О термодинамическом равновесии фаз двухкомпонентных линейно-упругих сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ РАВНОВЕСИИ ФАЗ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ СРЕД

© 2004 г. В.А. Еремеев, С.М. Кузьменко

In this paper we consider the conditions of balance of phases in a binary mixture by the variational method in the case of small deformations. It is supposed that phases are divided by a smooth surface which position is a-priory unknown. Displacement fields of each component and interface position can be found from a stationariness condition of the free-energy functional.

As an example we study two problems about phase transition in an elastic sphere and cylinder on which external surface fields of displacement are set. Comparison with the results received for the onecomponent approach is carried out.

Проблема теоретического описания фазовых превращений в твердых телах является одной из важных и актуальных задач физики и механики твердого тела. Построению математических моделей фазовых переходов в рамках механики сплошной среды посвящено значительное количество работ [1 - 5], в которых рассматривались однокомпонентные упругие и неупругие среды. Интерес к фазовым превращениям в многокомпонентных средах связан с необходимостью описания переходов, происходящих в сплавах, твердых растворах при механических воздействиях [6, 7], а также при моделировании роста пленок [8]. Использование методов механики сплошных сред для описания фазовых переходов в многокомпонентных средах наталкивается на математические сложности при формулировке как уравнений состояния, так и начальнокраевых задач для тела, имеющего фазовую границу. В частности, получены условия баланса на движущейся фазовой границе в нелинейно-термоупругой среде с примесями [9].

В данной работе вариационным методом рассмотрены условия равновесия фаз в бинарной смеси при условии малости деформаций. Предполагается, что фазы разделены достаточно гладкой поверхностью, положение которой заранее неизвестно. Как и в случае нелинейно-упругих сред [2], поля перемещений каждой из компонент и положение границы раздела фаз могут быть найдены из условия стационарности функционала свободной энергии при однородном и постоянном поле температур. В качестве примера рассмотрены две задачи о фазовом переходе в упругом шаре и цилиндре, на внешней поверхности которых заданы поля перемещений. Проведено сравнение с результатами, полученными в рамках модели однокомпонентной среды [10, 11]. Основные соотношения

Рассмотрим деформирование упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций. В рамках этой модели сплошная среда представляет собой два взаимопроникающих континуума, т.е. предполагается, что обе компоненты смеси присутствуют в каяедой точке пространства. Вектор перемещений a-компоненты смеси обозначим через иа

(а = 1, 2). В качестве первоначального шага выберем одно из наиболее простых описаний - модель бинарной смеси при малых деформациях, использованную для описания распространения волн в реальных средах в [12], где были отмечены качественные отличия от случая линейно упругого однокомпонентного материала.

Плотность свободной энергии смеси Ф зависит от парциальных тензоров де-

формаций в„=!(Уи,+У„;) и о,носигелышх перемещений V-»,-,к Сле-

дуя [12], примем для Ф следующую квадратичную зависимость

ф = 1ха/1(а)2 +ца/2(а)2 +с/1(а)/1(5) +р|и|2, (1)

где 1[а) ,1<2 ) - первый и второй инварианты тензоров деформации еа; Ха, |1„. с,

Р - материальные постоянные. Последние два слагаемых в (1) описывают упругое взаимодействие компонент смеси. Частным случаем (1) является модель линейно-упругого изотропного тела.

Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и в случае простых материалов [2], вариационным принципом стационарности свободной энергии. Будем считать, что область, занятая смесью, состоит из двух фаз I' и I'. разделенных достаточно тонкой границей у.

Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями), а поверхностной энергией фазовой границы у пренебрегаем.

Тогда функционал свободной энергии двухфазной смеси можно представить в виде

1[и!,и2] = \ф+ёу + \ф_ёу. (2)

К у-

Здесь и далее знаками «+» и «-» обозначены величины, относящиеся к разным фазам.

Условие стационарности функционала (2)

51 = 0 (3)

при учете независимого варьирования положения границы у и векторов перемещений и, и и2 позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия, приведенных в [12], и естественных краевых условий на границе раздела фаз. Последние состоят из уравнений механического баланса и термодинамического условия, необходимого для определения фазовой границы.

В качестве примера рассмотрим две задачи: задачу о центрально-

симметричной деформации упругого шара и об осесимметричной деформации упругого цилиндра, на поверхности которых заданы перемещения м>. Далее

предположим, что одна из фаз является однокомпонентной. Таким образом, рассмотрим переход двухкомпонентная смесь <-» однокомпонентная среда. Центрально-симметричная деформация двухфазного шара Модельная задача о деформировании упругого шара для однокомпонентных тел рассматривалась в [1, 2, 4, 10, 11].

В случае центрально симметричной деформации вектор перемещений имеет только радиальную составляющую иг(г), зависящую только от радиальной координаты г, а граница раздела фаз у представляет собой сферу заранее неизвестного радиуса С,. Предполагается, что в начальном состоянии шар состоит из фазы «+», образованной бинарной смесью, а новая однокомпонентная фаза «-» может возникнуть в окрестности центра шара. Введя для краткости обозначения (X, + цг) = с/,, х = , у = , получим из (3) уравнения рав-

новесия в смеси:

сі2х ^2 сіх 2х

сіг2 г сіг г2

Ч2

с12у + 2 сіу 2у

СІГ2 Г СІГ г2

+ Яз

+ Яз

сі2 у | 2 сіу 2у

СІГ2 Г СІГ г2

ґ с12х 2 сіх 2х

сіґ

г сіг г"

+ |3(*-;у) = 0 +Р(_у--*) = о

(4)

Для однокомпонентной фазы уравнения состояния возьмем в виде:

= — А-1 (8ц + В22 + 833 — Зв) +|11|(е11 - в) +(е22— е) ~*~(езз—е) | + (5)

Здесь в - собственная деформация, А - плотность энергии новой фазы в ненапряженном состоянии.

Кинематические и статические условия баланса на границе у даются урав-

нениями:

,(!)

= и„

(6)

(V)

Решая краевую задачу (2) - (4), можно построить решение, параметрически зависящее от радиуса фазовой границы С,. После подстановки решения в функционал энергии соотношение 51 = 0 сводится к нелинейному алгебраическому уравнению относительно С,. Характерные зависимости С, от параметра м? приведены на рис. 1. Там же даны диаграммы деформирования (зависимости: нормальное напряжение - перемещение на поверхности шара). Здесь использованы следующие значения параметров материала: Л\ = 7,72, = 8,92, ц\ =

4,66, ц2 = 3,85, Ц\ = 17,04, д2 = 16,62, {5= 10, в = 0,3, А = 12; кривые 1-3 соответствуют разным значениям параметра д3, равным 10,37, 13,88, 16,66. До

значения (1 = 1, 2, 3) шар деформируется без фазового перехода, при зна-

чениях м?’А < м? < м?'в происходит фазовый переход, который завершается при

м? = м?1в. Такое поведение качественно совпадает со случаем однокомпонент-ного шара [10, 11]. Многокомпонентность среды влияет на начало и окончание фазового перехода, а также несколько изменяет диаграмму деформирова-

Рис. 1. Зависимость границы раздела фаз и нормального напряжения на поверхности шара от

перемещения м?

Задача об осесимметричной деформации упругого цилиндра

Аналогично предыдущему случаю может быть исследована осесимметричная деформация упругого бесконечного кругового двухфазного цилиндра. Здесь радиальную составляющую вектора перемещений обозначим через и,(г) (г - радиальная координата). Границу раздела фаз у примем в виде цилиндра заранее неизвестного радиуса С,. Предполагается, что в начальном состоянии

цилиндр состоит из фазы «+», образованной бинарной смесью, а новая однокомпонентная фаза «-» может возникнуть в окрестности оси цилиндра. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, из (3) получим уравнения равновесия в смеси:

<32х 1 <1х

<г'|¥7+7*~

с!~у 1 (1у V І [ с1~х 1 сіх

^ СІГ2 Г СІГ г2 ] [ СІГ2 г с\г

+ Р (V - Л-) = О

В качестве уравнений состояния однокомпонентной фазы и условий на фазовой границе используем соотношения (5) - (7).

Характерные зависимости, полученные при тех же значениях параметров материала, представлены на рис. 2. Заметим, что в отличие от шара здесь диаграмма деформирования не имеет падающего участка.

Рис. 2. Зависимость границы раздела фаз и нормального напряжения на поверхности цилиндра

от перемещения м?

Рассмотренная модель фазовых превращений в многокомпонентной среде может найти применение при описании фазовых равновесий в средах, состоящих из нескольких компонент, для которых существенно влияние напряженного состояния.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект №02-01-00879).

Литература

1. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упруго-пластических тел. М., 1987.

2. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990.

3. Кондаурое В.И., Никитин Л.В. // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. № 6. С. 1348 -1351.

4. Еремеев В.А., Зубов ЛМ. //Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №2. С. 56 - 65.

5. Фрейдин А.Б., ЧискисА.МН Изв. РАН. МТТ. 1994. № 4. С. 91 - 109.

6. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. М, 1974..

7. Устиновщиков Ю.И. Выделение второй фазы в твердых растворах. М., 1988.

8. Кукушкин С.А., Слезов В.В. Дисперсионные системы на поверхности твердых тел: механизмы образования тонких пленок (эволюционный подход). СПб., 1996.

9. Еремеев В.А. // Журнал физической химии. 2003. Т. 77. № 10. С. 1863 - 1865.

10. НазыровИ.Г., ФрейдинА.Б. //Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 52-71.

11. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. // Докл. РАН. 2003. Т. 391. №2. С. 1 -5.

12. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М., 1999.

Ростовский государственный университет 15 января 2004 г.