УДК 517.956 М.Е. Лернер
СУЩЕСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для гиперболического нелинейного уравнения общего вида ставится краевая задача в характеристическом треугольнике лишь с нелокальными краевыми условиями на всей его границе. Разрешимость задачи редуцируется к разрешимости системы трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Для волнового уравнения дается формула решения этой задачи, а для линейного уравнения без производных первого порядка, в частности для телеграфного уравнения, показывается ее разрешимость. Для гиперболического линейного однородного уравнения второго порядка с исчезающим инвариантом Римана в характеристическом квадрате ставится краевая задача с нелокальными краевыми условиями на его сторонах и заданием значения искомой функции в одной из его вершин. Показывается однозначная ее разрешимость.
1. Пусть А - открытый треугольник с вершинами в точках 0(0,0), А(0,1), 5(1,0) и точка Q(хД-х) е АВ, Q1 (х,0) и Q2 (0,1 - х) - ее проекция соответственно на 0В и 0А, 0 < х < 1. Рассмотрим в области А уравнения
иху = Я(х, У, и, р, д), и = и(х, у), р = их (х, у), д = иу (х, у), (1)
иху = ./ к У), /(x, У)е С0 (а) , (2)
иху = f (х, у) - а(х, уУ)их - ь(х, у)иу - с(х, у)и , (3)
где а(х,у),Ь(х,у)е С1 (а+ с(х,у)е С0 (А).
В качестве продолжения постановки и исследования краевых задач, содержащих лишь нелокальные краевые условия [1-3], рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Найти функцию и(х, у) со свойствами:
1) и(х,у)е С0(А)пС1 (А),иху е С0(А);
2) и(х, у) такова, что я (х, у, и, р, д )е С0 (АхЛ), Л = (-¥< и <+¥+х(-¥< р <+¥+х
X (- ¥ < д < +¥+ ;
3) и(х,1 - х) - и(х,0) = у1 (х), 0 < х < 1,у1 (х)е С1 (0 < х < 1);
4) и(1 -У,у)-и(0,у) = У2(у), 0<у < 1,У2(у)е С1 (0<у < 1),У:(1) = У2(1) = 0 .
Т е о р е м а 1. Для уравнения (2) решение задачи 1 единственно и определяется формулой
х у х 1-х 1-у у
и( у + = у!(1 - у + + у 2(1 - х) + И f ( л f ( , t - | | f( t)<1эЖ . (4)
0 0 0 0 0 0
Т е о р е м а 2. Пусть функция и(х, у) является решением системы (5) - (7) интегро-дифференциальных уравнений
х у
и(х, у) = У! (1 - у) + У2 (1 - х) + ЦЯ(, ( и(, t), иб. ( t), и( ( t) -
0 0
х 1-х 1-у у
IIЯ ( Д;и^, t),и6, ( t),и( ( t+dsdt - IIЯ ( t; и( Д), и5 ( Д), иг ( Д ))dsdt, (5)
0 0 0 0
у
их (х, у) = -у 2 (1 - х) + I я (х, (; и(х, t + их (х, t+ и((х, t + + -
0
1-х х
- I я(х, ( и(х, t), их (х, t), и (х, t)— + I я(1 - х, ( их (1 - х, t), и(1 - х, t) — , (6)
0
0
uy (x y) = -y i(1 - y)+J g ( y; u(s y+ us (s, y+ uy (s, y) +s
+
+
y 1-y
J g (l - y,(; u(1 - y, t), Uy (1 - y, t), ut (1 - y, t ) +t - J g (s, y; u (s, y), us (s, y), Uy (s, y) +s . (7)
Тогда функция и(х, у) является решением задачи 1 для уравнения (1).
В справедливости теорем 1 и 2 можно убедиться непосредственно, пользуясь формулами (8), (9):
г х 1-х Л / 1-х х
II г^, Д ^|dsdt =! г (х, Д — -I г (,1 - х — ; (8)
JX
\
y
1-y
= -J r(1 - y, t)dt + J r(s, y+ .
(9)
Т е о р е м а 3. Для телеграфного уравнения
и его обобщения
Xy
Xy
+ ku = f (x, y), k = const, f (x, y)e C0 (a)
+ C(x, y)u = f (x, y), C(x, y)e C0 (A), f (x, y)e C0 (a)
решение задачи 1 существует и единственно.
Доказательство следует из соотношения (3) для указанных уравнений и метода последовательных приближений (см. [4], с. 211-216).
II. Пусть V - открытый квадрат с вершинами О(0,0), А(0,1), В(1,1), С(1,0). Рассмотрим в V уравнение (3) при f (x, y) ° 0, т. е. уравнение
Lu = uxy + a(x, y )ux + b(x, y )uy + c(x, y )u = 0, (10)
где a(x,y),b(x,y)e C1 (v+c(x,y)e C0 (v).
Задача 2. Найти функцию u(x, y) со свойствами:
1) Lu ° 0 в V ;
2) u e C0 (V)n C1 (V), uxy e C0(V);
3) u(x,1+ - u(x,0+ = y(x), 0 < x < 1, y(x)e C1 (0 < x < 1+;
4) u(1, y) - u(0, y) = j(y), 0 < y < 1, j(y)e C1 (0 < y < 1+, y(1+ = y(0+ = j(1+ = j(0+ = 0;
5) u(0,0+ = u0 = const.
Т е о р е м а 4. Решение задачи 2 существует и единственно, если
h(x, y) = Qx (x, y) + a(x, y)b(x, y)- c(x, y)° 0 в V ;
1 1
Ja(x, t +t Ф 0, 0 < x < 1; Jb(t, y)dt Ф 0, 0 < y < 1.
(11)
(12)
Доказательство. Пусть t(x) = u(x,1+, t (x)e C1, 0 < x < 1; n(y) = uy (0,y), n(y)e C0 (0 < y < 1+.
Тогда функцию u(x, y) в V можно представить по формуле (1.27) [5]:
u(x, y ) = N (x, y)
:"(x) + J N- (x, t +P(x, t)n (t)dt
(13)
где
N(x, y) = exp-j - Ja(x, t +t k P(x, y) = exp<j- Jb(t, y)dt I.
Отсюда, пользуясь нелокальными условиями 3) и 4) и условием 5) для нахождения функций т (х) и V (у), получим систему интегральных уравнений (14), (15):
т (х +=1 *(0-Д Д п (++Ту5) • <14)
37
0
0
0
0
0
0
0
0
0
nW+T^Hr^Mdt=4^0 mVL' (15)
r(У, У ) оУ r (y, у) r (y, у)
где
r(у, t) = N(1, у)N-1 (1, t)P(1, t) - N(0, у)N-1 (0, t)P(0, t); (16)
г(у, у) = ехР|}Ъ( У^| 1; т(У) = У)“ Н( У)• (17)
В силу свойств функций а(х, у), Ъ(х, у) и с(х, у) уравнение (15) является интегральным уравнением Вольтера второго рода и, следовательно, однозначно разрешимо, причем
V (у) е С ° [°,1] • Отсюда из (14) следует, что функция т(х) однозначно определена и
т(х)е С1 [°,1] • Из сказанного и (13) следует теорема 4.
Замечание 1. Здесь в отличие от [2] удалось доказать разрешимость задачи 2 для линейного гиперболического уравнения с младшими членами. Легко видеть, что к тому же результату пришли, если бы вместо квадрата V был взят прямоугольник с любыми размерами.
III. Пусть область D есть разность двух квадратов D0 = O0 A0B0C0 и D1 = OABC ; O0 (0;0), A0 (0;3), B0 (3;3), C(3;0); O(l;l), A(l;2), B(2;2), C(2;l). Пусть также O1 и C1 - проекции точек О и С на O0C0; A1 и B1 - проекции точек А и В на A0B0; O2 и A2 - проекции точек О и А на O0A0;
C2 и B2 - проекции точек С и В на C0 B0. Рассмотрим прямоугольники V1 = OCC1O1,
V 2 = BCC2 B2, V 3 = ABB1A1, V 4 = OAA2 O2.
В области D рассмотрим уравнение(10) при a(x,у),b(x,у)є C1 (d), c(x,у)є C0 (d) .
Задача 3. Найти функцию u(x, у) со свойствами:
1) Lu ° 0 в D \ s, s = OO1 u CC1 u A1A u B1B u B2 B u C2 C u A2 A u O2 O;
2) uє C0(D)n C1 (Vi )nC1 (V2 )n C1 (Vз )n C1 (V4)
uу є C0 [D \ (AlOl u BlCl u A2B2 u O2C2 u)];
3) u(l,0) = u0 = const;
4) u(x,l) — u(x,0) = y1 (x), 1 <x<2, y1 (x)є C1 (l< x<2),y1 (l) = y1 (2) = 0;
5) u(2,у)-u(1,у) = jl(у),0йуй 1,jl(у)єC1 (0йуйl);4і(0) = jl(1) = 0;
6) u(x,2)-u(x,l) = y2(x),2йxй3,y2(x)є C1 (2йxй3);y2(2) = y2(з) = 0;
7) u(3,у)-u(2,у)=42(у),1 йуй2,42(у)єC1 (1 йуй2);4(1) = 42(2) =0;
8) u(x,3) - u(x,2) = y3 (x),1 й x й 2,y3 (x)є C1 (l й x й 2);y3 (l) = y3 (2) = 0;
9) u(2,у)-u(l,у) = 4з(у),2йу й3,43(у)є C1 (2йу й3); j(2) = 43(з) = 0;
10) u(x,2)-u(x,l) = y4(x),0йxй 1,y4(x)є C1 (0й xй l);y4(0) = y4(l) = 0;
11) u(1, У) - u(0, У) = 44 (У), 1 й У й 2,44 (У)є C1 (1 й У й 2); 44(1) = 44(2) = 0 •
Т е о р е м а 5. Решение задачи 3 существует и единственно, если:
h(x,у) = ax(x,у) + a(x,у)b(x,у)-c(x,у)°0 в Vi uV2 uV3 uV4 ; (18)
1 2
Ja(x, t)dt) 0, 1 й x й 2; Jb(t, у)dt ^ 0,0 й у й 1; (19)
0 1
2 3
Ja(x, t)dt) 0, 2 й x й 3; Jb(t, у)dt ^ 0,1 й у й 2; (20)
1 2
3 2
Ja(x, t)dt) 0, 1 й x й 2; Jb(t, у)dt Ф 0,2 й у й 3; (21)
2 1
2 1
Ja(x, t)dt) 0, 0 й x й 1; Jb(t, у)dt Ф 0,1 й у й 2 . (22)
0
Доказательство.
1. Пусть и1 (х,у) (/' = 1,4) - следы искомой функции и(х, у) в Vг • Тогда функция иг (х, у) существует и единственна по теореме 4 в силу соответственно условий (19) - (22) доказываемой теоремы и свойств инварианта Римана к(х, у) относительно линейных преобразований переменных [4].
Действительно, рассмотрим, например, функцию и1 (х, у). Заменой переменных х = х/ +1, у = у' квадрат V1 преобразуется в квадрат V = (° < х < 1)х (° < у < 1), условия 3) - 5)задачи 3 -соответственно в условия 5), 3) и 4) задачи 2. Отсюда по теореме 4 следует существование и единственность функции и1 (х, у). Аналогично доказывается существование и единственность
функций иг (х, у)( = 2 — 4) с учетом и(1,°) = и2 (2,1) = и3 (1,2) = и4 (°,1) = и° в силу свойств функций У г (х) и 41 (у)Л = 1,4 .
2. Функция и12 (х, у) - след искомой функции и(х, у) в квадрате V12 = (2 < х < 3)х (° < у < 1) -существует и единственна как решение в нем задачи Гурса с данными:
1) и12 (2,у) = их (2,у),° < у < 1;
2) и12 (х,1) = и 2 (х,1), 2 < х < 3 ;
3) и1 (2,1) = и 2 (2,1) = и °.
Аналогично находятся следы искомой функции и(х, у) в остальных «угловых» - квадратах области В, чем и завершается доказательство теоремы 5.
Замечание 2. Доказанная теорема указывает на возможность постановки разрешимой существенно нелокальной краевой задачи в двусвязной области, причем с нелокальными краевыми условиями лишь на части границы области.
Замечание 3. Если к условиям задачи 3 добавить требование Ьи ° °, (1 < х < 2)х (1 < у < 2)
и и е С0 (в° ), то получится существенно нелокальная краевая задача в односвязной области с нелокальными условиями на части границы области и расположенной внутри него замкнутой линии - сторонах квадрата.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лернер М.Е. Две существенно нелокальные краевые задачи для уравнений эллиптического типа // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. восьмой межвуз. науч. конференции. Ч. 3. Самара: СамГТУ, ИА РФ, 1998. С. 63-66.
2. Лернер М.Е. Существенно нелокальные краевые задачи для уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 1999. Вып. 7.С. 178-18°.
3. Лернер М.Е. Репин О.А. Существенно нелокальная краевая задача для уравнений с частными производными // Математические заметки. 2°°°. Т. 67. Вып. 3. С. 478-48°.
4. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных // М.: ИЛ, 1957. 443 с.
5. Лернер М.Е. Принципы максимума и краевые задачи для гиперболических уравнений, систем уравнений и уравнений смешанного типа в неклассических областях. Самара: СамГТУ, 2°°1. 193 с.
6. Митин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1959. 232 с.