CC BY
35
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ДЕФОРМАЦИЙ И ПАРАМЕТРОВ МАТЕРИАЛА НА КИНЕТИКУ ПЛОСКИХ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ*
Д. О. Волкова1, А. Б. Фрейдин2
1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, daria@spbru.info
2. С.-Петербургский государственный университет, Институт проблем машиноведения РАН, д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., alexander.freidin@gmail.com
Введение. Материалы, структура которых изменяется вследствие фазовых превращений мартенситного типа, протекающих в условиях механических воздействий, уже более полувека вызывают интерес исследователей в связи с возможностью использования эффектов, являющихся результатом фазовых превращений (например, эффектов памяти формы [1] или трансформационного упрочнения [2]). В данной работе исследуется развитие модели для описания влияния напряженно-деформированного состояния на движение плоской межфазной границы.
1. Условия на движущейся межфазной границе. В материале, допускающем фазовые превращения в процессе квазистатического деформирования, поля деформаций и напряжений удовлетворяют условиям механического равновесия в объеме и условиям на межфазной границе — условиям непрерывности перемещений и усилий и диссипативному неравенству, связанному с движением границы вследствие фазового превращения (см., напр., [3, 4]):
x / Г : Уа = 0, в = const,
x е Г : [u] = 0, [а] ■ n = 0, (1.1)
D = -j([/] - И : [e])V^dT > 0, (а) = 1(<т+ +0- (1-2)
г
Здесь x — радиус-вектор точки тела, u — вектор перемещений, е и а — тензоры деформаций и напряжений, в — температура, f = f (е,в) —объемная плотность свободной энергии Гельмгольца, Г — межфазная граница; величины, относящиеся к материалам в различных фазовых состояниях, обозначаются индексами «+» и « —», n — внешний к области «+» единичный вектор нормали к границе Г, V^ — скорость межфазной границы в направлении нормали к границе, квадратные скобки [■] = (■)+ — (•)_ обозначают изменение величины при переходе от фазы «+» к фазе «—». Массовые силы, термоупругие напряжения и поверхностная энергия не учитываются.
Условия (1.1) являются известными контактными условиями и удовлетворяются на любой статической поверхности контакта двух материалов. Дополнительное условие (1.2) означает неотрицательность диссипации энергии вследствие квазистатиче-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00670, 09-01-00849), программы № 13 ОЭММПУ РАН, программы Президиума РАН и Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-518.2012.1).
© Д. О. Волкова, А. Б. Фрейдин, 2012
ского движения межфазной границы. Отметим, что из непрерывности перемещений и усилий на межфазной границе следует, что (а) :[е] = а+ :[е] = а - :[е]. В случае термодинамически равновесной межфазной границы имеем
X = [/] -(а) :[е]=0, УП = 0. (1.3)
В случае движущейся межфазной границы х выполняет роль термодинамической силы (движущей силы [5, 15], конфигурационной или материальной силы [6-8]). Это видно из структуры выражения (1.2) для диссипации D.
Зависимость скорости межфазной границы от термодинамической силы задается кинетическим уравнением
УГ = Ф(х), (1.4)
где функция Ф(х) в силу (1.2) удовлетворяет условию Ф(х)х ^ 0.
Кинетическое уравнение (1.4) может быть представлено также в виде зависимости термодинамической силы от скорости границы при ограничении У^Ф-1(УГ) < 0
X = Ф-1(У„Г). (1.5)
В приближении линейной термодинамики зависимость (1.4) с учетом (1.3) принимает вид
У^ = —кх, к = const > 0,
где к — кинетический коэффициент.
Если У„г > 0, то на межфазной границе происходит превращение материала фазы «—» в материал фазы «+». Если У„г < 0, то происходит обратное превращение.
Объемная плотность свободной энергии / моделируется набором квадратичных функций от е. Число функций зависит от количества фаз и группы симметрии фаз. Далее ограничиваемся простейшей зависимостью, образованной двумя ветвями:
/(е,в) = min {/~(е,в),/+(е,в)} , (1.6)
/±(£, в) = ft (в) + \{е - el) : С± : (е - 4).
Здесь и далее верхние и нижние индексы и знаки соответствуют друг другу. Параметры C±, /± и еР —тензор модулей упругости, плотность свободной энергии и тензор деформаций в ненапряженных фазах «±» соответственно. Если е+ =0 или ер = 0, то [еР] = еР —объемная деформация превращения. Если C± и ер не зависят от температуры, то энергетический параметр y(0) = /+ — /- играет роль температуры.
Зависимостям (1.6) соответствуют определяющие соотношения
а±(е) = C± :(е — ер±), е
где E± —области определения фаз «+» и «—» в пространстве деформаций:
E- = {е : у>(е) > 0}, E+ = {е : ^(е) < 0}, ^(е) = / +(е) — /-(е).
Условие непрерывности усилий (1.1)2 с учетом непрерывности перемещений (1.1)1 может быть переписано в виде формулы для определения скачка деформаций в зависимости от нормали и деформации по одну из сторон межфазной границы [11] (см. также [9, 10]):
[е] = —KT (n):q±, (1.7)
где q± = С1 : е± - [С:ер], С = С+ - С-, Кт(п) = {п ® Ст(п) ® п}8, Ст(п) = (п • С^ • п)-1, в означает симметризацию:
Кцы = п^С^п^ = + п^Сц-щ + щСуП]- + п^Сцпк).
Подставив выражения (1.6)—(1.7) в выражение (1.4), получим выражение термодинамической силы х в виде зависимости от нормали и деформации по одну из сторон межфазной границы (см., напр., [10]):
X = 7 + \ \ер ■ С:+ \ е± : С!:е± - е± : [С : е*] ± ± Ч± : Кт (п): Ч±. (1.8)
Если тензор С- 1 существует, то термодинамическую силу (1.8) можно выразить через тензор q, взятый на одной из сторон межфазной границы [9, 12]:
Х = 7* + ^±:(СГ1±Кт(п)) :Ч±, (1.9)
где
7* =1+\[е*\ :ВГХ : И, В1 = В+-В_, В± = С^1.
Из (1.5) и (1.8) следует, что кинетическое уравнение может быть представлено в виде уравнения, связывающего скорость межфазной границы, нормаль к границе, деформацию по одну из сторон границы и величину 7:
7+^[еР:С:еР] + ^е±:С1:е±-е±:[С : ± ^ Ч± : Кт (п): Ч± = 0, (1.10)
где
7 = 7 + Ф-1(УПГ), % = + Ф-1(УПГ).
Если существует обратный тензор С1-1, то с учетом (1.9) кинетическое уравнение записывается в виде зависимости для тензора q, взятого по одну из сторон межфазной границы:
7* + ^Я±:(СГ1±Кт(п)) :Ч±=0. (1.11)
В приближении линейной термодинамики
7 = 7 + 7* = 7* + = к-1Упг.
Подчеркнем, что скорость межфазной границы входит в уравнение только через параметр 7, что позволяет для дальнейшего анализа использовать развитый ранее аппарат исследования термодинамически равновесных межфазных границ (см., напр., [9, 13, 14]), просто заменив 7 на 7.
2. Зоны фазовых переходов для плоских межфазных границ, движущихся с постоянной скоростью. Зоны фазовых переходов (ЗФП) образованы всеми деформациями, которые могут существовать на межфазных границах. Понятие зон фазовых переходов для случая равновесных межфазных границ в нелинейно-упругих материалах было введено в работах [16]. Затем в работах [9, 14] была развита процедура построения ЗФП для случая линейно-упругих фаз.
Для равновесных межфазных границ деформации, принадлежащие ЗФП, удовлетворяют, помимо условий непрерывности перемещений и усилий на границе, условию термодинамического равновесия. В случае движущихся границ условие термодинамического равновесия заменяется на кинетическое уравнение, задающее закон движения границы. Но поскольку в случае движущейся границы кинетическое уравнение с точностью до переобозначения параметра 7 на 7 имеет такой же вид, как и условие равновесия, процедура построения ЗФП для равновесных межфазных границ может быть использована для построения «модифицированных» ЗФП для движущихся межфазных границ. Это, в свою очередь, дает возможность исследования взаимосвязей между деформациями на границе, ориентацией границы и ее скоростью.
При заданной величине 7, то есть заданных температуре и скорости границы, деформации е_ и е+, при которых выполняется условие (1.10), образуют подзоны фазовых переходов « — » и «+» соответственно. Например, подзона фазовых переходов «—» состоит из всех деформаций, которые могут существовать со стороны фазы « —» на межфазной границе, движущейся со скоростью V^.
Построение подзон осуществляется следующим образом [9, 14].
В случае невырожденного тензора С1 уравнение (1.11) может быть переписано в виде двух равносильных уравнений:
¥>(7*, Ч-) = К+(ц_, п), у>(7*, = -К_(ц+, п), (2.1)
где
¥>(7*, Чт) = 27* + ЧТ : СГХ : Чт, к±(ЧТ, n) = ЧТ : K±(n) : ЧТ-
Уравнения (2.1) для каждого тензора q_ или q+ определяют однопараметриче-ское семейство нормалей к межфазной границе, движущейся со скоростью V^. Далее рассматриваются изотропные фазы «—» и «+», когда
Ст = ATE<gE + 2¿tTI, ер_ = 0, ер+=ер=—Ъ,
где Л и ¡ — параметры Ламе. В этом случае [11, 17]
K±(n) = — (n <g Е <g n)s--—^--n<g n <g n <g n,
2¡±(1 — v±)
где E — единичный тензор второго ранга, I — симметричный единичный изотропный тензор четвертого ранга, в декартовых координатах (E ® E)jki = 5ijdki, — символ Кронекера, Iijki = 1/2(SikSji + 5jk5ill), v — коэффициент Пуассона.
Подзоны «—» и «+» (ЗФП- и ЗФП+ соответственно) в q-пространстве образованы всеми q, которые при заданном значении 7* удовлетворяют неравенствам
ЗФП- : K+n(q-) < ^(q-|7*) < K+ax(q_), т+ •
L mil
ЗФП+ : Kmin(q+) < —^(q+17*) < KmaX(q+), где
Kmax(q) = maxK±(q, n), Kmin(q) = minK±(q, n)-
Границы подзон фазовых переходов определяются уравнениями
. ¥>(Я-|7*) = ^ах^- ) (внешняя гРаниЦа поДзоны «-»), З^^И . , (2.2)
= Кг+;п(ч-) (внутренняя граница подзоны « —»);
ЗФП+ . — = Ктах(ч+) (внешняя гРаниЦа подзоны «+»), (2 3)
— |%) = Кт1п^+) (внутренняя граница подзоны «+»).
Пусть дтт, ?тах и |^|т1п, |^|тах — максимальное и минимальное значения главных значений тензора q и максимальное и минимальное абсолютные значения главных значений тензора q соответственно, птах и итц —проекции нормали к межфазной границе на главные оси етах и ет^ тензора q, которые соответствуют максимальному qmax и промежуточному qmid значениям соответственно. Нормали пех и П;п к межфазным границам, соответствующие внешним и внутренним границам ЗФП, а также величины К-ах и Кт-Ш, определяются из следующих соотношений [9, 14]: если
. п I qminqmax ^ 0? /о л \
^^ < 0 или 1 (1^ ^Мт. <^-Ытах, (2.4)
то
2 _ (1 - V-)qmax - V-qmin
nm
qmax qmii
nmid = 0, (2.5)
^max(q+) = 77,-(q max qmin) qmaxqmin-
В этом случае нормаль лежит в главной плоскости тензора q, соответствующей максимальному и минимальному главным значениям q.
Если (2.4) не выполняется, то
Пех = e|q|max> ^max(q) = (I- V
Минимальному значению K соответствуют
nin = еЫт1п, K~in( q) = 2M1_(12^_)lglmin- (2-7)
На границах, соответствующих (2.6) или (2.7), претерпевает скачок только максимальное или минимальное значение тензора деформаций соответственно. На границе, соответствующей (2.5), преимущественным является вклад в скачок деформаций сдвига.
Таким образом, внешним границам ЗФП соответствуют нормали к границе фаз, лежащие в плоскости наибольшего и наименьшего значений тензора q, соответствующего границе, или совпадающие с e|g|max.
Согласно уравнениям (2.2), (2.3) подзоны фазовых переходов в пространстве деформаций ограничены поверхностями второго порядка. Примеры сечений ЗФП плоскостью £2 = £3 показаны на рис. 1 и 2 для различных параметров материала, где к± и —модули объемного сжатия и сдвига соответственно. Подчеркнем, что подзоны фазовых переходов замкнуты, если тензор Ci знакоопределенный, и разомкнуты, если тензор Ci не знакоопределенный.
Знаками «+» и «—» обозначены подзоны «+» и « —» соответственно. Линиями 1 обозначены внешние границы ЗФП. На внешних границах подзоны ФП «—» также показаны ориентации соответствующих межфазных границ. Линиями 3 отмечены внутренние границы ЗФП. Линии 2 соответствуют уравнению = 0.
Далее нас будут интересовать межфазные границы, деформации на которых соответствуют внешним границам ЗФП. Это связано с тем, что при исследовании устойчивости плоских границ новой фазы неустойчивость не обнаруживается, если деформации на межфазной границе соответствуют внешним границам ЗФП, в то время как для деформаций, находящихся внутри ЗФП, неустойчивость обнаруживается [18]. То, что принадлежность деформаций на межфазной границе границам ЗФП является необходимым условием устойчивости двухфазных деформаций, следует также из недавней работы [19].
Если деформация на межфазной границе соответствует границе ЗФП, направление нормали к межфазной границе однозначно определется величинами и соотношениями главных значений тензора q, то есть величинами деформаций и видом деформированного состояния (см. формулы (2.5), (2.6)).
Если в неограниченной среде, образованной фазой « —» и находящейся в однородном поле деформаций ео, возникает плоский слой фазы «+», то деформация вне слоя остается неизменной: е- = ео (см., напр., [20]). Деформация е+ внутри слоя, имеющего нормаль п, связана с ео условием (1.7), согласно которому
е+ = (Е + К- : С1)-1 : (ео + К- : С+ : е*).
£1 • 103
-4
-8
+ п = е 1
— п ± ех
л
\
. * \ V 1 \
1 \ 3
2 -
+
1
-5
3
1
£ • 103
Рис. 1. Сечение ЗФП при = 0.001, к- = 78, = 30, к+ = 39, р+ = 15, 7 = 0.0006755.
4
0
Рис. 2. Сечение ЗФП при = 0.001, к- = 78, = 15, к+ = 39, р+ =30, 7 = 0.0006755.
Аналогично, если в неограниченной среде, образованной фазой «+» возникает слой фазы « —», то е+ = ео, е— вычисляется по формуле
е— = (Е — К+ : С1)-1 : (ео — К+ : С+ : ер).
Таким образом, при заданных параметрах материала и параметре 7, задаваемом «температурой» 7 и скоростью Vг, каждой точке ЗФП соответствует решение задачи о слое фазы «+» или фазы «—», расширяющемся (сужающемся) с относительной скоростью Vг. В частности, точкам внешней границы подзоны «—» соответствуют слои фазы «+», ориентация которых определяется формулами (2.5), (2.6).
3. Пример: межфазные границы при осесимметричной деформации.
Примеры взаимосвязей деформаций на межфазной границе, ориентации границы и ее скорости представлены на рис. 3 и 4 (см. также [21]). Для случая к1 = к+ — к— < 0, = — ¡л— < 0 построены сечения внешних границ подзоны « —» плоскостью £2 = £3 = £ при различных величинах объемной деформации превращения № и различных относительных скоростях У^ межфазной границы.
Разные части внешней границы подзоны « —» соответствуют нормалям п, совпадающим с главным направлением тензора е— , соответствующим наибольшему по модулю главному значению (утолщенные части линий) или нормалям к межфазной границе, лежащим в плоскости наибольшего и наименьшего главных значений тензора е— (тонкие части линий). На межфазных границах первого типа в зависимости от соотношения величин £1 и £ п = в! либо п ± в1; при этом на границе претерпевает скачок только главное значение тензора деформаций, соответствующее нормали. На межфазных границах второго типа происходит скачок деформаций в плоскости главных направлений тензора е—. Смена типа ориентации межфазных границ происходит при деформациях, обозначенных черными точками.
Штриховые прямые — деформированные состояния, соответствующие простым путям деформирования е\ = ае; параметр а характеризует вид деформированного состояния, например, а = соответствует одноосному растяжению. Точки пере-
сечения с внешними границами подзоны « —» соответствуют величинам деформаций на границе со стороны фазы « —». Им, в свою очередь, соответствуют определенные ориентации межфазной границы. Совместное влияние деформации превращения и вида деформированного состояния на возможные ориентации границы, движущейся с постоянной скоростью, показано на рис. 3. Штриховая линия ЛСБВ соответствует деформациям одноосного растяжения в направлении «1». При §р = §3 как при деформациях растяжения, так и сжатия возможны только «сдвиговые» границы с нормалью, лежащей в главной плоскости тензора деформаций (точки Л и Б). При увеличении §р в условиях растяжения внешней границе ЗФП соответствует межфазная граница с нормалью, совпадающей с направлением растяжения (п = вх, точка С), а при сжатии сохраняется граница сдвиговой ориентации (точка Е).
Рис. 3. Внешние границы подзон фазовых переходов для фазы « —» и ориентации межфазных границ при различных деформациях превращения 0 < < < , < 0, кг < 0, 7 > 0.
При заданной величине деформации превращения разным видам деформированного состояния могут соответствовать разные ориентации межфазной границы. Например, при §р = §2 при деформациях, соответствующих штриховой прямой ЕЕ, вместо границы с нормалью п = вх имеем «сдвиговую» границу, причем новая ориентация границы приводит к новому направлению развития области новой фазы.
Рис. 4 демонстрирует, как скорости межфазной границы могут соотноситься с ориентацией границы и деформациями на границе. Сплошные кривые соответствуют положительной скорости межфазной границы, т. е. прямому превращению (У^ > > 0). Штриховая кривая — отрицательной скорости межфазной границы,
= е1 п ± е1
Рис. 4. Внешние границы подзон фазовых переходов для фазы « —» и ориентации межфазных границ при различных относительных скоростях межфазных границ VГ:
У3Г < 0 < У2Г < > 0, < 0, к1 < 0, 0.
т. е. обратному превращению < 0). Например, при деформированных состояниях, соответствующих лучу ЛБ, в случае растяжения как при положительных, так и отрицательных скоростях межфазной границы в рассмотренном диапазоне скоростей возможна только нормаль п = е1 (как, например, при деформациях, соответствующих точке А). В условиях сжатия, т.е. при £1 < 0, как при прямом, так и при обратном превращениях имеем «сдвиговую» ориентацию границы (точки В, С, В).
При другом значении параметра а (соответствующем прямой Е1) при положительных значениях £1 ориентация межфазной границы может зависеть от знака скорости скорости границы. На прямой Е1 при положительных величинах £1 граница, имеющая положительную скорость, ориентирована под углом к оси е1 (точка Е), а граница, имеющая отрицательную скорость, может иметь нормаль п = е1 (точка Н). В то же время при отрицательных значениях £1 как при положительной так и отрицательной скоростях межфазной границы, в рассмотренном диапазоне скоростей возможна только «сдвиговая» ориентация границы (точки Г, ., I).
Заключение. В результате использования ранее развитого подхода к описанию равновесных межфазных границ, основанного на понятии зон фазовых переходов, предложена модель для исследования плоских стационарно движущихся межфазных границ в упругом изотропном материале. Для случая осесимметричных внешних деформаций построены сечения модифицированных зон фазовых переходов, состоящие из всех деформаций, которые могут существовать в данном материале на межфазных границах, движущихся с заданной скоростью. Исследовано, как скорость и ориентация границы, то есть направление роста области новой фазы, зависят от вида деформированного состояния и параметров материала, в том числе от собственной деформации фазового превращения.
Литература
1. Беляев С. П., Волков А.Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. Справочн. изд. / под ред. В. А. Лихачева. СПб.: НИИХ СПбГУ. Т. 1. 1997. 424 с.; т. 2. 1998. 374 с.; т. 3. 1998. 474 с.; т. 4. 1998. 268 с.
2. Новые материалы / под ред. Ю. С. Карабасова. М.: МИСИС, 2002. 736 с.
3. Еремеев В. А., Фрейдин А. Б., Шарипова Л. Л. Об устойчивости равновесия двухфазных упругих тел // ПММ. Т. 71. Вып. 1. 2007. С. 66-92.
4. Freidin A. B. On new phase inclusions in elastic solids // Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM) 2007. Vol. 87(2). P. 102-116.
5. Eshelby J. D. Energy relations and the energy-momentum tensor in continuum mechanics // Inelastic Behavior of Solids. New York: McGraw-Hill, 1970. P. 77-115.
6. Gurtin M. E. Configurational Forces as Basic Concepts of Continuum Phisics // Berlin: Springer, 2000.
7. Kienzler R., Herrmann G. Mechanics in Material Space with Application to Defect and Fracture Mechanics. Berlin: Springer, 2000.
8. Maugin G. Material Inhomogeneities in Elasticity. London: Chapman & Hall, 1993.
9. Фрейдин А. Б. Приближение малых деформаций в теории фазовых превращений при деформировании упругих тел // Прочность и разрушение материалов и конструкций. Межвуз. сб. / под ред. Н. Ф. Морозова (Исследования по упругости и пластичности. Вып. 18.) СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1999. С. 266-290.
10. Кубланов Л. Б., Фрейдин А. Б. Зародыши твердой фазы в деформируемом метериале // ПММ. Т. 52. Вып. 3. 1988. С. 493-501.
11. Kunin I. A. Elastic Media with Microstructure II. Springer-Verlag, 1983.
12. Морозов Н. Ф., Назыров И. Р., Фрейдин А. Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. АН. 1996. Т. 346, №2. С. 188-191.
13. Freidin A. B, Sharipova L. L. On a model of heterogenous deformation of elastic bodies by the mechanism of multiple appearance of new phase layers // Meccanica, 2006. Vol. 41. P. 321339.
14. Морозов Н. Ф., Фрейдин А. Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стек-лова. Т. 223. 1998. С. 220-232.
15. Abeyaratne R., Knowles J. K. Elovution of phase transformation. A continuum theory. Cambridge University Press, 2006. 241 p.
16. Фрейдин А. Б., Чискис А. М. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах // Изв. АН. МТТ. 1994. №4. C. 91-109 (Ч. 1). Изв. АН. МТТ. 1994. №5. C. 49-61 (Ч. 2).
17. Кунин И. А., Соснина Э. Г. Концепция напряжений на эллипсоидальной неоднородности в анизотропной упругой среде // Прикладная математика и механика. Т. 37. 1973. C. 306-315.
18. Fu Y. B., Freidin A. B. Characterization and stability of two-phase piecewise-homoge-neous deformations // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, 2004. Vol.460. P. 3065-3094.
19. Grabovsky Y., Truskinovsky L. Roughening instability of broken extremals // Arch. Rat. Mech. Anal. 2011. Vol. 200 (1). P. 183-202.
20. Канаун С. К., Левин В. М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводского ун-та. 1993. 538 с.
21. Freidin A. B., Kucheyeva D. O. The influence of external strains and material parameters on the kinetecs of stationary moving interfaces // Proc. XXXVIII Summer School-Conference Advanced problems in mechanics (APM 2010). St. Petersburg (Repino). P. 225-230.
Статья поступила в редакцию 23 декабря 2011 г.
