Об одной модели межфазной границы в задачах равновесия двухфазных упругих тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

Величина а является конкретным значением для исследуемой скважины и определяется путем обработки зависимости, полученной в результате промысловых исследований, действующей толщины пласта от градиента давления.

Литература

1. Баренблатт Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М., 1972.

2. ШаймуратовР.В. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. М., 1980.

3. Алероев Т.С. // Докл. РАН. 1995. Т. 341. № 1. С. 9-11.

4. НахушевА.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.

Чеченский государственный университет 27 сентября 2006 г.

УДК 539.3

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ МЕЖФАЗНОЙ ГРАНИЦЫ В ЗАДАЧАХ РАВНОВЕСИЯ ДВУХФАЗНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

© 2006 г В.А. Еремеев, С.М. Кузьменко

The deformation of two-phase elastic bodies undergoing phase transitions is investigated taking into account the structure of phase interface region. Within framework of the theory of elastic mixtures the model of the phase interface is proposed. The phase interface is modeled as a layer consisting of a linear mixture of both phases. As an example, the deformation of two-phase elastic ball is investigated.

Механика тел, испытывающих фазовые и структурные превращения, представляет значительный интерес для различных отраслей техники, материаловедения, электроники. Характерной особенностью краевых задач, описывающих деформации двухфазных тел, является наличие заранее неизвестной поверхности - межфазной границы, на которой ставятся дополнительные условия, позволяющие определить границу раздела фаз [18]. Учет свойств границы раздела фаз может оказывать существенное влияние на решение этих краевых задач. Стандартным приемом учета свойств межфазной поверхности является введение поверхностного натяжения [1, 5, 6]. Вместе с тем в ряде случаев экспериментальные наблюдения показывают, что граница раздела фаз может иметь сложную природу, например, представлять собой сильно искривленную или изломанную поверхность, или даже переходный слой конечной толщины [9].

В данной работе предложена математическая модель межфазной границы, в рамках которой фазовая граница представляет собой слой, состоящий из смеси обеих фаз. На основе вариационного метода рассмотрено равновесие тела, состоящего из двух фаз, разделенных переходным слоем, расположение и толщина которого предполагаются заранее неиз-

вестными и подлежащими определению в ходе решения задачи. В качестве примера рассмотрена радиально симметричная деформация двухфазного шара. Проведено сравнение с решениями, полученными на основе представления межфазной границы в виде поверхности, в том числе и наделенной поверхностной энергией [5, 6].

Основные соотношения

Рассмотрим деформацию двухфазного упругого тела в приближении малых деформаций. Будем считать, что одна фаза занимает область У+, другая - У—, а разделены они переходным слоем УП (рис. 1). Здесь и далее знаками «+» и «—» обозначены величины, относящиеся к разным фазам. Каждая из фаз представляет собой линейно упругое изотропное тело с плотностью удельной энергии деформации вида

ф± = 2 (442 + 2^п±)+з±. (1)

В (1) к±, - постоянные Ламе для каждой из фаз, величина ё± равна энергии фаз при нулевых деформациях. Заметим, что ё± не влияет на напряженно-деформированное состояние однофазного тела и может быть равной нулю. В случае наличия двух фаз эта величина может быть выбрана произвольно только для одной из фаз, например, ё— = 0. В последнем случае ё+ представляет собой разность энергий фаз при нулевых деформациях.

Рис. 1. Двухфазное тело с переходным слоем

В качестве уравнения состояния для переходного слоя выбрано определяющее соотношение для упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10]. В рамках этой модели сплошная среда представляет собой два взаимопроникающих континуума, т.е. предполагается, что обе компоненты смеси присутствуют в каждой точке пространства. Вектор перемещений а-компоненты смеси обозначим через иа. Плотность удельной энергии деформации смеси Ф примем в виде

фп = 2 v(а)2 + Ма11(а) + с4а) + в2, (2)

где /а), //а) (а = ±, у = +) - линейный и квадратичный инварианты тензоров деформации еа: I = й е, II = й(е • ет), 2е = у и + уит, Ха, ца, с, в - материальные постоянные, V = и+ — и—. Последние два слагаемых в (2) описы-

вают упругое взаимодействие компонент смеси. Частным случаем (2) является модель линейно упругого изотропного тела.

Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и в случае простых материалов [1], вариационным принципом стационарности свободной энергии. Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями).

Тогда функционал энергии двухфазного тела можно представить в виде 1[и+, и _ ] = |ф+ СУ + |ф_ + |фп СУ. (3)

У+ У_ Уп

Третий интеграл в правой части (3) описывает энергию переходного слоя и в этом смысле соответствует энергии межфазной границы. В отличие от ранее рассмотренных случаев постоянного поверхностного натяжения [1, 5, 6], здесь энергии границы соответствует «поверхностное натяжение», зависящее от деформаций в каждой из фаз.

Условие стационарности функционала (3)

¿I = 0 (4)

при учете независимого варьирования положения границ переходного слоя и векторов перемещений и+, и позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия и естественных краевых условий на границе раздела слоя и каждой из фаз [1, 5, 6, 8]. Последние состоят из уравнений механического баланса и термодинамического условия, необходимого для определения фазовой границы. Случай равновесия смеси и однокомпонентной среды исследовался ранее [11].

Центрально симметричная деформация двухфазного шара

В качестве примера рассмотрим центрально симметричную деформацию двухфазного шара с переходным слоем. Предполагается, что области, занимаемые фазами, являются сферическими, концентрически расположенными слоями (рис. 2). Выделим области У+, V- и УП.

Рис. 2. Двухфазный шар с переходным слоем

Радиусы внутренней и внешней сфер, ограничивающих переходный слой, обозначим через И0 и кх соответственно.

В предположении об отсутствии объемных и поверхностных сил будем считать заданным на поверхности тела постоянное поле радиальных перемещений А. Тогда вектор перемещений и будет иметь только радиаль-

ную компоненту и(г), а три ненулевые компоненты линейного тензора деформации е в сферических координатах примут вид

_ ёы(г) _ _ и(г)

8 г = , ет=ев= •

иг г

Будем считать, что фазы «+» и «-» представляют собой линейное изотропное тело с разными постоянными Ламе. Обозначим их через Х+, ¡+ и Х_, ¡1- Промежуточный слой УП будем считать занятым смесью фаз «+» и «-» согласно модели гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10].

Условие неразрывности поля перемещений на границах переходного слоя примет вид

и+ (ко) = и+п (ко) = ип (ко) и- (кх) = и+п (ко) = ип (ко). (5)

Условие на внешней границе (при г = 1):

и_(1) = А. (6)

В центре же шара выполняется соотношение

и+(о) = о. (7)

Кроме того, необходимо потребовать равенства на границах полей напряжений:

о+ (ко) = а+п (ко) + ап (ко); а- (к) = а+п (ко) + ап (ко). (8)

Запишем полный функционал потенциальной энергии тела:

Т = JJJ0 Л+1+ + /и+ II + + 8+ ) dV + jjj|1Л_ I_ + II_ + 8_ ) dV +

+JJJ|1Л+ Ii + M+ Hl +1 I_ + H_II_ + cI+1_ + ß\uf )dV.

vnV2 2 )

Уравнения равновесия в смеси можно записать в виде

(9)

2 d u+ 2 du+ 2u+ j d 2u_

dr2 r dr _ ~ +qs dr 2

\ ) v

2 d u_ 2 du_ 2u_ л 1 л 2 d u+

?2 dr2 r dr _ ~ +qs dr 2

- V / V

где (Я,- + = q,.

+ 2 du_ r dr

2 du+ r dr

2u_

2u+ ..2

+ ß(u+ _ u_) = 0

+ ß (u_ _ u+) = 0

(10)

Заменив тройные интегралы в (9) повторными, получим

2 j„ , 1 л /.. .л ..'п п „лч„2.

Т = 2п

J ф+ (r,u+,u+ )r2dr + J фп (r,u!1,u+n,un,u_n )r2dr +

Л

(11)

+ JФ_ (r, u_, u_ )r 2dr

0

Таким образом, задача сводится к нахождению поля перемещений, сообщающих минимум функционалу (11) на множестве решений системы (10) при условиях (5)-(7).

Для областей У± радиально симметричное решение дается формулами задачи Ламе [12], радиально-симметричное решение для смеси получено в [10]. Подставляя эти решения в (11) при учете (5)-(7), а также используя вытекающие из условия стационарности (4) статические условия (8), получим выражение для функционала потенциальной энергии как функции, зависящей от радиусов к0 и к¥ = ¥(к0, кх). Тем самым условия стационарности функционала (11) сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений

0, 0.

дк0 дк

Для принятых значений упругих постоянных и внешнего параметра А с достаточной степенью точности можно считать, что величины к0 и к1 связаны линейно. Результаты расчетов представлены на рис. 3. Кривая в описывает изменение положения внутренней границы межфазного слоя к0 от перемещения поверхности шара А.

Для сравнения на рис. 3 приведены также зависимости радиуса межфазной границы от перемещения поверхности шара в случае отсутствия переходного слоя (кривые а, б). Кривая а построена при отсутствии поверхностной энергии границы раздела фаз, б - при учете поверхностной энергии, которая предполагалась постоянной. Из рис. 3 видно, что учет поверхностной энергии играет существенную роль на положение фазовой границы. В частности, отметим качественное совпадение поведения кривых б и в.

б—упругий двухфазный шар при учете поверхностной энергии; в — упругий двухфазный шар с переходным слоем

Заметим, что исследованное здесь равновесное решение соответствует случаю устойчивого в малом центрально симметричного решения [8]. Это означает, что устойчивости решения можно ожидать и в рассмотренном случае с переходным слоем.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00431).

Литература

1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990.

2. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упруго-пластических тел. М., 1987.

3. Баландин Г.Ф. Основы теории формирования отливки. Ч. 1. Тепловые основы теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М., 1976.

4. Romano A. Thermodynamics of Phase Transitions in Classical Field Theory. Singapore, 1993.

5. Морозов Н.Ф., Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. // Докл. РАН. 1996. T. 346. № 2. С. 188-191.

6. Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 52-71.

7. ЕремеевВ.А., Зубов Л.М. // Изв. АН. МТТ. 1991. № 2. С. 56-65.

8. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. // Докл. РАН. 2003. Т. 391. № 2. С. 189-193.

9. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. М., 1991.

10. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М., 1999.

11. Еремеев В.А. Кузьменко С.М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Приложение. № 1. С. 17-22.

12. Лурье А.И. Теория упругости. М., 1970.

Ростовский государственный университет 29 августа 2006 г.