Некоторые задачи статики упругих тел при учете межфазных границ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ УЧЕТЕ

МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ

© 2007 г В.А. Еремеев, С.М. Кузьменко

This work is concerned with the development of a model of the phase interface that was proposed earlier. The phase interface is modeled as a layer consisting of a linear mixture of both phases. As an example, the two tasks about the deformation of two-phase elastic cylinder are investigated.

Проблема описания фазовых и структурных превращений в упругих телах представляет значительный интерес для материаловедения, механики и физики твердого тела. В задачах подобного рода необходимо определить заранее неизвестную границу раздела фаз, на которой ставятся дополнительные условия, позволяющие определить ее расположение [1-8]. Учет свойств такой границы может оказывать существенное влияние на решение этих краевых задач. В частности, в некоторых работах (например, [1, 5, 6]) проводился учет поверхностного натяжения. Некоторые экспериментальные наблюдения показывают [9], что граница раздела фаз может иметь более сложную структуру, являясь слоем конечной толщины.

1. Основные соотношения. Рассмотрим деформацию двухфазного упругого тела в приближении малых деформаций. Будем считать, что одна фаза занимает область У+, другая - У_, а разделены они переходным слоем Уп (рис. 1). Внутри области, занимаемой одной из фаз, возможно наличие «вклеенного» абсолютно твердого тела с поверхностью известной конфигурации (Ут). Здесь и далее знаками «+» и «-» обозначены величины, относящиеся к разным фазам. Каждая из них представляет собой линейно упругое изотропное тело с плотностью удельной энергии деформации вида

4 (1)

Ф± = 1 (± I ±+ 2М± II ±)+3±.

В (1) Л± - постоянные Ламе для каждой из фаз; величина 3± равна энергии фаз при нулевых деформациях. Заметим, что 8± не влияет на напряженно-деформированное состояние однофазного тела и может быть равной нулю. В случае

наличия двух фаз эта величина может быть выбрана произвольно только для одной из фаз, например, 3_ = 0. В последнем случае 3+ представляет собой разность энергий фаз при нулевых деформациях.

Рис. 1. Двухфазное тело с переходным слоем при наличии включения

В качестве уравнения состояния для переходного слоя выбрано определяющее соотношение для упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10]. В рамках этой модели сплошная среда представляет собой два взаимопроникающих континуума, т.е. предполагается, что обе компоненты смеси присутствуют в каждой точке пространства. Вектор перемещений а -компоненты смеси обозначим через иа. Плотность удельной энергии деформации смеси Ф примем в виде

Фп = 2 а(а)2 + а(а) + с1(а) I™ +вМ2, (2)

где I(а), II(а) (а = ±, у = +) - линейный и квадратичный инварианты тензоров деформации еа:

I = гге , II = И(е• ет), 2е = Уи + Уит , Ла, ца,с, в -материальные постоянные, V = и +-и_ . Послед-

ние два слагаемых в (2) описывают упругое взаимодействие компонент смеси. Частным случаем (2) является модель линейно упругого изотропного тела.

Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и в случае простых материалов [1], вариационным принципом стационарности свободной энергии. Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями).

Тогда функционал энергии двухфазного тела можно представить в виде

I[u +, u - ] = |Ф+dV + |Ф_ dV + |Ф П dV.

(3)

будет иметь только радиальную компоненту и (г), а две ненулевые компоненты линейного тензора деформации е в цилиндрических координатах примут вид ег = du(г)/dг, = и(г)/г.

У+ У_ Уп

Третий интеграл в правой части (3) описывает энергию переходного слоя и в этом смысле соответствует энергии межфазной границы. В отличие от ранее рассмотренных случаев постоянного поверхностного натяжения [1, 5, 6], здесь энергии границы соответствует «поверхностное натяжение», зависящее от деформаций в каждой из фаз.

Условие стационарности функционала (3) при учете

5 = 0 (4)

независимого варьирования положения границ переходного слоя и векторов перемещений и+, и _ позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия и естественных краевых условий на границе раздела слоя и каждой из фаз [1, 5, 6, 8]. Последние состоят из уравнений механического баланса и термодинамического условия, необходимого для определения фазовой границы. Случай равновесия смеси и однокомпонентной среды исследовался ранее [11].

2. Центрально симметричная деформация двухфазного цилиндра

В качестве примера рассмотрим центрально симметричную деформацию сплошного двухфазного цилиндра с переходным слоем и двухфазного цилиндра с переходным слоем, содержащего в центре абсолютно жесткое цилиндрическое включение. Предполагается, что области, занимаемые фазами, являются цилиндрическими, концентрически расположенными слоями (рис. 2). Выделим области У+ , У_ и Уп.

Радиусы включения, внутреннего и внешнего цилиндров, ограничивающих переходный слой, обозначим через го , к0) и / соответственно.

В предположении об отсутствии объемных и поверхностных сил, будем считать заданным на поверхности тела постоянное поле радиальных перемещений А. Тогда вектор перемещений и

V+

Vn

V_

Рис. 2. Двухфазный цилиндр с переходным слоем

Будем считать, что фазы «+» и «-» представляют собой линейное изотропное тело с разными постоянными Ламе. Обозначим их через Л+ и

,м_ . Промежуточный слой Уп будем считать занятым смесью фаз «+» и «-», согласно модели гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10].

Условие неразрывности поля перемещений на границах переходного слоя примет вид и + (к0) = и}(к0) = и1}(к0); и_(к1) = и}(/) = и-1 (к1) (5) Условие на внешней границе (при г = 1): и_ (1) = А . (6)

Для сплошного цилиндра выполняется соотношение

и+ (0) = 0. (7)

При учете наличия включения (предполагается, что включение зафиксировано) вместо (7) используется соотношение и+ (г0) = 0.

Кроме того, необходимо потребовать равенства на границах полей напряжений:

о+ (к)) = о-П(к)) + а}к); к) = о-П(/^ + а}(к^ . (8)

Запишем полный функционал потенциальной энергии тела:

* = 1ЛI + +м+и ++А+^У +

+ 1- + !и-II- + А- |dV +

+ \W\-K I + +и+ii+ + - 1 - + м- II - +

+ cI+1 -+ß\v\2 ||dV.

п

Вводя обозначения (Л1- + ^) = qi, уравнения равновесия в смеси можно записать в виде

qi

(d2u+ 1 du.

dr

2

- + —

+q3

( d 2u_ dr2

r dr

1 du_

r dr

+ ß(u+ - u_) = 0,

q2

( d 2u_ dr2

(10)

1 du_

+

r dr

+q3

( d 2u+ 1 du+

dr

2

+

r dr

+ ß(u_ - u+) = 0.

Заменив тройные интегралы в (9) повторными, получим для сплошного цилиндра

(ho 2

T = 2п |Ф+ (r, u+, u+ )r2dr +

+ |Фп (r, u П, u 'n, u П, u 'n )r 2 dr +

+ |Ф_ (r,u_,u- )r2dr

(11)

при

T = 2n

наличии

включения:

h0 2 |Ф + (r, u+, u+)r 2 dr +

,r0

+ |Фп (r,

, u 'n, u П, u 'n

)r dr + |Ф_ (r,u_,u- )r2dr

Таким образом, задача сводится к нахождению поля перемещений, сообщающих минимум функционалу (11) на множестве решений системы (10) при условиях (5) - (7).

Для областей У± радиально симметричное решение дается формулами задачи Ламе [12], для смеси - в [11]. Подставляя эти решения в (11) при учете (5)-(7), а также используя вытекающие из условия стационарности (4) статические условия (8), получим выражение для функционала потенциальной энергии, зависящей от радиусов ^ и Т = Тем самым условия ста-

ционарности функционала (11) сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений _дГ „ д¥ д^

■ = 0, -= 0.

''о

Для принятых значений упругих постоянных и внешнего параметра А с достаточной степенью точности можно считать, что величины ^ и /?1 связаны линейно. Характерные результаты 8 расчетов представлены на рис. 3. Кривые а и б описывают изменение положения внутренней границы межфазного слоя ^ от перемещения для случаев наличия и отсутствия включения.

Рис. 3. Зависимость положения фазовой границы от перемещения на внешней границе при отсутствии и при наличии включения: а - двухфазный цилиндр с переходным слоем при наличии включения; б - двухфазный цилиндр с переходным слоем при отсутствии включения

Полученные результаты качественно совпадают с представленными в [13] для случая статической деформации двухфазного шара.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00525-а) и Фонда содействия отечественной науке.

Литература

1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990.

2. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упруго-пластических тел. М., 1987.

3. Баландин Г.Ф. Основы теории формирования отливки. Ч. 1. Тепловые основы теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М., 1976.

4. Romano A. Thermodynamics of Phase Transitions in Classical Field Theory. Singapore, 1993.

5. Морозов Н.Ф., Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. // Докл. РАН. 1996. T. 346. № 2. С. 188-191.

6. Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 52-71.

7. Еремеев В.А., Зубов Л.М. // Изв. АН. МТТ. 1991. № 2. С. 56-65.

Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. // Докл. РАН. 2003. Т. 391. № 2. С. 189-193.

9. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. М., 1991.

10. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М., 1999.

u

+

r

u

2

r

u

2

r

п

u

+

+

11. Еремеев В.А., Кузьменко С.М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2004. № 1. С. 17-22.

12. Лурье А.И. Теория упругости. М., 1970.

13. Еремеев В.А., Кузьменко С.М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2006. № 10. С. 7-12.

Южный федеральный университет_4 апреля 2007 г.