Об одной модификации аналога формулы Неваи для синк-приближений непрерывных функций на отрезке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.85

А. Ю. Трынин

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ АНАЛОГА ФОРМУЛЫ НЕВАИ ДЛЯ СИНК-ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКЕ

В работе [1] установлена равноменрная внутри интервала (0, п) сходимость в соотношении, аналогичном формуле Неваи для оператора сипк-аппроксимаций вида

^ , . sin (nx — кп) /кп\ (—1)k sin nx /кп\

n ' nx — кп \ n J nx — кп V n /

k=0 k=0

Настоящая работа посвящена получению формул, аналогичных формуле Неваи. Благодаря специфике синк-функций ^ несложно добиться симметрии в представлении главной части погрешности синк-аппроксимации, перейдя к конечным разностям второго порядка.

Предложение 1. Если функция f непрерывна на отрезке [0,п]; то для всех x Е [0,п] имеют место следующие соотношения:

l n—1

nlim f (x) — Ln(f,x) — 2 (xk+i,n) — f (xfc,n))lfc,n(x)) = 0, (2)

k=0

1 '

п11т (/(ж) - Ьп(/,х) - ^^(хк-1,п) - /(хк,п))/к,п(х^ = о, (3) п к=1

1 п—1

11т (/(х) — Ьп(/\ х) — т V(/(хк+1,п) — п^то \ 4 ^—' V

к=1

—2/(хк,п) + / (хк—1,п)) Мх)) = о, (4)

где 1к,п(х) = .Х-кППХ• Сходимость в (2)-(4) поточечная на отрезке [0, п] и равномерная внутри интервала (0,п)7 т. е. равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство. Справедливость равенства (2) установлена в [1, теорема 2]. Для доказательства соотношения (3) рассмотрим функцию

д (*) = / (п — г )• (5)

В силу (2)

и . п— 1

5й{- £ д(3 -1 £ И- д© и*) =0.

^ 3=0 3 =0 4 7 }

Сделаем замену переменной г = п — х

{и

д(п - х) - Vд(—)1з,п(к — х) —

3=0

п1

2 Ё( д{- д(?Ж - х^=о-

3=0 4 7 }

В силу чётности функции ^ПП* получаем

и™ {/(х) - £ - ^У3^-

1 / (" - ^ - /(- -^^)]'п-3,п(х^=0.

3=0

Отсюда следует соотношение (3), так как

П541 (х)-^ I (£ )1к,п(х)-1 £ (/(^^)-/(£ )) м-х)} = 0.

^ к=0 к=1 4 7 }

Здесь сходимость такая же, как и в равенстве (2), то есть поточечная на отрезке [0, п] и равномерная внутри интервала (0,п). Сложим равенства (2) и (3) и разделим пополам.

Иш I /(х) - !,,(/,х) - 1 £ 1 (хк+1п) - 2/(^п) +1 (хк-1,п)Кп(х)-

-4 ( (/(х1,и) - 1 (х0,и^ 10,и(х) + (/(хи-1,и) - 1 (хп,п)) ¿и,и(х) ) ) = 0

4 ч Так как

(/ (х1

,п ) - /(х0 (х)1 + I (/(хи-1,и) - /(х п,п п,п (х)1 < 2ы(/, -),

то равномерно внутри (0,п) справедливо (4).

Предложение 1 доказано.

Справедлив также «локальный» вариант предложения 1. Пусть f Е Е C [0, п] и последовательности положительных чисел и £n удовлетворяют соотношениям

Yn = o(1) lim = £n = -ex^--- U. (6)

n) п 1 w(f' n) J

(В случае f = const считаем Yn = 0, £n = en-)

Предложение 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [0,п], и последовательности положительных чисел Yn и £n удовлетворяют соотношениям (6). Для всех x Е [0,п] справедливы соотношения

- k2

Hm f (x) - Ln(f,x) - ^ (xk+i,n) - f(xk,n))4,n(x)) = 0, (7)

k=ki

- k2

Hm f (x) - Ln(f,x) - 2 ^(f(xk-i,n) - f(xk,n))/k,n(x^ = ° (8)

k=ki

- k2

lim (f (x) - Ln(f,x) - - V {f (xk+i,n)-

n^TO \ 4 Z-'

k=ki

-2f (xk,n) + f (xk-i,n)}lk,n (x)) = 0, (9)

гс^е номера k^ и k2 определяются, с помощью неравенств

n(^i - 1) ^ n^i п^о п(¿2 + 1)

—-- < x - £n < -, - < x + £n < —--

n n n n

следующим образом:

ki = max(0,fti), k2 = min (n - 1,ft2). (10)

k2 < ki

поточечная на отрезке [0,п] w равномерная внутри интервала (0,п)7 т. е. равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство. Поточечная сходимость в (7) на отрезке [0,п] и

(0, п)

тывая соотношения (3), (4) и формулу (27) из [1] после замены z = п - x аналогично доказательству предложения 1 устанавливаем справедливость соотношений (8) и (9).

Предложение 2 доказано.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1301-00102).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трынин А. Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для вше-приближений непрерывных функций на отрезке // Сиб. мат. журн, 2007. Т. 48, 5. С. 1155-1166.

УДК 517.51

А. А. Хромов

О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ К ПРОИЗВОДНОЙ

В данной работе приведена оценка погрешности приближений к производной на отрезке, когда эта производная из класса Липшица с показателем в, а сама функция задана ее среднеквадратичным приближением. Пусть /(х) Е С 1[0,1] задана ее приближением /(х) : Ц/(х)-

- /(х)||ь2 < 6

В [1] построено семейство операторов

Т1/ = <

а 3

х+а х+2а

I /+ / /

Т / +/ / (^)Й^

х 2 х

= Т/ х Е [0,1/2], = Т/ х Е [1/2,1],

(1)

где (а < 1/4), и показано, что ЦТ/ - ^ 0 при а ^ 0 для любой

/(х) Е С 1[0,1], (Ц • Цьж = тах{Ц • Цс[0,1/2], Ц • Цс[1/2,1]})-

В [2] показано, что ЦТ^/ - ^ 0 при 6 ^ 0 и а = а(6),

удовлетворяющем условиям:

а) а(6) ^ 0;

б) 6(а(6))-3/2 ^ 0 при 6 ^ 0. Рассмотрим класс

М = {/(х) Е С 1[0,1] : /'(х) Е Ыркв, 0 < в < 1}

и величины:

Д1(Т1, М) = 8ир{К/ - /'Ц^ : / Е М}, Д(6, М) = 8пр{ЦТ/ - /'Ц^ : / Е М, Ц/ - /ЦЬ2 < 6}.

1

2

а

1

2

а