Об одной задаче для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с краевыми условиями 3-го рода на границе параболической области

Дзарахохов Азамат Валерианович

УДК 517.946

об одной задаче для нагруженного уравнения

гиперболо-параболического типа с краевыми условиями 3-го рода на границе параболической области

Горский государственный аграрный университет, 362040, г. Владикавказ, ул. Кирова, 37, ggau @osetia. ru

Mountain State Agrarian University, 362040, Vladikavkaz, Kirova st., 37, ggau @osetia. ru

Доказана однозначная разрешимость локальной краевой задачи для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка. Опираясь на свойства функции Грина краевой задачи относительно следа искомого решения, задача эквивалентно редуцирована к системе алгебраических уравнений, которая однозначно разрешима.

Ключевые слова: локально-краевая задача, уравнение гиперболо-параболического типа, нагруженное уравнение, регулярное решение, функция Грина, уравнение Абеля, интегральное уравнение Фредгольма.

The present paper is devoted to proving single — valued solvability of the local boundary problem for loaded hyperbolo — parabolic equation of the second order. On the basis of the properties of Green function of boundary problem concerning the trace of required solution, the problem is equivalently reduced to the system of algebraic equations, which is uniquely solvable.

Keywords: local edge sum, equation of hyperbolo-parabolical type, loaded equation, regular decision, Green function / influence function, Abel equation, Fredholm integral equation.

Рассматривается уравнение

m g >

uy ~uxx + ux +А)И+ I >->0,

0 =

j 1 .-1. 1

(1)

Wxx+uyy+ay uy> ~ — <a<0,y<0

в конечной односвязной области О.. ограниченной отрезками ААо, ВВ0 и АоВо прямых х=0, х=1 и у = />. расположенных в полуплоскости у > 0, и характери-

2 з 2 3

стиками АС\х--^у^ = 0, ВС:х + —^у^ = 1.

Полагаем, что ху-= \,т - фиксированные точки из интервала ] {)<х<1 , причем для определенности будем считать, что 0 < х1 <:... < хт < 1.

Задача. Найти функцию и у обладающую свойствами: 1) и^у^С^ ; 2) и^,у -регулярное

решение уравнения (1) в Q] пй2; 3) на линии у = 0 выполняются условия склеивания и С-+"3= " С--хе J, lim uv= lim e J ; 4) U удов-

y-> 0+ r y—>0- y

летворяет краевым условиям:

Id du ■

ox

Id du

ya2 — + ß2u

ox

x=0 >

x—1

= <Plil.

\AC

(2)

(3)

где (ру,(р2,ц/ - заданные гладкие функции, причем 2 2

а^ + /4 ^ 0. к = 1.2. и выполнены обычные условия согласования.

Аналог задачи Коши. Найти решение и^,у

уравнения (1) при >><0 из класса г^\С2 02

удовлетворяющее условиям:

Нт (4)

у—»0-

где и V С - заданные функции, причем г ^ не-прерьшна вместе со своими производными 2-го порядка; V ^ - до 1-го порядка в областях их определения. Решение задачи (1), (4) при у < 0 имеет вид

— >

2

\

(5)

где

кх =-

ЛЫ г _ 2.1

А'

+ 1

5 + 2« ^ 2а-1 Удовлетворяя (5) краевому условию (3), получим

У

+ ГтХ

(6)

гз/2 — 2<+.:

гдег3=г21-1 , ß2 =——

В равенстве (6) сделаем подстановку 2xt = z , а затем х заменим на х/2 . Будем иметь

dz = ц/А У

Ч =

Оо

ßi

Обращая (9), как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно V С . и учитывая, что щ 0, получим

-о^ом

d<¡¡

О

(10)

где /Г7 =

я-

Легко заметить, что . Пере-

ходя к пределу в уравнении (1) при у —> 0 +, получаем функциональное соотношение между г ^ и I' С . принесенное из параболической части О] на линию у = 0 в виде

г'Ог'ОкО^О X Я.тС, 3=0. (11)

7=1

Исключая из (10) и (11), с учетом граничных условий (2), получим двуточечную краевую задачу для обыкновенного нагруженного интегро -дифференциального уравнения

г*о о vо /с «1 г'одго й (12)

«2 г' О Р2Т О

+ г4х

-А

(7)

о

^2 Г 3

где кА =—^ -кх U

Pi

1 -fl2 I х

Обращая (7) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно г ( , получим [1]

■о о Xß0 dVß 0 X-t? >v i

dx

У

о

'•dt'Ai-^i+i

dt;

(8)

где а"5 = ■

К2 sin ß07T ( 4

кхп 3

\ßl

щтг ах о V 2)

После несложных преобразований из (8) окончательно получим функциональное соотношение между г ^ и V С . принесенное из гиперболической области С12 на линию у = 0 в виде

-л:6х 3 г*

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

oí

(9)

где

где f4j=P{;j-i

о i-^y2^ j-i

- i ЛЛ~,

Имеет место

Теорема. Задача (12) имеет единственное регулярное решение тогда и только тогда, когда

m á, i. ? > >

I ¿y tVO $1а2 +/?l/?2>nA0 +Л0 А -«1^2 ^OsA0

+ 2Л0 + 2Pi ^2Л0 COS Со (- Xj Ргsin Со (" xj 3 х exp^- xL j _ 4д0 xL—j x

: ItjAq COsAgXy - sin AqX; +12

: Co Cl«2 +/ei/?2^inA0 +Л0 " «lA 3osA0 > (13)

t

где Л0 •

Действительно, задача (12) заменой

С > ^j-kxx + k2

(14)

где

1 ^Д-Сг+^г^Г 2 «lA-Ca+Ä^i

приводится к виду

(15)

3

о

x

7

о

x

где Aj =Aq + -,

Если ввести обозначения Aj 2 di.

1"> m ж

J=1

I

f _a 4-x_ \

£ 3

+ *-7Í"

(17)

g€= €iX+&2>ptß 2-

a ¿f-x

Известно, что функция Грина задачи (15), (16) для оператора в левой части равенства (15) имеет вид [2]

^jAg COsAqÍ - Р\ sin K\t ^

Л1^1«2 + P1P2 jin Ai - Л2 Ъфг-Ааэ jCosAi

%Í2A\ COS\- X + y?2 SÍn С- x3-1 >

Al + P1P2 Jm Л1 - Л1 - P\a2 3osAl

0 < / < x,

^Aj cosAjX - Д sin Ajx^

A0^l«2 + A/?2 — P\Cl2 jJosA

A0 + Jin Ag - Aq <jfiy02 - A«2 3osA1

X</<1,

если щ, Д, «2, Р2 ^ 0 •

Пока правую часть (15) будем считать известной. Тогда решение задачи (14), (15) можем записать в виде

0 о

m j \ -

- И ^jZKj ¡pi¡,t, Ajg 2 dt. 7=1 0

где

¿CO

(18)

a x 3-, 2

£

gcoj

0

1+2^1

Считая снова правую часть равенства (18) известной, обращая его, как интегральное уравнение Фред-гольма второго рода, после несложных преобразований находим

х ¡—1

1 т \ ]

хХУ 1 иХ^^-ъл^Х]}рХ,^ 2 ^, (19)

О 7=1 О

где

за-

0

писать в виде

zhj-qXjL Xjz\j е,2

(20)

j=1

Из (20) при x = xj, j = \,m , имеем систему алгебраических уравнений z ¿J =1,т :

7—1

/ = 1, /и,

(21)

Таким образом, разрешимость задачи (15), (16) эквивалентно редуцирована к разрешимости системы уравнений (21).

Однозначная разрешимость системы уравнений (21) при выполнении условия (13) доказывается аналогично, как в [2].

Подставляя в (14) и (17) значения г^ и г(7.

находим решение т (¿^ задачи (12).

После определения функции г ^ _ получаем вспомогательную задачу: найти регулярное в области решение иХу уравнения (1) при >>>0 из класса С ^ , удовлетворяющее начальному условию

(22)

>

и\ „ = г ( ,. х&З

\у=0 ^

и граничным условиям (2).

Однозначная разрешимость задачи (1), (2), (22) доказывается аналогичным образом, как в работах [2-4].

В области С12 решение задачи .!// можно найти как решение задачи Коши-Гурса (22), (8).

Литература

1. Гурса Э. Курс математического анализа. М., 1934. Т. 3. Ч. 2.

2. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, 1979.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Елеев В.А. Краевые задачи для нахождения нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журн. 1995. Т. 47. № 12. С. 16391652.

t

0

2

X

0

X

4. Играшев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Краевые задачи для дифференциальных

уравнений и их приложения. Ташкент, 1976. С. 1727.

Поступила в редакцию_77 августа 2007 г.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Дзарахохов Азамат Валерианович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Дзарахохов Азамат Валерианович

On the problem for loaded hyperbolo-parabolic equation with boundary conditions of the third kind on the boundary of the parabolic