ £,
0
а 01(х, ^,у; а0) -функция Грина первой краевой задачи для уравнения (1) в области Д1 имеет вид
Як2ут0+1
^ — -
Gl(x,%,y;«с) = £e 4(mo + 1)(1 — Oo)Vx%■
k=o
J1—a0 ^Xk(1 — a0) (Vx) 1 ao ^ J1—ao ^Xk(1 — a0) (У?) a ^
J2—a0 Xk
( - 1)k(z)
z \ V+2k
Т(г) = Е ------т—к-----ч— функция Бесселя первого рода, Як - положительные кор-
к=0 к!Г(к + V + 1)
ни уравнения /1—а0(Як) = 0,к = 0, 1, 2,....
Дифференцируя (21) по х и переходя к пределу при х — 0, получим функциональное соотношение между т+(у)и у+ (у), принесенное на /1 из области Д:
д у
У+(у) = у^"0г(у —()т+(<)<™>А + ^ (у, 12+), (22)
0
где
у+ (у) = 11т у—т0Му, (23)
у—+0
р(у,т+) = 1йт ^^/0 1 (х,^,у;00)т+(^)|П0^^ + (24)
+ 11т ^у—т0-д10(2)(х,у — ?;«0)^0?)?т0^ ,
д
г(у —?) = (1 — 00)2а°—111т — 0(1)(х,у — ?; «0) =
х——0 д х
Як2 (ут0+1 — ?т0+1)
= — (1 — «0) — V е — 4(т0 + 1) _____22«0Як 2а°____
( 0) Е Г2 (1 — «0)/?— «0 (Як).
На основании свойств функции Ту(г)функция г(у —?)представима в виде [3, с. 12]:
+ В(у —?),
1 Г ,,mn + 1 мг,+1 1 °0 1
z(y — t ) = — :
Г(1 — ao)
ymo + 1 tmo+1
m0 + 1 m0 + 1
где В(у —?) - непрерывно дифференцируемая функция при у > ?.
Далее из уравнения мхх —хИ0у—т0му = 0 при у — +0 имеем
т"2+ (х) — хи° у2+ (х) = 0,0 < х < 1, (25)
где
[ (х) = 11т у—т0му(х,у), 0 < х < г0,
у 2+(х) = < у—+0 (26)
2 ( ) | д(х) = 11т у т°му(х,у), г0 < х < 1. ()
у— +0
В силу (20) и (26) из (25) получим
т2+(х) — хИ0у+ (х) = 0, 0 < х < г0, (27)
т+(0) = т— (0), т+(г0) = ф! (г0), (28)
и
<р{/(х) — Xй0Д(х) = 0, т.е. Д(х) = Х-П00^(х), Го < X < 1.
Решая задачу (27), (28), получим функциональное соотношение между т+(х) и у+(х), принесенное на /2 из области Б0.
Го
т2+(х) = У 5(х,г)гй0у+(?)^? + /1 (х), 0 < х < г0, (29)
0
здесь
/ х \ Гг(х — г0), 0 < г < х, а(х, г) = ^ Г0 ; < < (30)
\ Г0 (г — Г0), х < г < Г0, 1 7
г (х) = [01(Г0) — т1(0)]х + Т1(0)
1 Г0 .
Далее, в силу замены х ~ х, г ~ гполучим функциональное соотношение между т+(х) и У+(х):
1
т2+(х) = у (5(х, г)у+(г)^г + /Цх), 0 < х < 1, (31)
0
~ 1 И0 + 1 1 1 ± ~ ± ± А.
где 5(х,г) = 2^г и+2 15(х2«,г2«), /’1(х) = /1(х2«), Т2+(х) = т2+(х2?), ^+(г) = у+(г2«), 5(х, г) - определяется из (30).
Единственность решения задачи TFо
Теорема 1. Если выполнены условия (2) и А/ = 1, / = 1,2, то решение задачи ТЕ0 единственно.
При доказательстве единственности решения задачи TFо важную роль играет следующая лемма.
Лемма. Если ф2(х) = ^(у) = 0, то решение м(х,у) задачи ТЕ0 своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области Б* достигает только на СВ и ВВ0 и А и А0.
Доказательство. Доказательство.В силу принципа экстремума для параболических уравнений [3], [4] решение м(х,у) уравнения (1) достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области Д на отрезках АА0 и АВ и ВВ0. Покажем, что решение м(х,у) не достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума в интервале АС и АА0.
Предположим обратное, т.е. пусть в некоторой точке (х0, 0) е АС функция м(х,у) достигает свой положительный максимум (отрицательный минимум). Тогда из (16) при ф2(х) = 0 имеем
Г2 Г(1 — а) V— (х0) = пГ(а )Д—(х0) (32)
Отсюда в силу принципа экстремума для дифференциальных операторов дробного порядка [2] в точке положительного максимума (отрицательного минимума) строго положительно (отрицательно), т.е. Д-2ат— (х0) > 0, (Д-2ат— (х0) < 0).
Следовательно, в силу того, что у1 > 0, у2 > 0 и Г(а) > 0, Г(1 — а) > 0 из (32), получим V—(х0) > 0, (У— (х0) < 0). Отсюда из (3) с учётом (13) получим
v+(xо) > 0, ^+(хо) < 0). (33)
Так как в точке положительного максимума (отрицательного минимума) ?2+(хо) < 0, ^т2+(х0) > 0^, из (25) получим v+(x0) < 0, ^+(х0) > 0), а это неравенство про-
тиворечит неравенству (33).
Таким образом, решение и(х,у) уравнения (1) не может достигать своего положительного максимума и отрицательного минимума в интервале АС.
Точно также доказываем, что функция и(х,у) не достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума в интервале АА0. Предположим обратное. Пусть, в некоторой точке (0,у0) е АА0 функция и(х,у) достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума). Тогда из (19) при 1^1 (у) = 0, с учетом (2) и условия 3) задача ТF0, заключаем, что v+(y0) > 0, (У+(у0) < 0).
Это неравенство противоречит неравенству v+(y0) < 0, (У+(у0) > 0)[см [3],[4]]. Следовательно, решение и(х,у) в интервале ААо не достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума. Таким образом, и(х,у) достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума только на СВ и ВВ0 и А и А0. Лемма доказана. □
Переходим к доказательству теоремы 1.
Доказательство. В силу (8) и с учетом (А/ = 1, / = 1,2) в точке А(0,0) имеем
и(0,0)= 0 (34)
а в точке А0, принимая во внимание (7) при 01 (х) = 0 получим
и(0,1) = 0. (35)
Принимая во внимание (4) и (5) при 00(у) = 0 и 01 (х) = 0 с учетом (34), (35) имеем
и(х, у) = 0 в Б0. (36)
В силу решения задачи Коши-Гурса с условиями
м|С£2 = 0, и|АС = 0, (и|А0£1 = 0, и|АА0 = 0) .
имеем и(х,у) = 0 в Б11 иБ21.
Следовательно,
м(х, у) = 0 в Б*. (37)
В силу (37) с учетом (8) (или (9)) имеем
м|АС2 = 0, и|АЕ2 = 0, (или и|АС1 = 0, и|АЕ1 = 0). (38)
Отсюда и из решения задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области Б/2 (/ =
1,2), с учетом (38) получим
и(х, у) = 0 в Б/2. (39)
В силу (37) и (39) имеем и(х,у) = 0 в Б. Тем самым, решение задачи TFо единственно.
Теорема 1 доказана □
Существование решения задачи TFo
Теорема 2. Если выполнены условия (2), (10), (11), (12), и А/ = 1, то в области В решение задачи ТЕ0 существует.
Доказательство. Доказательство. Исключив т+(х)из соотношений (16) и (28) с учетом (3) и условия 1) задачи TFo получаем интегральное уравнение
Г0
У+(х) = У К1(х,£)У+(£)^£ + Ф(х), 0 < X < г0, (40)
0
где
^(х, 5)= Кц(х, 5)+ К12(х, 5) (41)
5 л ?^1(,-х)2а-1(?- '0)л, (42)
Лх У '0
х
5 '0
^ Л [ 5И° (? - х)2а-1(5 - '0>Л | л [ 5И0 + 1(? - х)2а-1(? - '0)Л //)0Ч
К12(х 5) = Х1 л/ Г0 +Х1 ЗхУ 70 , (43)
'0
Ф(х) = Х1 лхУ ?(? - х)2а 1
(01('0) - Т1 (0)) '0
'0
л?—
-х2 ('0 - х)а ^ / (? - х)а 1(Р2(?)л?, (44)
здесь
21-2«71Г(а) 1
Х1 = 'л, Х2 =
72Г(2а)Г(1 - а)’ Л2 21+«72Г(а)Г(1 - а)'
В силу (2), (10), (11), (12) из (42), (43) и (44), соответственно, получим
|Кп(х,5)|< С1('0 -х)2а, |К12(х,5)|< С2(5 -х)2а-1, |Ф(х)|< Сз('0 -х)2а-1. (45)
Следовательно, из (41) имеем
|*1(х, 5)| < С1('0 - х)2а + С2(5 - х)2а-1 (46)
Таким образом, в силу (45) и (46) заключаем, что интегральное уравнение (40) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода со слабой особенностью, разрешимость которого следует из единственности решения задачи ТFo. Решение уравнения (30) представимо в виде [5]:
'0
у+(х) = У ^1 (х, ?)Ф(?)Л? + Ф(х), (47)
0
и принадлежит классу: V-(х) € С2(0,1), причем V-(х) может иметь особенность порядка меньше 1 - 2а при х ^ '0, а при х ^ 0 ограничено, где Л1(х,?)- резольвента К1(х, ?).
Подставляя (47) в (30) находим
го
т+(х) = У ?и°0(х,?)^(?)Л + Ф(х, т—(0)), 0 < х < г0, (48)
о
где
г°
¥(*) = Ф(?) + 1 Ф(г) Я і (*, г)^г. (49)
о
В силу (10), (11), (12), (44) и с учетом вида функции 0(х,?), Ф(х,т—(0)) из (48) следует, что
т+(х) Є С [0, г0] П С2 (0, г0). (50)
Применяя дифференциальный оператор (1 — у)2в—1 к обеим частям равенства (18)
получим
т— (У) = £rT-fD2f—1■v1-Cy) + (2^y7S^D?l<1 — У)2в"«Л 0 < У £ 1 (51)
Исключив т+ (у) из соотношений (51), (22) с учетом условий 1), 3) задачи ТFo и (2) получаем интегральное уравнение
1
V1+(y) = IК2(у,г^+(г)Лг + f (у), 0 < у < 1, (52)
где
K (vz) = j ^lfoz^ 0 < z < y, (53)
K2(y,z) = ^ K22(y,z), y < z < 1, (53)
d z
*21 (y,z) = ХзУ-ш°± (ymo+l — tmo+l)ao-ltmo(z — t)-2edt+
0
z
+ХзУ-Ш0d f B(y — t)tmo (z — t)-2edt, (54)
0
У
K22(y, z) = ХзУ-Ш0 dy/(ymo+l — tmo+l)ao-ltmo (z — t)-2e dt+ 0 d y
+ХзУ-Ш0B(y — t)tmo(z — t)-2edt, (55)
f (y) = X4y-mo ddyj (ymo+1 — tmo+l)ao-ltmo (1 — t)l-e dLf (z — t)-e (l — z)2e->(z)dzdt+ o t
+Х4У—mdy /Й(У -1)tmo(l -1)l—в| J (z — t)—в(1 — z)2e—V(z)** + F(У, т+),
Г2Г(1 — в)
здесь Хз = woxwom , Х4 =
l
ПГ(в)Г(2вг 2пГ(в)Г(1 - в)'
Исследуем ядро и правую часть интегрального уравнения (52).
С этой целью, заменив ? на уп в (53) получим
г
*21 (у, г) = ХзУ-ш° га0(ш0+1)-2в-1-^*(о) + ХзУ-т0 Л IВ (у - фШ0 (г - ?)-2в Л?, (57)
а о ау „/
где
K (о) = о
= ^oCmo + l) / nmo
n mo Жоп) Жп )dn,
(58)
y
ЖоП ) = (1 - оП)-, Жп ) = (1 - П Ш0+1)+° 1, о = -,
+ + г
Воспользовавшись формулами [6, с. 630(6), с. 631(4)], имеем
fl(s) о Г(1 — 2в)Г
s + 1 — 2в
f2(s) о
l
-Г(«ь)Г
mo +1
Далее, применив формулу [7, с. 21(1.88)]:
mo+l
mo + 1
+ а0
s < 0,
s < 0,
^ J ^вfl(x^)f2(^)d£ о fl*(s + а)f|(l — s — а + в),
z1, z > 0,
0, z < 0.
(59)
(60)
в (59) с учетом (59), (60) получим
K(о) о
l
mo + 1
Г(а0)Г(1 — 2в )Г
Ob(mo + 1)+ s, mb+l (1 + mo — s) — а0 «b(m0 + t) — 2в + t+ s, mo+l(l + mo — s)
— Ob <
1 + mo
< 1 — Oo.
Отсюда учитывая [6. стр.628 (8.3.1)], находим
K(о) о
l
Г(оо)Г(1 — 2в )H022
mo +1
(l — аo(mo + t), —t) , (ao, mOTl (2в — °b(mo + 1), —t) , motl
где #02 - функция Фокса [6].
Подставляя (61) в (57) и используя формулу [6. стр.629(22)], получим
dK (о)
= Г(ао)Г(1 — 2в) о
(mo + 1)
.1H
оз
зз
(0, (l — °b(mo +1), — t) , (^ oo mo^+l
(2в — ao(mo + —т) , (0, mo+l), (1, т)
(61)
(62)
l
У
оо
s
s
Следовательно, в силу формулы [6. стр.629(22)]с учетом (61) из (57) имеем
A(ki,ai), A(k2,a2), A(k3,аз),
Хз (т^\ zаo(mo+1)-2в k2в—ао+1
K2l(y,г) = V^ Г(^)Г(1 -2в)-------------------Gmn ( °k
A(11, bl), Afe b2), Afe b3^ ' +
1
+X3y-mo zmo+1-2^ B'(y — zM )M mo (1 — M )-2в d M, (63)
где Gm| - функция Мейера [6], а k - знаменатель числа m 1+1, n = /5 = g = 2k + 2k ■
_1 "0
mo+l,m = 0.
l k-1
A(k2, ^2) =
A(kl, al) = 0, k,........., k ’
1 — аь (mo + 1) 2 — ао (mo + 1) 1 — ао (mo + 1) + k — 1
1 rk , 1 1 k , , izKtk
A(1l, bl) =
mo + 1 шо + 1 mo + 1
, , ao ao +1 a +k — 1
A(k3,аз) = T, nr,..............., k ,
2в — ао(шо + 1) 2в — ао(шо + 1) + 1 2в — ао(шо + 1) + k — 1
1 rk , 1, k , , 1, k
Шо + 1 Шо + 1 Шо + 1
A(l2,62)= о, 1,......,bi.,, A(l3,6з) = 1, 2,..,i+Ь!.
k k k k k
Используя оценки функция Мейера [6, с. 629(32)], [7, с. 19-20(1.80)], с учетом m + n — g = о ( у нас m = о) и = ао — 2в — 1 < о, из (63) имеем
/ . . \ ао—2в — 1
|K21 (y, z)|< С4 (y — zj , о < z < y. (64)
Точно так же оценивая *22(y,z), имеем
/ ; , \ ао—2в — 1
|K22(y,z)|< С5 (z — yj , y < z < 1. (65)
Принимая во внимание (63) и (64), с учетом (55) и (56) из (53) имеем
K (y, z)|< < С4 V — zk >:о—2в — 1 . о<< z < *
С5 (zk — yk) о , y < z < 1.
Следовательно,
ао-2в -1
|K2(y, z)| < const
yk — zk
(66)
В силу (11), (51) из (26) следует, что £ (у, т+) € С2(0,1) причем функция £ (у, т+) может иметь особенность порядка меньше 1 - а0 при у ^ 0, а при у ^ 1 ограничена
[4].
Отсюда учитывая (2), (11) из (56) имеем
|/(у)|< Сбу(т0+1)(а°-1). (67)
Следовательно, /(у) € С2(0,1), причем /(у) может иметь особенность порядка меньше (1 - а0)(т0 + 1) при у ^ 0, а при у ^ 1 ограничена.
Таким образом, из (65) с учетом (2) заключаем, что интегральное уравнение (52) является интегральным уравнением Фредгольма 2-рода со слабой особенностью.
Безусловная и однозначная разрешимость интегрального уравнения (52) (в силу эквивалентности его задаче ТFo) следует из единственности решения задачи ТFo
[5].
После нахождения V1±(y) [У±(х)] из (52) [(40)] находим т±(у) [т^(х)] из (51) [30] в классе т±(у) € ОДС2^) [т±(х) € С(/2)С2(/2)].
Таким образом, решение задачи ТFo в области В0 находится как решение первой краевой задачи (21), а в областях Вц, В12, Дь В22-как решение задачи Коши для уравнения (1). Следовательно, задача ТF0 однозначно разрешима. Теорема 2 доказана. □
Библиографический список
1. Исломов Б., Очилова Н.К. О краевой задаче для уравнения параболо-гиперболического типа с двумя линиями и различными порядками вырождения // Узбекский математический журнал. 2005. № 3. С. 42-53.
2. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М. Наука. 1985. 304 с.
3. Терсенов С.А. Первая краевая задача для уравнения параболического типа сменяющимся направлением времени. Новосибирск. 1978. 53 с.
4. Акбарова С.Х. Краевые задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырождения: дис. канд. физ.-мат. наук. Ташкент: Им. АН РУз. 1995. 120 с.
5. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1947. 304 с.
6. Прудников А.П., Брычков Ю.А, Марычев О.И. Интегралы и ряды. Доп. главы. - М.: Наука. 1986. 800 с.
7. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Уравнения смешанного типа с двумя линями вырождения. Ташкент. МУМТОЗ СУЗ. 2009. 264 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 03.05.2014
